《医学统计学》课程教学资源（课件讲义）第十章 直线相关与回归 10.1 简单线性回归

糖尿病患者 某人群 饲料 12只大白鼠 中华人民共和国 中华人民其和国 结黛证 龄婚证 生育数量 婚姻状况

糖尿病患者 某人群 饲料 12只大白鼠 婚姻状况 生育数量

案例： 用某饲料喂养12只大白鼠，得出大鼠进食量与体重 增加量如表1。试分析大鼠的进食量和体重增加量 之间的回归关系

案例： 用某饲料喂养12只大白鼠，得出大鼠进食量与体重 增加量如表1。试分析大鼠的进食量和体重增加量 之间的回归关系

表112只大白鼠进食量(g)与体重增加量(g) 序号()进食量X(2) 体重增加值Y (3) 1 305.7 23.6 2 188.6 14.7 3 277.2 19.2 4 364.8 27.7 5 285.3 18.9 6 244.7 16.1 7 255.7 17.2 8 149.8 12.9 9 268.9 18.3 10 247.6 17.7 11 168.8 13.7 12 200.6 15.6 合计 2957.9 215.6 X EY

序号(1) 进食量X (2) 体重增加值Y (3) X2 (4) Y2 (5) XY (6) 1 305.7 23.6 93452.49 556.96 7214.52 2 188.6 14.7 35569.96 216.09 2772.42 3 277.2 19.2 76839.84 368.64 5322.24 4 364.8 27.7 133079.04 767.29 10104.96 5 285.3 18.9 81396.09 357.21 5392.17 6 244.7 16.1 59878.09 259.21 3939.67 7 255.7 17.2 65484.81 295.84 4401.48 8 149.8 12.9 22440.04 166.41 1932.42 9 268.9 18.3 72307.21 334.89 4920.87 10 247.6 17.7 61305.76 313.29 4382.52 11 168.8 13.7 28493.44 187.69 2312.56 12 200.6 15.6 40240.36 243.36 3129.36 合计 2957.9 SX 215.6 SY 770487.13 SX2 4066.9 SY2 55825.2 SXY 表1 12只大白鼠进食量（g）与体重增加量（g）

案例中： 直线回归/ 体重增加量 25 简单回归 linear regression simple regression 20 15 “直线回归方程 linear regression 10+ 100 150 200 250 300 350 equation X 进食量(g) 12只大白鼠的进食量(g)与体重增加量(g)散点图

100 150 200 250 300 350 x 10 15 20 25 y 12只大白鼠的进食量(g) 与体重增加量(g)散点图 进食量(g) 体 重 增 加 量 ︵g ︶ 直线回归方程 linear regression equation 直线回归 / 简单回归 linear regression / simple regression 案例中：

一元线性回归方程：Y=+BX+ 八 ↓ 模型系数残差 (X,Y) 一般表达式： Y=a+bX 应变量Y 的估计值 估计值 Xi X

一般表达式： Y ˆ = a + bX 应变量Y 自变量 的估计值 Xi Y ( , ) Xi Yi Y i Ù X a Yi 一元线性回归方程：Y = � + �� + � 模型系数 残差 估计值

a、b是u、B的估计值。 a:截距(intercept),直线与Y轴交点的纵坐标。 b:斜率(slope),样本回归系数(regression coefficient) 意义：每改变一个单位，平均改变b个单位

a、b是�、�的估计值。 a：截距(intercept),直线与Y轴交点的纵坐标。 b：斜率(slope)，样本回归系数(regression coefficient) 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位

独立 线性 基本条件 正态 方差齐 了解：均值、标准差、 最大值、最小值、正态分布情况 观察：质量、缺少值、异常值

基本条件 独立 线性 正态 方差齐 了解：均值、标准差、最大值、最小值、正态分布情况 观察：质量、缺少值、异常值

最小二乘法(least square method) 使因变量的观察值(（)与估计值()之间的离差平 方和达到最小来求得和b的方法。即： Q(a.b-(-a-x)min

2 22 11 1 ˆ ( , ) () ( ) min nn n i i ii ii i Qab YY Ya bX e == = = åå å - = - - = ® 使因变量的观察值(Y)与估计值(� ()之间的离差平 方和达到最小来求得a和b的方法。即： 最小二乘法(least square method)

该方程组有唯一的一组解，即： 6=∑(x-Y-D_1z ∑(X-X)2 a=Y-bX ∑(y,-)=0 过点(x,)

( ) ( ) ˆ 0 , Y Y i i X Y å - = 过点 2 ( )( ) ( ) XY XX X XY Y b X X a l Y b l X - - = = - = - å å 该方程组有唯一的一组解，即：

表112只大白鼠的进食量(g)与体重增加量(g) 序号（①）进食量X(2) 体重增加值Y(3) 2(4) 2(⑤) XY(⑥ 1 305.7 23.6 93452.49 556.96 7214.52 2 188.6 14.7 35569.96 216.09 2772.42 3 277.2 19.2 76839.84 368.64 5322.24 4 364.8 27.7 133079.04 767.29 10104.96 5 285.3 18.9 81396.09 357.21 5392.17 6 0447 141 59878.09 259.21 3939.67 7 X=246.49 65484.81 295.84 4401.48 8 7=17.97 22440.04 166.41 1932.42 9 20ǒ. 18.3 72307.21 334.89 4920.87 10 247.6 17.7 61305.76 313.29 4382.52 11 168.8 13.7 28493.44 187.69 2312.56 12 200.6 15.6 40240.36 243.36 3129.36 2957.9 215.6 770487.13 4066.9 55825.2 合计 EX EY X EY EXY

序号(1) 进食量X (2) 体重增加值Y (3) X2 (4) Y2 (5) XY (6) 1 305.7 23.6 93452.49 556.96 7214.52 2 188.6 14.7 35569.96 216.09 2772.42 3 277.2 19.2 76839.84 368.64 5322.24 4 364.8 27.7 133079.04 767.29 10104.96 5 285.3 18.9 81396.09 357.21 5392.17 6 244.7 16.1 59878.09 259.21 3939.67 7 255.7 17.2 65484.81 295.84 4401.48 8 149.8 12.9 22440.04 166.41 1932.42 9 268.9 18.3 72307.21 334.89 4920.87 10 247.6 17.7 61305.76 313.29 4382.52 11 168.8 13.7 28493.44 187.69 2312.56 12 200.6 15.6 40240.36 243.36 3129.36 合计 2957.9 SX 215.6 SY 770487.13 SX2 4066.9 SY2 55825.2 SXY 表1 12只大白鼠的进食量(g)与体重增加量(g) 17.97 246.49 = = Y X