《电动力学》课程作业习题（含解答）第二章 静电场

电动力学习题答案第二章静电场1.一个半径为R的电解质球，极化强度为P=k-电容率6，，（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算球外电荷的体密度；（3）计算球外和球内的电势：（4）求该带电介质产生的静电场总能量。解；（1)Pp=-V·p=-k(VV.r.k12由R.fkn-(P, -P)=-O,=P=opR?R(2)由sk8-Pa=pr0:Pp(-80)r260-8C（3）由于球内电荷为球对称分布，所以电荷在球外产生的势相当于点电荷在球外产生的势。[pd-ck.4元R-r?sinadedpdr6-8 r26-8(8-80)80r对球内用高斯定理有：QkRR4元4m’D=[p,dl=[_1 r? sin ededodr =.0界二4元6-6.r(6-80)606-60对球外用高斯定理有r sinOdedpdr- ek.4元Reke14元R’D=[,p,dv= ]-dV=6-6012-66-60RckDokSE-:D=(6-60)r6060(8-80)r(6-60)rP* = J” Edr = [” Edr+[” EdrεkkekekRR8dr+s, Ir =InT(-6)(6-8)60(6-50)16-60r60（4）由题意得：球外有第1页

电动力学习题答案 第1 页 第二章 静电场 1.一个半径为 R 的电解质球，极化强度为 2 r r P k   = ，电容率  ， （1）计算束缚电荷的体密度和面密度； （2）计算球外电荷的体密度； （3）计算球外和球内的电势； （4）求该带电介质产生的静电场总能量。 解；（1） p   ) 1 . 1 ( 2 2 r r r r p k    = −  = −  +   =- 2 r k 由 2 1 2 rˆ ( ) R p p p R k n p p k R      − = −  − = −  = (2) 由 2 0 0 0 ( ) (1 ) r k p f f p             − = −  = − −  =  （3）由于球内电荷为球对称分布，所以电荷在球外产生的势相当于点电荷在球外产生 的势。 Q= 2 0 0 1 f v v k k dl dv r        = = − −   1 2 r d d dr sin r     = r k R 0 0 ( ) 4      −  对球内用高斯定理有； 4 0 2 2 0 2 4 sin 1             − = − = =   R r r d d dr r k r D dl v t 4 r Q  0  外 = = 0 0 ( ) kR     − 对球外用高斯定理有 2 2 T 2 2 v 0 0 k 1 k 1 4 R D dv dV r sin d d dr= r r            = = = − −    0   k 4 R    − 0 0 0 0 0 k D k R D E ( - )r ( - )r ( - )r            =  = = = R 0 r R  Edr Edr+ Edr   = = 内    0 0 0 0 0 0 k k R ln (ln ) ( ) ( ) ( - ) - r r R R x k k R dr r                   = + = + = + − −  （4）由题意得；球外有

电动力学习题答案ekRD=&E:(6-6)2ckRE=(0-)6,1球内有skE=(80-)rckD=6E=(6-8)rK2 11IEKR:.WD.EdVdvSrdV+2 J2J06-806-60Gr:K1:KR? 121)21"lart).4元4元226-608-80RR&K:K) 2 (1+三)-=2元R=2元+608-606-80602.在均匀外电场中放置半径为R。的导体球，使用分离变量法求下列两种情况的(1)导体球上接有电池，求与地保持电势差Φ。：（2）导体球上带总电荷Q。解：（1）以球心为圆点，以外电场E方向建立球坐标系，本题的定解问题：Vp =0(1)(2)P|R=R.=0(3)R-R。=Po-E,RcosO由于此问题具有轴对称，从(1)得通解bnZ(a"R"++Rm)P. (cos0)(R≥R.)0=n=0由PlR-=-E,Rcos0得P-E,Rcos0-a,R'P,(cos0)n=0a, =-E。a, =0(n±0,1)a。=Po第2页

