西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）7.5 全微分方程

§12.5全微分方程 全微分方程 二、积分因子法

§12.5 全微分方程 一、全微分方程 二、积分因子法

全微分方程 若存在(xy)使dv(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 则称 P(x, y)dx+o(x, y)dy=0 1 为全微分方程(又叫做怡当方程) 判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,则 aP 0O ①为全微分方程 ,(x,y)∈D 求解步骤: 1.求原函数(x,y) 方法1凑微分法 方法2利用积分与路径无关的条件. 2由du=0知通解为u(x2y)=C 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, ① 为全微分方程 则 求解步骤: 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 一、全微分方程 若存在 u(x, y) 使 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 则称 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . ①

例1.求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 aP 解:因为=6xy-3y 故这是全微分方程 取x0=0,y0=0,则有 u(x, y)=5x4 dx+o(3x2y-3xy2+y2)dy x+2y2 Xy 因此方程的通解为 tx y-xy t (x0)x 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） (x, y) y o x 例1. 求解 (5 3 )d (3 3 )d 0 4 2 3 2 2 2 x + xy − y x + x y − xy + y y = 解: 因为 =   y P 2 6xy − 3y , x Q   = 故这是全微分方程. 0, 0, 取 x0 = y0 = 则有 u x y x x x ( , ) 5 d 0 4  = x y xy y y y (3 3 ) d 0 2 2 2  + − + 5 = x 2 2 2 3 + x y 3 − xy 3 3 1 + y 因此方程的通解为 x + x y − x y + y = C 5 2 2 3 3 3 1 2 3 (x,0)

例2求解(x+)dx--dy=0 解 OP1 00 ,∴这是一个全微分方程 用凑微分法求通解将方程改写为 xdv xax 0 即d(x2)d(y)=0,或d(1x2-y)=0 故原方程的通解为 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 例2. 求解 解: 2 1 y x P =    ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 0 d d d 2 = − − x x y y x x x 即 ( ) d( ) 0, 2 1 d 2 − = x y x 故原方程的通解为 ( ) 0 2 1 d 2 − = x y 或 x C x y x − = 2 2 1 , x Q   =

思考:如何解方程(x3+y)dx-xdly=0? 这不是一个全微分方程,但若在方程两边同乘2 就化成例2的方程 二、积分因子法 P(r, y)dx+o(, y)dy=0 若存在连续可微函数=(x,y)≠0,使 u(x,y)P(r, y)dx+u(r, ye(x,y)dy=0 为全微分方程,则称(x,y)为原方程的积分因子 在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 二、积分因子法 思考: 如何解方程 这不是一个全微分方程 , , 1 2 x 就化成例2 的方程 .  = (x, y)  0, 使 为全微分方程, 则称 (x, y) 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子. 但若在方程两边同乘 若存在连续可微函数 积分因子