《电磁场》课程教学资源_综合辅导_第三章 静电场

第三章静电场一、概述1.概念静电场：自由空间中相对于观察者静止、并且不随时间变化的电荷产生的电场称为静电场。静电场对电荷表现为力的作用。2.内容静电场的基本方程、性质、概念和定律，如高斯定律、库仑定律等。静电场中的导体和介质，介质极化、介质中的场方程。静电场的基本方程在工程中的应用：电容、电场能量及电场力的计算。3.重点场的方程、性质及其应用。实际问题的分析及求解。4.难点正确理解对静电场基本性质的数学表达，即场的散度、旋度和梯度。5.建议循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。注重本质与现象的结合，理论与实际的结合。建议学时：12二、静电场的基本方程1.电场强度定义：单位静止点电荷所受到的电场力，称为电场强度。方E=limV/mq→0 q数学表达式：2.基本方程由亥姆霍兹定理可知，无界空间中的静电场由静电场的散度和旋度方程共同决定。微分形式：V.E=PVxE=060Zq积分形式：E·ds=$E.di=060可以从中看出静电场在自由空间中是有散无旋场。3.方程的物理意义微分形式：自由空间任一点处静电场的散度等于该点体电荷密度与自由空间介电常数的比值，自由空间中静电场的旋度处处为零，即静电场在自由空间中是有散、无旋场。积分形式：自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比。在静电场中，电场强度沿任意闭合环路的积分恒为零。4.高斯定律定律：自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比

第三章 静电场 一、概述 1．概念 静电场：自由空间中相对于观察者静止、并且不随时间变化的电荷产生的电场称为静 电场。 静电场对电荷表现为力的作用。 2．内容 静电场的基本方程、性质、概念和定律，如高斯定律、库仑定律等。 静电场中的导体和介质，介质极化、介质中的场方程。 静电场的基本方程在工程中的应用：电容、电场能量及电场力的计算。 3．重点 场的方程、性质及其应用。 实际问题的分析及求解。 4．难点 正确理解对静电场基本性质的数学表达，即场的散度、旋度和梯度。 5．建议 循序渐进、由浅入深，加强对概念的理解。 注重本质与现象的结合，理论与实际的结合。 建议学时：12 二、静电场的基本方程 1．电场强度 定义： 单位静止点电荷所受到的电场力，称为电场强度。 数学表达式： 2．基本方程 由亥姆霍兹定理可知，无界空间中的静电场由静电场的散度和旋度方程共同决定。 微分形式： 0     E =   E = 0  积分形式：    = 0  q E dS    E  dl = 0   可以从中看出静电场在自由空间中是有散无旋场。 3．方程的物理意义 微分形式：自由空间任一点处静电场的散度等于该点体电荷密度与自由空间介电常数 的比值，自由空间中静电场的旋度处处为零，即静电场在自由空间中是有散、无旋场。 积分形式：自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围 的总电荷量与自由空间介电常数之比。在静电场中，电场强度沿任意闭合环路的积分恒为零。 4．高斯定律 定律: 自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围的总电 荷量与自由空间介电常数之比

C表达式：e-ds=60应用范围：当空间电荷具有对称分布，可以很方便地利用高斯定律求解空间电场强度。5.库仑定律定律：两个点电荷之间的相互作用力与电荷量q1、92的乘积成正比，与两点电荷之间距离R的平方成反比，如果两个点电荷符号相同，它们之间互相排斥，如果两个点电荷符号相反，它们之间互相吸引。4192R2= -表达式：AnEORTER6.点电荷g4R=V(E=4元R单点电荷的电场强度为多电荷：因为点电荷产生的电场与电荷的带电量成正比，因此多个点电荷产生的总电场可以利用叠加原理求得，即对各个点电荷产生的电场进行矢量叠加求和，得E-2_台4元R27.连续分布电荷对连续分布电荷产生的电场，仍可利用叠加的方法，对各区域元电荷PdV"产生的电场在整个电荷分布区域积分，得出总电场。如右图所示的体电荷分布情况，由体积元dV"产生dE- pdV'e.4元R的电场为：对在整个电荷分布区域内进行体积分可得整个带电体产生的总电场：E=[Ep14元gR2ZVds图1.1.2连续体电荷分布的电场图1.1.3连续面电荷分布的电场

