西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）4.4 有理函数的积分

§44有理函数的积分 有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） §4.4 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例

有理函数的积分 有理函数 Rx)=P(x)4+4x+“+an Q(x)bxm+b1xm1+…+bn m≤n时,R(x)为假分式;m>n时R(x)为真分式 有理函数 相除多项式真分式 分解 其中最简分式的形式为 若干最简分式之和 Mx+w k 2 n-a (x2+ px+)k(k∈N+,p2-4a<0) 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1  有理函数: m  n 时, 为假分式; m  n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中最简分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0) 2  −  + k p q 若干最简分式之和

四种最简分式的积分: dx= alnx-a+C x-a A dx +C(n≠1) x-a 3.1x+M x t+ q 变分子为 Mx+ n dx (2x+p)+N-2 t px t q 再分项积分 4q<0,n≠1 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 四种最简分式的积分: = Aln x − a +C x a C (n 1) n A n − + − = 1− ( ) 1  − x x a A 1. d  − x x a A n d ( ) 2.  + + + x x px q M x N 3. d 2  + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分

可化为有理函数的积分举例 1.三角函数有理式R(sinx,coSx)的积分 令 t= tan R(Sin x, cos x)dx 万能代换的有理函数的积分 2sin x cos 2 tan x 2t sinx三 sin+ cos 2 1+tan"x 1+t dt cos2x-sin2x 1-tan2 1+t2 coSx三 Sin=x+cosx 1+tan+x 1+ 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 二 、可化为有理函数的积分举例 的积分 R(sin x, cos x)dx  令 2 tan x t = 万能代换 t 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式 2 2 2 2 2 2 sin cos 2sin cos sin x x x x x + = 2 2 2 1 tan 2tan x x + = 2 1 2 t t + = 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos x x x x x + − = 2 2 2 2 1 tan 1 tan x x + − = 2 2 1 1 t t + − = dx = t t d 1 2 2 +

2.简单无理函数的积分 被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如: R(x,ax+b)dx,令t=ax+b SROX ax+b )dx,令 ax+b cx+d x+d R(x, nax+b, max+b)dx 令t=ax+b,p为m,n的最小公倍数 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 2. 简单无理函数的积分 ( , )d ,  R x ax + b x n 令 t = n ax + b ( , )d ,  + + R x n x c x d a x b 令 n c x d a x b t + + = 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: ( , , )d ,  R x ax + b ax + b x n m , p 令 t = ax + b p为m,n的最小公倍数