西安建筑科技大学：《线性代数》课程PPT课件_第二章 行列式

第二章行列式 行列式的定义与性质 行列式的计算 ramer法则 解线性方程组的消元法 消去法的应用 西安建大

西安建大 第二章 行列式 行列式的定义与性质 行列式的计算 Cramer 法则 解线性方程组的消元法 消去法的应用

第一节行列式的定与性质 e问题的引出 m阶行列式的定义 行列式的性质 西安建大

西安建大 第一节 行列式的定义与性质 问题的引出 n阶行列式的定义 行列式的性质

问题的引出 首先来看行列式概念的形成 问题的提出:求解二、三元线性方程组 引出 二阶、三阶行列式 西安建大

西安建大 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 求解二、三元线性方程组  二阶、三阶行列式 引出 一 .问题的引出

1.二阶行列式回顾高中时的二阶与三阶行列式) 二元线性方程组:a1x,+a1x,=b ax+ax=b 当a1a2-anan≠0时,方程组有唯一解 ba b ab-b.a 21 a( 西安建大

西安建大 1. 二阶行列式 二元线性方程组：    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当 a11a22 − a12a21  0 时，方程组有唯一解 （回顾高中时的二阶与三阶行列式） 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − =

为便于记忆,引进记号D C12C2 称D aan为二阶行列式也记作d(4) 从而方程组 .a-a, b. 1 b, a 12 有为唯一解 a,a,,-a, a Db ab.-ba a. D bb 西安建大

西安建大 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 2 22 1 1 12 b a b a D = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 21 2 1 11 1 a b a b D = 从而方程组 有为唯一解 称 21 22 11 12 a a a a D = 为二阶行列式 也记作 det( ) A 为便于记忆，引进记号 21 22 11 12 a a a a D = 11 22 12 21 = − a a a a

注 (1)记忆方法:对角线法则 主对角线上两元素之积一副对角线上两元素之积 ( 2)D 为系数矩阵A 上定义的运算。它不同于矩阵A,矩阵是一种形式 二阶行列式算出来是一个数 西安建大

西安建大 注： 上定义的运算。它不同于矩阵 A ，矩阵是一种形式； (1) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 (2) 21 22 11 12 a a a a D = 11 12 21 22 a a A a a   =     为系数矩阵 二阶行列式算出来是一个数

2.三阶行列式 三阶行列式 C1 ta 32a2 33 注 (1)这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行 列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数 (2)三阶行列式也是矩阵上定义的一种运算 西安建大

西安建大 2. 三阶行列式 三阶行列式 注： （1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行 列式进行的计算。三阶行列式 算出来也是一个数。 （2）三阶行列式也是矩阵上定义的一种运算。 21 2 1 2 23 31 1 12 1 32 33 3 a a a a a a a a a 22 23 21 23 21 22 32 33 31 33 11 12 13 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a = − +

n阶行列式的定义 当时,de(A)=|a 当为大于的整数时,阶矩阵的行列式定义为 12 12 72 n +… +17 仍然记作det(A) 西安建大

西安建大 二. n阶行列式的定义 当 n =1 时， 11 11 det( ) A a a = = 当 n 为大于1的整数时， n 阶矩阵的行列式定义为 仍然记作 det( ) A = 1 22 23 2 22 23 2 2 3 1 11 12 2 3 21 22 2, 1 1 2 , 1 ( 1) n n n n n n n nn nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − + + − − 21 22 12 1 2 1 2 11 n n n n nn a a a a a a a a a

:在n阶行列式中,把元素an所在的第i行和 第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素a 的余子式,记为M 称A2=(-1)M为元素的代数余子式。 14 例如:D= M 23 31 34 41 44 41 43a (-1) 西安建大

西安建大 定义： 在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 ij a 的 余子式, 称 ( ) ij i j Aij M + = − 1 为元素 ij a 的代数余子式。 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23 例如： 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 记为 Mij

再如 2 D 21 23 ( 注:行列式的每个元素都分别对应着一个和 个 西安建大

西安建大 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − = −M12 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 44 44 4 4 A44 = − 1 M = M + 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 一个 代数余子式。 再如