表达式：    = 0  q E dS   应用范围：当空间电荷具有对称分布，可以很方便地利用高斯定律求解空间电场强度。 5．库仑定律 定律： 两个点电荷之间的相互作用力与电荷量 q1、q2 的乘积成正比，与两点电荷之 间距离 R 的平方成反比，如果两个点电荷符号相同，它们之间互相排斥，如果两个点电荷 符号相反，它们之间互相吸引。 表达式： 6．点电荷 单点电荷的电场强度为 多电荷: 因为点电荷产生的电场与电荷的带电量成正比，因此多个点电荷产生的总电场 可以利用叠加原理求得，即对各个点电荷产生的电场进行矢量叠加求和，得 7．连续分布电荷 对连续分布电荷产生的电场，仍可利用叠加的方法，对各区域元电荷 产生的电场 在整个电荷分布区域积分，得出总电场。如右图所示的体电荷分布情况，由体积元 产生 的电场为： 对在整个电荷分布区域内进行体积分可得整个带电体产生的总电场： 图 1.1.2 连续体电荷分布的电场 图 1.1.3 连续面电荷分布的电场

如果带电区域为如上图所示的面电荷分布，总电场便是对Ps在其分布面上进行面积分，E-epss34元,R2可得：如果带电区域为如右图所示的线电荷分布，总电场是沿线电荷P1进行线积分，可得：[.E.Pidl'E=J14元e,R?X图1.1.4连续线电荷分布的电场8.已知电场力，求电场强度主E=lim9-0q电场强度9.已知电位，求电场强度E=-V电场强度10.电荷分布具有对称性用高斯定律求电场强度三、电位方程1.引入E=-V0由矢量恒等式×(V)=0，电场可以用一个标量场的梯度表示，即在解决实际问题时，可以由电荷分布很方便地求出电位，从而求得电场强度。另外在已知电位分布的情况下，也可以求出空间电荷的分布情况。2.定义将单位正电荷从某一点移至零电位参考点时，电场力所做的功，称为该点的电位。3.数学表达式p=Je.di --fE.dip4.电位方程2a2a272-Ox30z2ay3引入拉普拉斯算符Vp=-泊松方程：60

如果带电区域为如上图所示的面电荷分布，总电场便是对 在其分布面上进行面积分， 可得： 如果带电区域为如右图所示的线电荷分布， 总 电 场 是沿 线 电荷 进 行 线 积 分， 可得 ： 图 1.1.4 连续线电荷分布的电场 8．已知电场力，求电场强度 电场强度 9．已知电位，求电场强度 电场强度 10．电荷分布具有对称性 用高斯定律求电场强度 三、电位方程 1．引入 由矢量恒等式 ，电场可以用一个标量场的梯度表示，即 。 在解决实际问题时，可以由电荷分布很方便地求出电位，从而求得电场强度。另外， 在已知电位分布的情况下，也可以求出空间电荷的分布情况。 2．定义 将单位正电荷从某一点移至零电位参考点时，电场力所做的功，称为该点的电位。 3．数学表达式     =  = −  P P P E dl E dl      4．电位方程 引入拉普拉斯算符 泊松方程： 0 2     = −