电动力学习题答案 第2 页 0 2 0 kR D E rˆ r     = = （ − ） 2 0 0 kR E rˆ ( ) r     = − 球内有 0 0 k E ( ) r     = − r ˆ 0 0 k D E rˆ r     = = （ ） − R 0 1 1 W D EdV 2 2  = =   （ 0 K   − ） 2 1  2 1 dV r + 1 2 2 2 4 0 0 0 K R 1 ( ) dV r      −  = 1 4 2   （ 0 K   − ） 2 1  R 0 dr  + 1 4 2   （ 0 K   − ） 2 2 2 2 0 R 1 dV  r   =2  （ 0 K   − ） 2 0 R R       +   =2  R （ 0 K   − ） 2 （1+ 0   ） 2. 在均匀外电场中放置半径为 R0 的导体球，使用分离变量法求下列两种情况的 （1） 导体球上接有电池，求与地保持电势差 0 ；（2）导体球上带总电荷 Q。 解：（1）以球心为圆点，以外电场 E 方向建立球坐标系，本题的定解问题； 0 0 2 R R 0 R R 0 0 0 (1) (2) E Rcos (3)      = →   =    =    = −  由于此问题具有轴对称,从(1)得通解 n n n n+1 n n 0 b (a R )P R   = = +  （cos  ）(R  R )0 由 R  → =  0 0 −E R cos 得 0 0   − E Rcos = 2 n n n 0 a R P (cos )   =  0 0 a = 1 0 a E = − n a 0(n 0,1) = 

电动力学习题答案. 0=0-E,RcosO+2P(coso) (R≥R。)n=0 R+1由Q|R=R。=Φ。得-le-R =。-EpRocoso +2bP, (cosO)=ΦOR+TLb.- P, =Φ。-P+E,R。cos= b。=(Φ。-P)R。Rn+Ib, =E,R,b,=0 (n±0,1)0-0-E,Roo+)R+Ricso (R>R.)R?R(2）建立同样的坐标系；定解问题为：V0=0(1)(2)P-ERcosoP|r-=sds=-Q(3)sORd(4)PlR=0=重复第一问的过程，得到 -0-E,Reoso+(-)R+ERcosoRR2有条件（4）得到$ ds =R?d2RORaR-E coso-(,-)-2ERs.cosedR.R:-E.coso---2E.cose oR2Ro=R[-3E. cosOQ-R[(-)dQR.=4R(0。-0%)=-160QΦ。+94元R第3页

电动力学习题答案 第3 页     = − 0 0 E R cos + n n+1 n n 0 b P (cos ) R   =  （R  R0 ） 由 R=R 0 0  =  得 0 n 0 0 0 n 0 n+1 0 0 b E R cosθ P (cos ) R R R n     = = = − + =   n n+1 n 0 0 0 0 0 0 0 0 n=0 0 b P E R cos b ( )R R      =  − +  =  − 3 1 0 0 b E R = n b 0 (n 0,1) =   =  0 0 −E R cos + 3 0 0 0 0 0 2 0 ( )R E R cos (R R ) R R    − +  (2) 建立同样的坐标系；定解问题为： 2 R 0 0 s R 0 0 0 (1) E R cos (2) ds Q (3) R (4)       →− =   =  = −     = −     =   重复第一问的过程，得到  =  0 0 −E R cos + 3 0 0 0 0 0 2 2 ( )R E R cos R R    − + 有条件（4）得到 0 2 R ds R d R R     =      = 3 2 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 ( ) E R R E cos 2 cos d R R       −   − − −     = 2 0 0 0 0 0 0 R E cos 2E cos d R       −   − − −     =   2 2 0 0 0 0 0 0 R 3E cos d R ( )d R    −   −  −  =-4 0 0 0 0 Q   R ( )   − = − 0 0 0 0 Q 4 R    = +

电动力学习题答案代入上式代替Φ。得Q+ERlcos8=-E.Rcos8+R24,R(R>R。)3.场均匀介质球的中心置一点电荷O，球的电容率s球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与用高斯定理结果相比较。解：由题意得定解问题-8 r0=S(-c)(RR。)有限值gi |R=0 =(3)0(4)92 R0=P2le-Ro(5)9, =0P1opa1(6)6E0 ORR=RoaRQr则,对(1)设Q,=P。+PPo4元R[0'=0(1)0P2=(2)有限值(3)0i|R-0 =0(4)02 |R→ =PleRe(5)gf =a0200(6)C60ORR=ReaR由（1）（2）解得bn2a,R*++Rm)P,(coso)9'=n=0dnZ(c.R*+R"-)P,(cos0)P2 =n=0由（3）（4）解得Za,R"P,(cosO)'=n=0.dn2 R P,(coso)P2=第4页

