西安建筑科技大学：《线性代数》课程PPT课件_第四章 向量组的线性相关性和线性方程组解的结构

第四章向量組的阀懼相性 和线惟方程组解的结构 第一讲向量组的线性相关性 第二讲向量组的秩向量空间 第三讲线性方程组解的结构 第四讲习题课 西安建大

西安建大 第四章 向量组的线性相关性 和线性方程组解的结构 第一讲 向量组的线性相关性 第二讲 向量组的秩向量空间 第四讲 习题课 第三讲 线性方程组解的结构

第一讲向量组的线懼相吳性 西安建大

西安建大 第一讲 向量组的线性相关性

1.线性相关和线性无关 向量组的线性相关性2.几个重要结论 1线性相关和线性无关 定义4.1对于向量组a1,a2,…,Cm,O,如果有 数k1,k2…,kn,使 a=k1ax1+k2C2+…+kmOm,则称向量 C是向量C1,C2,…,Cm的线性组合, 或者c可由向量C1,C2,…,Cm线性表 西安建大

西安建大 一. 向量组的线性相关性 1.线性相关和线性无关 2.几个重要结论 1.线性相关和线性无关 定义4.1 对于向量组 如果有 数 使 则称向量 是向量 的线性组合, 或者 可由向量 线性表 示. , , , , , 1 2   m  k ,k , ,k , 1 2  m k k k ,  = 1 1 + 2 2 ++ m  m  m 1 ,2 ,  ,  m 1 ,2 ,  ,

例如 0 0 0 0 0 B 3 E1 0 0 0 0 2 0 0 有3 2 5+3|+0 0 0 0 0 即B=21-562+363+0E 西安建大

西安建大 1 2 3 4 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 , , , , 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1                          − = = = = =                                         例如: 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1                     −           = − + +                               有 即     =2 5 3 0 1 2 3 4 − + +

所以,称B是61,E2,E3,E4的线性组合 或B可以由E1,62,E364线性表示。 定义4.2设有n维向量a1,a2,…,m如果 存在不全为零的数k1,k2,…,km, 使k,a1+k,a2+…+k 0 则称向量组a1,a2,…,am线性相 关否则称为线性无关 西安建大

西安建大  所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。  1 2 3 4     ,,, 1 2 3 4     ,,, m 1 ,2 ,  , k1 1 + k2 2 ++ km  m = 0 k ,k , ,k , 1 2  m m 定义4.2 设有 维向量 1 ,2 ,  , 如果 存在不全为零的数 使 则称向量组 线性相 关,否则称为线性无关. n

例如向量 2 2 3|,a 就是线性相关的因为a1+3a2+7a3=0 而 3 3 B1=2|,B2=2|,B3=3 3 就是线性无关的 西安建大

西安建大 例如向量           − − =           = −           = 1 1 1 1 3 2 4 2 1 1  2  3 , , 就是线性相关的,因为 而 1 + 32 + 73 = 0           =           =           − = 3 3 3 2 2 3 1 2 1  1  2  3 , , 就是线性无关的

事实上,要考察B1,B2,3是不是线性相关就 是要看有没有不全为零的数x1,x2,x3 使xB1+x2B2+x3B3=0,即看方程组 x1+3x2+3x3=0 2x1+2x2+3x2=0 x1+2x2+3x3=0 有无非零解因为其系数矩阵非奇异,即系数矩阵 的秩为3(向量的个数)因此方程组只有零解 即当且仅当x1=x2=x3=0时才有x1B1+x2B2 +x33=0,这表明B1,B2,B3线性无关 安建大

西安建大 事实上,要考察 是不是线性相关,就 是要看有没有不全为零的数 使 ,即看方程组 1  2  3 , , 1 2 x3 x , x , x1 1 + x2  2 + x3  3 = 0      − + + = + + = + + = 2 3 0 2 2 3 0 3 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 0 x1 1 + x2  2 x1 = x2 = x3 = 有无非零解,因为其系数矩阵非奇异,即系数矩阵 的秩为 (向量的个数),因此方程组只有零解, 即当且仅当 时才有 ,这表明 线性无关. 3 + x3  3 = 0 1  2  3 ,

定理4.1m维向量组a1,a2,…,On线性无 关的充要条件是R(A4)<m,其中 A是由a1,a2,…,On组成的m×n (或者n×m)维矩阵。 证明:设有数x1,…,xn使x1Cx1+…+xm2Om=0 即Ax=0,其中x=(x,…,xn) 由线性方程组的相容性定理知Ax=0 有非零解的充要条件是R(A4)<m 西安建大

西安建大 A m 1 ,2 ,  , mn m 1 ,2 ,  , R(A)  m, 定理4.1 n 维向量组 线性无 关的充要条件是 其中 是由 组成的 (或者 nm )维矩阵. 证明:设有数 使 即 其中 由线性方程组的相容性定理知 有非零解的充要条件是 xm x ,  , 1 x1 1 ++ xm  m = 0 Ax = 0, ( ) T xm x x ,  , = 1 Ax = 0 R(A)  m

推论:对m个n维向量若m>n,则该向量组 线性相关。 证:记这些向量组成的矩阵为A 则R(4)≤min(mn,n)=n<m 由定理4.1知该向量组线性相关 例如:a1=(1,1,2),a2=(0,0)y, 0 0 定线性相关。 西安建大

西安建大 ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T , , , , , , , , , , , 1 0 1 0 0 1 1 1 2 0 1 0 3 4 1 2 = = = =   例如:   一定线性相关. n A R(A)  min(m,n) = n  m 推论:对 个 维向量,若 ,则该向量组 线性相关. 证:记这些向量组成的矩阵为 则 由定理4.1知该向量组线性相关. m m  n

例4.1讨论向量组的线性相关性 a1=(1,1)y,a2=(0,2,5),a3=(1,3.)y 解 12 10 A=123 022 022 156 3-r 055 000 R(4)=2<3(向量个数)所以线性相关 西安建大

西安建大 例4.1 讨论向量组的线性相关性. ( ) ( ) ( ) T T T 1 = 1,1,1 ,2 = 0,2,5 ,3 = 1,3,6                               = → → − − − 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 5 5 0 2 2 1 0 1 1 5 6 1 2 3 1 0 1 3 2 2 1 3 1 2 5 r r r r r r A 解: R(A) = 2  3 (向量个数),所以线性相关