拉普拉斯方程（无源区域的泊松方程）：√?β=05.电位的求解（1）点电荷qβ=4元e,R单点电荷：Nqi9=24元gR多电荷：（2）连续分布的电荷1PaxyaldtP=R4元6体电荷分布：1osasoR4元8.面电荷分布：pialP=4元80R线电荷分布：（3）已知电场强度PE.di=IE dt -电位（4）已知边界电位分布，求解空间电位分布（参见静态场边值型问题解）四、电偶极子1.定义一对等值异号的电荷相距一个小的距离！，称为电偶极子。2.电偶极矩采用一个矢量，其大小等于乘积4"，方向由-q指向+q，称为偶极子的电矩，简称电偶极矩，即P=qi或。=gi(单位:C.m)3电偶极子的场图1.3.1电偶极子上图表示一个电偶极子。采用球坐标系，将原点放在偶极子中心，Z轴与！相合，远处一点(r,8,)的电位等于两点电荷电位的叠加

拉普拉斯方程（无源区域的泊松方程）： 0 2   = 5．电位的求解 （1）点电荷 单点电荷： 多电荷： （2）连续分布的电荷 体电荷分布： 面电荷分布： 线电荷分布： （3）已知电场强度 电位 （4）已知边界电位分布，求解空间电位分布 （参见静态场边值型问题解） 四、电偶极子 1．定义 一对等值异号的电荷相距一个小的距离 ，称为电偶极 子。 2．电偶极矩 采用一个矢量，其大小等于乘积 ，方向由-q 指向+q， 称为偶极子的电矩，简称电偶极矩，即 或 (单 位: ) 3．电偶极子的场 图 1.3.1 电偶极子 上图表示一个电偶极子。采用球坐标系，将原点放在偶极子中心， 轴与 相合，远处 一点 的电位等于两点电荷电位的叠加

_ q(r2 -r)qqP=4元8g4元0724元80rr2(1)r2 +rlcose其中1/2rlcoser2因为r>>！，将"1、3用二项式定理展开，并略去高阶项，得：r1-cosersr+-coseriar-221Nr2r-riwlcosgp.erp.fqlcose0=4元8gr34元gr4元gr?4元60故得（2）偶极子的电场由上式取梯度得到：20+1202pcosepsineE=-V0=arrae4元gr34元8r3.vP.() --4元[()0F)+→()4元E=-V0或：4.电偶极子的等位面和电力线r=C-/cose等位面方程：r=C"sine电力线方程：电场强度与成反比。电场强度具有轴对称性。电力线与等位面垂直。但在实际中，在偶极子附近，实际等位线和电力线的分布如上图所示。实际电力线起始于正电荷，终止于负电荷。图13.2电偶极子的电力线五、静电场中的导体1.静电场中导体的特点静电场中的导体处于静电平衡状态。导体内部电场处处为零。所有电荷分布在导体表面上。导体内部是等位体，导体表面是等位面。导体表面的电场垂直于导体表面。2.说明

（1） 其中 因为 >> ，将 、 用二项式定理展开，并略去高阶项，得： 故得 （2）偶极子的电场由上式取梯度得到： 或： 4．电偶极子的等位面和电力线 等位面方程： 电力线方程： 电场强度与 成反比。 电场强度具有轴对称性。 电力线与等位面垂直。但在实际中，在偶极子附近， 实际等位线和电力线的分布如上图所示。实际电力线起 始于正电荷，终止于负电荷。 图 1.3.2 电偶极子的电力线 五、静电场中的导体 1．静电场中导体的特点 静电场中的导体处于静电平衡状态。 导体内部电场处处为零。 所有电荷分布在导体表面上。 导体内部是等位体，导体表面是等位面。 导体表面的电场垂直于导体表面。 2．说明