电动力学习题答案 第4 页 代入上式代替 0 得 （R>R 0 ） 3. 场均匀介质球的中心置一点电荷 Q f ，球的电容率  球外为真空，试用分离变量法求 空间电势，把结果与用高斯定理结果相比较。 解：由题意得定解问题 0 0 2 f 1 0 2 2 0 1 R 0 2 R 1 2 R=R 1 2 0 R R (r c)(R R ) (1) 0(R R ) (2) (3) 0 (4) (5) (6) R R              → → =  −   = −     =    =   =   =     =     有限值 对(1)设    1 0 1 = +  f 0 Q 4 R   = 则， 0 0 2 1 2 2 1 R 0 2 R 1 R=R 1 2 0 R R 0 (1) 0 (2) (3) 0 (4) (5) (6) R R           → → =   =   =    =  =   =      =    有限值 由（1）（2）解得 n n 1 n n n 1 n 0 b (a R )P (cos ) R    =  = +  + n n 2 n n n 1 n 0 d (c R )P (cos ) R    = = +  + 由（3）（4）解得 n 1 n n n 0   a R P (cos )  =  =  n 2 n n 1 n 0 d P (cos ) R    = = +

电动力学习题答案由（5）（6）解得Q,+Za,R"P,=daP(7)ORT4元R。n=0+Zna.R"p.[2-a+=60n204元Rn=(Ln=0*2na,RrR-2-:Qfd.-8(n+1)P(8)Re+24元R=on=0对（7）（8)式，当n=0时Qrdo-+a。=R.4元R。do-Q,I-EOR4元eR解得Qrdo =4元60Q,(c-)ao=4元8R当n=1 时a,R,P, =dLP-260ca,P, =R解得Jd.= 00(ao=同理d, =a, =0(n≥1)Q_1Q,(c-c0)9'=2 =4元6R4元R第5页

电动力学习题答案 第5 页 由（5）（6）解得 f 0 Q 4 R  + n n n n 0 a R P  =  = n n+1 n n 0 0 d P R  =  （7） f n n 1 0 n 0 n 0 n 2 n 2 0 0 n 0 n 0 Q d na R P (n 1) P 4 R R      − + = =     −     + = − +       f 2 0 - Q 4 R   + n-1 n 0 n n 0 n a R P   =  = n 0 n n 2 n 0 0 d (n 1) P R   + = − + （8） 对（7）(8)式， 当 n=0 时 f 0 2 0 0 0 f 0 2 2 0 0 0 Q d a 4 R R - Q d 4 R R      + =     = −  解得 f 0 0 f 0 0 0 0 Q d 4 Q ( ) a 4 R      =    −  =  当 n=1 时 1 1 0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 0 d a R P P R d a p 2 P R    =     = −  解得 0 0 d 0 a 0  =   = 同理 n n d a 0(n 1) = =  f 0 1 0 0 Q ( ) 4 R     −  = 2 0 1 4 R   = f Q

电动力学习题答案QQ:(8-60)(R≤R。)4元R4元8R:@=Qr(R>Ro)4元8R4.均匀带电体（电容率61）的中心置一电偶极子P，球外充满了另一种电介质（容率62)，求空间个点的电势和极化电荷的分布。解；由题意得定解条件=(2,)(x)V20'=(1)61P2=0(2) 有限值Jgi R-0 =(3)0(4)[2 lR-=0 r-Ro(5)d=002aa=(6)626ORORp.R设=+4元R3V0'=0(1)2@2=0(2)i -0 =有限值(3)0(4)P2 R-0=P2|R-Ro(5) =C002(6)G62ORaR由（1）（2）解得b?ROT)PZ(a,R"9'=n=0d.E(c.R"+RAT)DP2 =n=0由（3）（4）解得o'-Za.R"P.n=0Rr0Z(C,R"+P2 ==0第6页

