西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）10.3 三重积分的计算

§10.3三重积分的计算 利用直角坐标计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分

§10.3 三重积分的计算 一、利用直角坐标计算三重积分 二、利用柱面坐标计算三重积分 三、利用球面坐标计算三重积分

利用直角坐标计算三重积分 直角坐标系下微元由在点(x,y,z) 给增量(dx,dy,d)产生,因此体积元素 为dv= dxdydz,故三重积分常记作 f(,y, z)dv ∫ f(x, y, z)dxdydz 二重积分的计算方法也可以 推广到三重积分,这时有 dxdy f(x, y, z)dxdyd dxd f(x, y, z)dz dxl d f(x, y, z)dz y1(x) =1(x,y) 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） z x y O  一、利用直角坐标计算三重积分 dv = dxd y dz , 故三重积分常记作   =   f (x, y,z)dv f (x, y,z)dxd y dz 给增量 (dx, dy, dz)产生， 直角坐标系下微元由在点 (x, y, z) 二重积分的计算方法也可以 因此体积元素   f (x, y,z)dxd y dz   = x y f x y z z Dxy d d ( , , )d    = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x x x x y f x y z z 推广到三重积分，这时有 Dxy ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y 为 ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y dxdy (x, y)

例1计算积分「 xdxdydz 其中为三个坐标平面及平面 x+2y+z=1 x+2y+2=1所围成的闭区域 解‖ xdxdydz y x x+ 1(1-x) d d y d 0 0 noxdxjaa-x-2yydy 4J0 (x-2x+x )dx 48 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 其中 为三个坐标平面及平面 例1 计算积分 x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解   x d x d y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 48 1 = x + 2y + z =1   x d x d y d z x + 2y = 1

例2计算积分时2 dxd yd其中2 解 dxd ydz y2(=) x2(V,2) c y=y2(2)=b d dx (右曲线) dz‖z2dxdy(先二后一法 D x x=x2(, x)=a 1 dz其中σ=ab(1 前曲面) 4 2丌ab )dz=2r ab T abc 先二后一法:顶(xy= )dady=Jd:(x,y)dxd 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） x y z 例2 计算积分 解   z d x d y d z 2  = − c z c z ab z 0 2 4 2 2 ( )d 3 15 4 =  abc a b c 先二后一 法： Dz − z = c c d z − ( ) ( ) 2 2 d y z y z y 2 2 2 ( ) 1 c z y = y z = b − − ( , ) ( , ) 2 2 2 d x y z x y z z x 2 2 2 2 2 ( , ) 1 c z b y x = x y z = a − − − = c c d z  Dz z dxdy 2 d d d , 2   z x y z − = c c z d z 2          = (1− ) 2 2 c z 其中  ab c c z ab z 0 2 5 3 5 1 3 1 2       =  −   f (x, y,z)dxd y dz   = 2 1 d ( , , )d d z z Dz z f x y z x y (前曲面) (右曲线) (先二后一 法)

二、利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,y,)∈R3,将x,y用极坐标代替,则(r,O,=) 就称为点M的柱面坐标直角坐标与柱面坐标的关系 x= rOse(0≤r<+∞ y=rsin e 0≤6≤2丌 <z<+ M(x,y,=) 坐标面分别为 r=常数 圆柱面 y 6=常数半平面 6 常数 平面 X 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） o x y z 二、利用柱面坐标计算三重积分 ( , , ) R , 3 设M x y z  将x, y用极坐标r,代替,则（r,,z) 就称为点M 的柱面坐标.           −    +     + z r 0  2 0 y = rsin  z = z x = r cos 直角坐标与柱面坐标的关系: r =常数 坐标面分别为 圆柱面  =常数 半平面 z =常数 平面 o  z M (x, y,z) r (x, y,0)

在柱面坐标系中,体积元素为dv=rdrd6dz, 故三重积分也可记作 rde dr ∫y (x, y, z)dxdyd d ∫ f(rcos B, rsin 6, z)rdrdedz 6 同直角坐标系中的计算方法,这时有 de dr (6) 2(r,) f(x, y, z)dv=l de rdrl.a f(rcos O, rsin 0, z)dz 1(r,O 当被积函数或表示积分域的方程中含有x2+y2时 用柱面坐标积分比较简单 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 在柱面坐标系中 z r dz dr rd  dv = rd r dd z，   f (x, y,z)dxd ydz  =  f (r cos,rsin , z)rdrddz 当被积函数或表示积分域的方程中含有 x 2 + y 2时， 用柱面坐标积分比较简单. x y z o r dr d 故三重积分也可记作 同直角坐标系中的计算方法，这时有     = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 ( , , )d d d ( cos , sin , )d           z r z r r r f x y z v r r f r r z z , 体积元素为

例3计算三重积分』x+ y2dxdydz,其中为 由柱面x2+y2=2x(y≥0)及平面z=0,z=a(a>0, y=0围成的半圆柱体 解』∫=√x+ y2dxdydz dried y ccos d rdr zdz 2 cos e 4a cos6d日 8 3J0 9 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 例3 计算三重积分 ，其中 为 2 2 x y x y + =  2 ( 0) z z a a = =  0, ( 0), 解  2cos 0 2 r d r    cos d 3 4 2 0 3 2  = a 及平面 2 a x y z o  = 2 0 d    a z z 0 d zr d rd d z 2    = 8 2 9 = a 由柱面 r = 2cos y = 0 围成的半圆柱体