电场中的导体表面出现感应电荷，其分布规律与导体表面形状及外部电场有关。导体内电场是外部电场与二次电场的叠加，总电场为零。六、静电场中的介质介质在电场作用下会产生极化现象，极化产生的电偶极子会产生二次电场，叠加于原场之上，使电场发生变化。1．极化分类电子极化：在外电场作用下，电子云相对原子核发生微小位移，使电中性的原子形成一个很小的电偶极子。离子极化：在外电场作用下，构成分子的正负离子发生微小位移，使分子形成一个很小的电偶极子。取向极化：在外电场作用下，原来无序排列的有极分子转为有序排列，形成合成电矩。一般单原子介质只有电子极化，所有化合物都存在电子极化和离子极化，某些化合物分子具有固有电矩并同时具有其他三种极化。2.极化强度定义：单位体积内电偶极子电矩的矢量和叫做极化强度，NZpi-c/m公式：束缚电荷：电偶极子在介质中对应等效电荷分布称之为束缚电荷。3.极化强度与束缚电荷的关系束缚体电荷密度P,=-.束缚面电荷密度Pps=P.en图1.5.1极化介质产生的电位4．散度方程V.D= p散度方程：V.E_P+Pp。，得到.(eE+)=p由D=E+PV.D=P得到：引入电位移矢量：fD.as=Q高斯定律：介质中穿过任一闭和面电位移失量的通量，等于该闭和面内包围的总的自由电荷量。5.总结介质中的场方程VxE=0V.D=p微分形式：SD.ds=QE.di=-0积分形式：'s1

电场中的导体表面出现感应电荷，其分布规律与导体表面形状及外部电场有关。 导体内电场是外部电场与二次电场的叠加，总电场为零。 六、静电场中的介质 介质在电场作用下会产生极化现象，极化产生的电偶极子会产生二次电场，叠加于原 场之上，使电场发生变化。 1．极化分类 电子极化: 在外电场作用下，电子云相对原子核发生微小位移，使电中性的原子形成一 个很小的电偶极子。 离子极化: 在外电场作用下，构成分子的正负离子发生微小位移，使分子形成一个很小 的电偶极子。 取向极化: 在外电场作用下，原来无序排列的有极分子转为有序排列，形成合成电矩。 一般单原子介质只有电子极化，所有化合物都存在电子极化和离子极化，某些化合物分 子具有固有电矩并同时具有其他三种极化。 2．极化强度 定义：单位体积内电偶极子电矩的矢量和叫做极化强度。 公式： 束缚电荷：电偶极子在介质中对应等效电荷分布， 称之为束缚电荷。 3．极化强度与束缚电荷的关系 束缚体电荷密度 束缚面电荷密度 图 1.5.1 极化介质产生的电位 4．散度方程 散度方程： 由 ，得到 引入电位移矢量： ， 得到： 高斯定律： 介质中穿过任一闭和面电位移矢量的通量，等于该闭和面内包围的总的自由电荷量。 5．总结 介质中的场方程 微分形式：  D =    E = 0  积分形式：   = S D dS Q     = l E dl 0  

6.线性各向同性P=.X,ED=1+X)E=EE=（线性各向同性）其中×。为介质极化率，e,=1+X。=8/e为相对介电常数（相对电容率)。7.介质分类线性、非线性：P、D与巨是否为正比关系。各向同性、各向异性：X。是否与巨的方向有关。均匀、非均匀：X。是否与空间坐标有关。8.束缚电荷分布规律&-v.D+D.(&-)V.P=V(eX,E)=V.(-ID)-EE&EP,=-≤-1p-D.(-1Pp =P.c,-_lD.c.ErErE9.结论在不带自由电荷的均匀介质中，束缚电荷体密度为零。有电位移矢量为零或电位移失量与介质表面相平行的区域，束缚电荷面密度为零。七、静电场边界条件1.定义不同介质（或导体）分界面两侧的场量之间的关系称为边界条件。2.引入求微分方程的需要，分界面上的束缚电荷影响场分布。3.场强、电位移矢量、电位的边界条件法向条件：Dn-D2n=Ps或者：s,E-8,E2=Ps切向条件：E,=E，（i×E,=i×E2）或者：D,/e,=De,/e的边界条件：=P2八、导体系统的电容1.定义两个带电量分别为+O和-O的导体，它们之间的电压U与带电量O的比值为该导体系统的电容。2.计算方法从定义出发，设两导体带电量为+q和-q，求U值，得C。1ICU?D.EdVW, =2J2从能量角度出发3.常见导体系统的电容