电动力学习题答案 第6 页    =   f f 0 0 0 0 f 0 ) 0 Q Q ( ) (R R ) 4 R 4 R Q (R R 4 R      − +   4. 均匀带电体（电容率  1）的中心置一电偶极子 f p  ，球外充满了另一种电介质（ 容 率  2），求空间个点的电势和极化电荷的分布。 解；由题意 得定解条 件 0 2 1 f 1 2 2 1 R 0 2 R 1 R R 1 2 1 2 -1 (P ) (X) (1) 0 (2) (3) 0 (4) (5) (6) R R             → → =   =     =   =   =   =      =    有限值 设 1 1 3 1 p R 4 R     = + 0 2 1 2 2 1 R 0 2 R 1 2 R R 1 2 1 2 0 (1) 0 (2) (3) 0 (4) (5) (6) R R           → → =   =   =    =   =  =      =    有限值 由（1）（2）解得 n n 1 n n n+1 n 0 b (a R )P R   =  = +  n n 2 n n n+1 n 0 d (c R )P R   = = +  由（3）（4）解得 n 1 n n n 0  a R P  =  =  n n 2 n n n+1 n 0 d (C R )P R   = = + 

电动力学习题答案由（5）（6）解得PrR+2a.RP.-2P.(7)A-0RR+4元R，=0[R+2aR ]d-(n +1):=6R+2pen. d-4元e,RRn=0. 2p.R+2 a.Rn"p.d.A-6,(n+1)(8).=PRn+24元起,Rn=0n=0对（7）（8）式，当n=0时doa.=R。d.0=-82R解得a=d=0当n=1 时Pr-Ro +a,R。=d,R.4元6,Rd,-Pr+a,6, =-262R2元R解得Pr(-62)ar2元R(28, +)3P,d,=4元(2起,+8)对 n>1 时Rp.a.R,P,=-8 (n+1) .Paca,np-'p, =Ro-2解得a,=0 (n>I)b.=0第7页

电动力学习题答案 第7 页 由（5）（6）解得 f 0 n 3 n 0 n 1 0 n 0 p R a R p 4 R   =  + = n n 1 n n 0 0 d P R  + =  （7） f 0 n 1 n 1 n 0 n 2 n 3 3 n+2 1 0 0 0 n 0 n 0 ˆ p R 2 d a nR p (n 1) p 4 R R R      − = =    −     + = − +          1 z 0 n-1 3 1 n 0 n 1 0 n 0 ˆ 2 p R a nR p 4 R     = −  + = n 2 n 2 n 0 0 d (n 1) R   + = − + n p （8） 对（7）（8）式， 当 n=0 时 0 0 0 0 2 2 0 d a R d 0 R   =     = −  解得 0 0 a d 0 = = 当 n=1 时 f 0 1 3 2 1 0 1 0 0 f 1 3 3 1 1 2 0 0 p R d a R 4 R R p d a 2 2 R R       + =    −  + = −  解得 f 1 2 1 3 1 0 2 1 2 1 p ( ) a 2 R (2 ) 3 4 (2 ) Pf          − =   +   =   + 1 d 对 n>1 时 n n n 0 n n n 1 n 1 n n n n n 2 n 2 0 d a R P p R d p a np p (n+1) R   + − −  =     = −  解得 n n a 0 (n 1) b 0  =    =

电动力学习题答案(6-6,)P, R..'=2元(26+8)3p,·R3pr1(RR,=0(4)s R→α=0(5)s1R-ag2 ds-0ds=Q66(6)[PR-REORPR-R,OORp·R设=3+04元R则得；第8页

电动力学习题答案 第8 页 1 2 f 1 3 0 2 1 ( )p R 2 R (2 )       −   = + f 2 2 1 3p 4 (2 )     = + 2 1 cos R  = f 3 2 1 3p R 4 (2 )R     + （R<R 0 ） 3 0 2 1 1 2 f 3 3 0 1 1 0 2 1 3p R (R R ) 4 (2 )R p R 2( )p R (R R ) 4 R 4 R (2 )                +  =    −  +    + f 0 2n 1n   = − (E E ) 3 0 z 1 2 0 6 1 1 2 0 0 1 2 f 3 1 1 2 0 p cos 3( )R 2 ( 2 )R 3 ( )p cos 2 2 )R                − = + − = （ + 5. 空心带电体球壳内外半径为 R1 和 R2，球中心置一偶极子 p  ，球壳带电 Q，求空间个 点电势和电荷分布。 解：由题意得定解条件 1 2 2 1 2 1 0 1 R 0 1 R R 2 R R 3 R 3 R 2 1 0 0 R=R R R (p ) (x) (1) (2) 3 0 (4 0 (5) ds ds (6) R R Q             → → = → → =     =     =   =   =       − =      有限 （ ） ） 设 1 1 3 0 p R 4 R     = +  则得；

