西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.6 多元函数微分学的几何应用

§9.6多元函数微分学的几何应用 空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、应用的推广形式

§9.6 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、应用的推广形式

空间曲线的切线与法平面 和平面曲线一样,空间光滑曲线在点M处的切线 也是该点割线的极限位置.过点M与切线垂直的平面 称为曲线在该点的法平面 点击图中任意点动画开始或暂停 因此,无论是求切线,还是求法平面,关键就是要 求切线的方向向量t 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 一、空间曲线的切线与法平面 也是该点割线的极限位置. 过点 M0 与切线垂直的平面  T M0  和平面曲线一样，空间光滑曲线在点 M0 处的切线 称为曲线在该点的法平面. 点击图中任意点动画开始或暂停 因此，无论是求切线, 还是求法平面, 关键就是要 求切线的方向向量    

设曲线为r:x=x(),y=y(1),z=z(1)(参数方程) 或F:F=(x(),y(t),z(t)(向量方程 则M(x02y,=)(对应t=)点的割线向量可写成 =(to+41)-r() =(4x24y,4z) r(to +At 或 Ar(4x yaZ ∠1t1t∠t O 令41→>0,得切线的方向向量(称为曲线的切向量) d dx dy dz (x'(t0)y(t)2z(4)(r的导向量) dt dt dt 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 切向量 则M0 (x0 , y0 ,z0 ) (对应t = t 0 )点 ( ) ( ) 0 0 r r t t r t     = +  − M0  设曲线为 （参数方程） （向量方程） = (x,y,z) 或         = t z t y t x t r         , ,  （称为曲线的 ） 0 0 , , t t dt d z dt d y dt d x dt d r         = =    ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 = x t y t z  t （r的导向量）  ( )0 r t  ( ) 0 r t + t  O   r   的割线向量可写成

这样,我们已经得到了曲线 F:x=q(),y=y(1),z=0(1) 在M(x0,y,)点(t=t0)的切向量 z=F()=(x(4)y(4)2=() 故得曲线在M(xn,2)点的切线方程 W- ()y(t0)z(0) 此处要求x(ta),y(t),z(t0)不全为0.若个别导数为0, 则理解为分子为0 z也是法平面的法向量,因此得法平面方程 (0(x-x0)+y(t(y-y0)+2(t(z-=0)=0 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 此处要求 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 x t y t z  t 也是法平面的法向量, 则理解为分子为 0 .  不全为0. 若个别导数为0, 因此得 切线方程 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 = r t = x t y t z  t    点 M0  ( t = t 0 ) 的切向量 ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x  − =  − =  − ( , , ) 0 0 0 0 在M x y z 这样，我们已经得到了曲线 故得曲线 在M0 (x0 , y0 ,z0 ) 点的 法平面方程 x(t 0 )(x − x0 ) + y(t 0 )( y − y0 ) + z (t 0 )(z − z0 ) = 0  

例1求圆柱螺旋线x=Rcos,y= Rsin,z=k在 9=对应点处的切线方程和法平面方程 解9=2对应点的点为M0(0,R,k) I=(RSim p, Rcos P, k)-=-(R,0,-k 故切线方程为 v-R M0(0,R2红) R 0 k 法平面方程为 k丌 Rx-k(-=)=0 或 Rx-k. kz 0 2 x 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 例1 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 故切线方程为 法平面方程为 0 2 2 − + = k  或 R x k z 解 k y R z R x k − − = − = 2 0  ) 0 2 − ( − = k Rx k z 在 = −(R, 0, − k) 对应点的点为 (0, , ) 0 2 M R k  x y o z (0, , ) 0 2 k M R

二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面Σ:F(x,y,z)=0 通过其上定点M6(x2,yo,z)任意引一条光滑曲线 F:x=x(1),y=y(1),z=z(1) 则F(x(),y(),z())≡0 两边对在t0(对应M)求导得 (x+Fy2+F:2)=0 上式表明的切向量z=f(4)=(x()2y(t),z() 与定向量方=(F,F,F)=(F(M),F(M),F(M) 总是垂直的再由的任意性可知这些切线都在为 法向量的平面上,这个平面就是在该点的切平面 高等数学(ZYH) △

高等数学（ZYH） 二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 任意引一条光滑曲线 M0 则 F(x (t), y (t), z(t))  0  两边对t在t 0 （对应M0 ）求导,得 ( ) 0 0   +  +   = t=t x y z F x F y F z ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 n F F F Fx M Fy M Fz M M = x y z =  与定向量 总是垂直的. 上式表明 的切向量 为 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 = r t = x t y t z  t    法向量的平面上 , 这个平面就是 在该点的切平面  n   再由 的任意性可知这些切线都在以

如果我们引进哈密顿( Hamilton)算子 aa Ox oy az OX OZ 则曲面∑:F(x,y,2)=0在M(xn,n2)的法向量还可写成 n= VFI Mo (F(MO, F(MO), F(MO 于是得曲面在M(x2y,=)点的切平面方程 F2(M0)(x-x0)+F,(M0(y-y0)+F(M0(x-20)=0 同时,也获得法线方程 - y-y F(MO F(MO F(MO 若个别偏导为0,则理解为分子为0 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 同时，也获得 切平面方程 ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 n = F M = Fx M Fy M Fz M  ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 F M z z F M y y F M x x x y z − = − = − 如果我们引进哈密顿(Hamilton)算子 于是得曲面 在M0 (x0 , y0 ,z0 ) 点的 法线方程 Fx (M0 )(x − x0 ) + Fy (M0 )( y − y0 ) + Fz (M0 )(z − z0 ) = 0 则曲面 在M0 (x0 , y0 ,z0 ) 的法向量还可写成 若个别偏导为0, 则理解为分子为 0