6．线性各向同性 （线性各向同性）其中 为介质极化率， 为相对介电常数（相对电容率）。 7．介质分类 线性、非线性： 、 与 是否为正比关系。 各向同性、各向异性： 是否与 的方向有关。 均匀、非均匀： 是否与空间坐标有关。 8．束缚电荷分布规律 9．结论 在不带自由电荷的均匀介质中，束缚电荷体密度为零。 有电位移矢量为零或电位移矢量与介质表面相平行的区域，束缚电荷面密度为零。 七、静电场边界条件 1．定义 不同介质（或导体）分界面两侧的场量之间的关系称为边界条件。 2．引入 求微分方程的需要，分界面上的束缚电荷影响场分布。 3．场强、电位移矢量、电位的边界条件 法向条件： D1n − D2n =  S   或者： E n E n  S  1 1 −  2 2 =   切向条件： E1t E2t   = （ ） 或者： 1 1 2 2 /  /  D t D t   = 的边界条件： 1 =2 八、导体系统的电容 1．定义 两个带电量分别为+Q 和-Q 的导体，它们之间的电压 U 与带电量 Q 的比值为该导体系 统的电容。 2．计算方法 从定义出发，设两导体带电量为+q 和-q，求 U 值，得 C。 从能量角度出发 3．常见导体系统的电容

ESC=-d平行板s：面积，d：距离。2元起C-n%同轴线L：长度，a：内导体的外半径，b：外导体的内半径。4元abC:b-a同心球a,b：内外球半径。孤立导体球C=4元aa：球半径。4.n个导体与大地（Φ=0）构成系统所有导体与地之间以及任意导体之间均存在电容。5.电位系数、电容系数、感应系数、自有部分电容、互有部分电容。对于由N个导体和无穷远处构成的静电独立系统，如果第i个导体上的电位及带电量分别用91及9i表示，则该系统中各导体的电位可表示为：0Pi=Pi191+Pi2q2+..+Pmqn(P2=P2191+P2292+...+P2m9mCPn =Pn1q1 +Pn2q2 +...+Prm9n其中上i为电位系数（VIC），它仅与导体图1.7.1同心导体球间的部分电容系统的尺寸及周围介质的介电常数有关。从上式解出电量得：Cq1=β1Pi +β12P2 +... +βm PnC12Cz9q2=β219P1+β22P2+..+β2nPn9CnC3qn=PuPi+PnaP2+...+βrmPnC22其中Pr为电容系数，Pa（i+j）为感应系数。系数矩阵P与β互为逆阵。[P]=[P]-1图1.7.2多导体系统的部分电容

平行板 s：面积，d：距离。 同轴线 L：长度，a：内导体的外半径，b：外导体的内半径。 同心球 a,b：内外球半径。 孤立导体球 a：球半径。 4．n 个导体与大地（ ）构成系统 所有导体与地之间以及任意导体之间均存在电容。 5．电位系数、电容系数、感应系数、自有部分电容、互有部分电容。 对于由 N 个导体和无穷远处构成的静电独立系统，如果第 i 个导体上的电位及带电量 分别用 及 表示，则该系统中各导体的电位可表示 为： . 其中 为电位系数（V/C），它仅与导体 图 1.7.1 同心导体球间的部分电容 系统的尺寸及周围介质的介电常数有关。从上 式解出电量得： . 其中 为电容系数， （ ）为感应系数。 系数矩阵 P 与 互为逆阵。 图 1.7.2 多导体系统的部分电容

