西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）习题课——第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分

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牛一、主要内容 王1曲线积分与曲面积分 黑2.各种积分之间的联系 3.场论初步 內区国回

1.曲线积分与曲面积分 2.各种积分之间的联系 3.场论初步 一、主要内容

c1.曲线积分与曲面积分 对长的 对面积的 由线积分 曲面积分 曲 曲 王线((联)计)((联)计面 积(义/(义(系第/积 分 分 对坐标的 对坐标的 由线积分 曲面积分 內区国回

曲 线 积 分 曲 面 积 分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 计 算 计 算 联 系 联 系 1. 曲线积分与曲面积分

线积分 酬|对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 定 (, y)dr+e(x, y)dy ∑P,nx+65,m 联 系 Pdc+Ody= (Pcosa+@cos B)ds 计|J/(x Pdx + ody 王-y+ [P((, y)op+e(p, y)y'ldr 算三代一定(a<B)二代一定(与方向有关 四

曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定 义  = → =    n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim ( , )  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i =  P   x +Q   y = → 联 系 Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos  )   + = + 计 算     = f    +  dt f x y ds L 2 2 [ , ] ( , ) 三代一定 (  )     =    +    + P Q dt Pdx Qdy L [ ( , ) ( , ) ] 二代一定 (与方向有关)

与路径无关的四个等价命题 上|条在单连通开区城D上P(xy)Q(xy)具有 王件连续的一阶偏导数则以下四个命题成立 王等|()在D内P+Q小与路径无关 价(2)JPd+b=0.闭曲线CcD 命(3)在D内存在U(x,y)使=Pdx+Qh 平题(4)在D内, oP 00 ay ax 四

与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y),Q(x, y)具 有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.  + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关  + =  C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D   =   (4) 在 内, 等 价 命 题

面积分 对面积的曲面积分 坐标的曲面积分 定x3=5n5△ay)d=m25△ i=1 王联 Paydz+odzdx+ rdxdy=(Pcos a+ocosB+Rcosr)dS ∫f(,n, R(x, y,z)dxdy x,;x(x,+x2+2=+x,yx(x,d 代,二换,三投(与侧无关一代,二投三定向(与侧有关) 內区国回

曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义  = →  =  n i i i i i f x y z ds f s 1 0 ( , , ) lim ( , , )  i x y n i R(x, y,z)dxdy lim R( i , i , i)( S ) 1 0 =    = →      联 系   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)   = (Pcos + Qcos  + Rcos )dS   f (x, y,z)ds  = + + Dxy x y f x y z x y z z dxdy 2 2 [ , , ( , )] 1   R(x, y,z)dxdy  =  Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy

2各种积分之间的联系 曲线积分 定积分 Stokes公式 计算 曲面积分 重积分 Guas公式 內区国回

曲线积分 定积分 曲面积分 重积分 计算 计算 计算 Stokes公式 Guass公式 2. 各种积分之间的联系

王☆积分概念的联系 (MG=lm∑(M△G,O点函数 王定积分当→R上区间a的时 , f(M)do=ff(x)dx 二重积分当Σ→R2上区域D时, f(do f(x,y)dσ 內区国回

( ) lim ( ) , ( )点函数 1 0 f M d f M f M n i   i =  →  =   ( ) ( ) . [ , ] , 1   =  → b a f M d f x dx R a b  当 上区间 时 ( ) ( , ) . , 2   =  → D f M d f x y d R D   当 上区域 时 积分概念的联系 定积分 二重积分

曲线积分当Σ→>R2上平面曲线L时 f(m)do=f(x, y)ds. 三重积分当Σ→R3上区域Ω时, f(MOd=』y(x,y, 曲线积分当Σ→R上空间曲线r时, S f()do=ff(x,,2)ds A曲面积分当2→R上曲面S时, ∫(M)d=∫(x,y,x)S 內区国回

   =  →  f M d f x y z dV R ( ) ( , , ) , 3  当 上区域 时 ( ) ( , , ) . , 3   =  →  f M d f x y z ds R  当 上空间曲线 时 ( ) ( , , ) . , 3   =  → S f M d f x y z dS R S  曲面积分 当 上曲面 时 曲线积分 三重积分 ( ) ( , ) . , 2   =  → L f M d f x y ds R L  曲线积分 当 上平面曲线 时

王☆谢算上的联系 主r()((面元素 王(x,1(d体元素) 』/(x,)h=广门儿小1+y“么(线元素曲) 王,f(x,y)=n1xy(x)线元素(投影 內区国回

计算上的联系 ( , ) [ ( , ) ] ,( ) ( ) ( ) 2 1  f x y d =   f x y dy dx d面元素 b a y x y x D ( , , ) ( , , ) ,( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 f x y z dV dx dy f x y z dz dV体元素 b a y x y x z x y    z x y =    = +  b L a f (x, y)ds f[x, y(x)] 1 y dx,(ds ( )) 2 线元素 曲   = b L a f (x, y)dx f[x, y(x)]dx,(dx线元素(投影))