西安建筑科技大学：《线性代数》课程PPT课件_第三章 矩阵的秩和线性方程组的相容性定理

第三章矩阵的秩和线惟方程 组的相容性定理 第一讲矩阵的秩;初等矩阵 第二讲矩阵的秩的求法和矩阵的标准形 第三讲线性方程组的相容性定理 西安建大

西安建大 第三章 矩 阵的秩和线性方程 组的相容性定理 第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形 第三讲 线性方程组的相容性定理

第一侪矩阵的;初等矩阵 引例 二、矩阵的秩 三、初等方阵 西安建大

西安建大 第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 一、引例 二、矩阵的秩 三、初等方阵

引例 对齐次线性方程组 x+2y 0 2x-3y+2=0(31) 4x+y-z=0 由于其系数矩阵 A=2-31 是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则 西安建大

西安建大 对齐次线性方程组 由于其系数矩阵             −  −     − A = 是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则:       + − =   −  + =  +  − =  x y z x y z x y z (3.1) 一.引例

应用高斯消元法删去多余方程,得 x+2 0 x 0 或 7y+3z=02x-3y+z=0 (3.2) (3.2)称为(3.1)的保留方程组。 把上述删去多余方程求得保留方程组的过程 用矩阵表示就是: 72 A5410-735+0-73 0-73 000 安建大

西安建大 应用高斯消元法删去多余方程，得 2 0 2 0 7 3 0 2 3 0 x y z x y z y z x y z   + − = + − =     − + = − + = 或 （3.2) (3.2)称为(3.1)的保留方程组。 把上述删去多余方程求得保留方程组的过程 用矩阵表示就是： 2 1 3 1 3 2 2 4 1 2 1 1 2 1 0 7 3 0 7 3 0 7 3 0 0 0 r r r r r r A − − −     − −     ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −             −

对一般齐次线性方程组 a1x1+a2x2+…+a1nxn=0 a21x1+a2x2+…+a2n2xn=0 (3.3) =0 得到保留方程组 0 a21x1+a2x2+…+a2x+a2n1x1+…+a2nxn=0 a1x1+a2x2+…+anxn+an+1x+1+…+anxn=0 西安建大

西安建大 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = (3.3) 得到保留方程组 11 1 12 2 1 1 1 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 0 0 0 r r r r n n r r r r n n r r rr r rr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + +  + + + + + + =   + + + + + + =     + + + + + + = 对一般齐次线性方程组

问题 ◆如何判定方程组(33)是否有多余方程? ◆如何求(33)的保留方程组? 西安建大

西安建大 ◆如何判定方程组(3.3)是否有多余方程？ ◆如何求(3.3)的保留方程组？ 问题：

矩阵的秩 定义3.1矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩 阵A的秩,记为R(A) 例3.1方程组(3.1)的系数矩阵A的秩R(A)=2, 这是由于: 4=0.而 7≠0 西安建大

西安建大 定义3.1 矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩 阵A的秩，记为R(A) 二、矩阵的秩 例3.1方程组(3.1)的系数矩阵A的秩R(A)=2, 这是由于： 1 2 0, 7 0 2 3 A =  而 ＝－ －

例3.2求下列矩阵的秩 A 482 3620 解由于A的第2行是第1行的2倍,所以A的任一个 三阶子方阵都是奇异的,因此有R(A)<3,但因A 有一个二阶子方阵的行列式 10≠0 所以R(A)=2 西安建大

西安建大 例3.2求下列矩阵的秩 1 2 4 1 2 4 8 2 3 6 2 0 A     =       解 由于A的第2行是第1行的2倍，所以A的任一个 三阶子方阵都是奇异的，因此有R(A)<3,但因A 有一个二阶子方阵的行列式 1 4 10 0 3 2 = −  所以R(A)=2

关于矩阵秩的结论 定理3.1若矩阵A有一个阶子方阵非奇异,且 所有r+1阶的子方阵都是奇异的,则R(A)=r 定理3.2若A是m×m维矩阵,则R(A)≤min(mn) 定理3.3若A是阶方阵,则R(4)=m的充分必要条件 是A为非奇异的 定理34对任何矩阵A,有R(A=R(A) 西安建大

西安建大 关于矩阵秩的结论: 定理3.1 若矩阵A有一个r阶子方阵非奇异，且 所有r+1阶的子方阵都是奇异的，则R(A)=r 定理3.2 ( ) min( , ). 若A m n R A m n 是   维矩阵，则 3.4 ( ) ( ) T 定理 对任何矩阵A R A R A ，有 = 3.3 ( ) A n R A n A 定理 若 是 阶方阵，则 = 的充分必要条件 是 为非奇异的

初等方阵 回忆:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行(对调j两行记作r4r (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (3)把某一行所有元素的k倍加到另 对应的元素上去(第/行的k倍加到第i行上 记作r+r) 同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算,应用广泛 西安建大

西安建大 回忆：下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1 , , ) i j 对调两行（对调i j r r 两行 记作  ）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)． 三、 初等方阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