将上式中各导体得电位转换成各导体之间的电位差，则：91=C191+Ci2(P1-(P2)+... +Cm(1-)2=C21(P2-)+C292+...+C2m(P2-)...-Cizqn=C(h-)+Cn2(n-P2)+...+Cm9rC22ChNCg=-2Pgil式中，称为自有部分电容。图1.7.3接近地面的双线传输线C,=-β（i+j）称为互有部分电容。右图为同心导体间的部分电容。6.系统电容实际问题中当多于两个导体存在时，求解两个导体之间的电容，就必须考虑其它导体的影响。九、电场能量1.单个带电体1W能量：-00-C0222．多个带电体电荷在建立过程中，不仅克服自身场力做功，还要克服n-1个带电体的场力做功。第1个带电体NA111W-29.9=2P=P+ZPy29.9+qi9y2,-j--ljui电位能量NH1N12W.=Zqij11212总静电能总静电能包含自能（各导体独立存在时的电能）和相互作用能（克服其他带电体的场所做功）两部分。3.体分布电荷的能量ppdy'W.=J24.能量密度eED!D.E-!We =2226十、静电力1.计算方法库仑定律，虚位移法

将上式中各导体得电位转换成各导体之间的电位差，则： . 式中 ，称为自有部分电容。 图 1.7.3 接近地面的双线传输线 （ ）称为互有部分电容。 右图为同心导体间的部分电容。 6．系统电容 实际问题中当多于两个导体存在时，求解两个导体之间的电容，就必须考虑其它导体 的影响。 九、电场能量 1．单个带电体 能量： We C Q 2 1 2 1 2 = = 2．多个带电体 电荷在建立过程中，不仅克服自身场力做功，还要克服 n-1 个带电体的场力做功。 第 i 个带电体 电位 , 能量 总静电能 总静电能包含自能（各导体独立存在时的电能）和相互作用能（克服其他带电体的场 所做功）两部分。 3．体分布电荷的能量 4．能量密度   2 2 1 2 1 2 2 D we = D  E = E =   十、静电力 1．计算方法 库仑定律，虚位移法

2.虚位移法dW.=F.di原理：能量守恒外力做功=静电场能量的变化+电场力做功方法：A、设系统与外界隔离，则dW=0，q=常数aw.dW.=-F.diFf=-al（q=常数）B、设系统与恒压源相连，则β=常数gi0d=i0i=2号1i-1Naw.故d.-F.diF,=a（=常数)十一、小结1.在实验研究和失量场分析的基础上，分析求解一般电场问题时，我们明确了静电场的基本变量，即场源变量P(）和两个基本的场变量：电场强度(1）和介质中的电通密度D(r)。2. 分析宏观电磁现象时，电荷q 是按体积分布的，其密度定义为9=[edT，o(）是一个空间位置的连续函数，体积元△r内的微小电荷dg=pdz，体积内的电荷量为Dgp(r)= limnoT。出于理论分析的需要，电荷有按面积和按曲线分布的概念，其密度定义为AgAyo,=lim.P, = lim，故任意面元ds和线元dl的微分电荷量为dg=p.ds和AS和dg =p,dl3．静电场的方程反映了静电场的场源关系，方程为：VE-D80..xE=0微分形式：fe.as-Ea4E·ai=080积分形式：静电场在自由空间中是有散无旋场

2．虚位移法 原理：能量守恒 外力做功=静电场能量的变化+电场力做功 方法：A、设系统与外界隔离，则 dW=0，q=常数 （q=常数） B、设系统与恒压源相连，则 =常数 , 故 （ =常数） 十一、小结 1．在实验研究和矢量场分析的基础上，分析求解一般电场问题时，我们明确了静电场的基 本变量，即场源变量 和两个基本的场变量：电场强度 和介质中的电通密度 。 2．分析宏观电磁现象时，电荷 q 是按体积分布的，其密度定义为 ， 是一个 空间位置的 连续函数 ，体积元 内的微 小电荷 ，体积 内的电荷量为 。 出于 理论 分析 的需 要， 电荷 有按 面积 和按 曲线 分布 的概 念， 其密 度定 义 为 和 ，故任意面元 dS 和线元 dl 的微分电荷量为 和 。 3．静电场的方程反映了静电场的场源关系，方程为： 微分形式： . 积分形式： . 静电场在自由空间中是有散无旋场