电动力学习题答案?=0(1)0i|r-0=有限(2)0(3)P2 |R→ =0 R?(4)i |R-→ =0|r=R, =Ps|R=R2(5)002 ds- ds=！See6(6)60aRJR=R,OR60由（1）（3）解得b,Z(a,R +:g=R8+T)p,n=0d.Z(c,R +P=Rn+I)p,n=0由（2）（4）解得Za,R'p.0sn=0P3 =n=0Rn+I P由（5）解得p·R+2a,Rip.=)d.7(7)1RaTP,4元8Rn=0oPaR'dQ-fSr'dOD由（6）解得PR=R2aROR-(n+1)P.sinod+J2pcos+na.R"p.sinodo10RR）nm(Q=4元d。=60Q..d=(8)4元80由（2）（8）解得当n=0时第9页

电动力学习题答案 第9 页 2 1 2 2 1 2 1 1 R 0 2 R 1 R 3 R R 1 R R 3 R R 2 1 0 R=R R R 0 0 (1) (2) 0 3 (4 (5) Q ds ds (6) R R            → → → = = = =   =   =   =   =    =     − =       有限 （ ） ） 由（1）（3）解得 n 1 n 1 n 0  (a R  =  = +  n n 1 n b )p R + n 3 n 1 n 0  (c R  =  = +  n n 1 n d )p R + 由（2）（4）解得 n 1 n 1 n n 0  a R p  =  =  n 3 n n 1 n 0 d p R   + = =  由（5）解得 n n 3 n+1 n 1 n n 0 1 2 n 0 n 0 p R d a R p p 4 R R    = =  + =   （7） 由（6）解得 2 3 2 2 1 R=R R d R d R R    −      = 2 n n 1 n n 1 n 0 0 0 2 0 1 n 0 d 2pcos 2 (n 1) p sin d d na R p sin d R ( R )               − =   − − + + +         =4 0 0 Q  d  = 0 Q d 4  = （8） 由（2）（8）解得 当 n=0 时

电动力学习题答案doao =R,Qd。4元80解得Qao4元RQd。4元60当 n=1 时pR,d,+a,R,=04元8RR2Qdo=4元60解得pR,a4元8Rd, = 0当n）1时解得a, =d, =0(n>1)QP2 =4元0Q4元,R..0=p·Rp·RQ(O<R<R,)4元ER.R34元RR34元8R，QQ0p2OR|R-R,=0, =0,= 60 4-604元R4元8RPcosa1-2Pcos0-3Pcos0a=0,=0= 60 4元起OOR|R=R,R;R;4元R;6.在均匀外电场E。中置入一带电自由电荷P，的绝缘介质球（电容率ε），求空间各点的电势。解：第10页

电动力学习题答案 第10 页 0 0 2 0 0 d a R Q d 4  =     =  解得 0 0 2 0 0 Q a 4 R Q d 4    =     =  当 n=1 时 1 1 3 2 1 1 0 1 2 0 0 pR d a R 0 4 R R Q d 4    + = =     =  解得 1 1 4 0 1 1 pR a 4 R d 0    = −    = 当 n〉1 时 解得 n n a d 0(n 1) = =  2 0 Q 4 r   = 0 3 3 1 0 0 0 2 0 0 1 Q 4 R p R Q p R (0 R R ) 4 R R 4 R 4 R R          =     + −     1 2 2 2 0 R R f f R     =  − =  =  0 2 2 0 2 2 Q Q 4 R 4 R    = 1 1 1 0 R R f f1 R     =  =  =  0 3 3 3 0 1 1 1 1 2Pcos Pcos 3Pcos 4 R R 4 R         − −   − =   6.在均匀外电场 E0  中置入一带电自由电荷  f 的绝缘介质球（电容率  ），求空间各点 的电势。 解：