《电磁场》课程教学资源_综合辅导_第九章 电磁波辐射

第九章电磁波辐射一、概述1.概念（1）天线产生电磁波的振荡源称为天线。当振荡源的频率提高到使电磁波的波长与天线的尺寸相比拟时，会产生显著的辐射。天线辐射问题的严格解是满足天线边界条件的麦克斯韦方程的解，这种方法非常困难，实际中均采用近似解。（2）天线种类及分析方法天线的型式可大致分为线天线和面天线两大类。前者多半是在元电流上积分来求解，而后者则多半是求解口径绕射的问题。求解天线辐射问题的严格方法是找出满足天线边界条件的麦克斯韦方程的解。这种方法往往在计算上遇到很大的困难，有时甚至无法求解，所以实际上都采用近似解法。2.内容时变场中的位函数及滞后位的概念。元电流辐射场，包括场分量和参数。利用叠加原理求解连续元（线天线）和分立元（阵列天线）的辐射问题。利用电磁对偶性和电磁学的巴涅原理求解磁偶极子与开槽天线的辐射场。3.重点滞后位的概念。元电流辐射场的特性和参数。4.难点理解滞后位的概念。电偶极子三个场量（E，E，H，H）共由七项组成，理解为什么只有p和p场量中与厂成反比的两项（远区场）能够构成功率辐射。根据上述两项研究电偶极子的参数。5.建议加强对概念的理解。利用所学理论对线天线和阵列天线问题进行分析研究。建议学时：10二、位函数的方程及解1.时变场中位函数的引入在静态场中我们引入电位、矢量磁位或标量磁位，使电场和磁场的分析得到很大程度的简化。在时变电磁场中也可以引入一些辅助的位函数，使一些问题的分析化简。例如在处理电磁波辐射问题时，利用位函数会使问题更简单。2.位函数动态矢量位A：VxA=B(8.1.1.1)A的单位是Wb/m（韦[伯/米)。V0--(+2A)（8.1.1.2）的单位是V（伏）。动态标量位‘：3.洛仑兹规范

第九章 电磁波辐射 一、概述 1. 概念 （1）天线 产生电磁波的振荡源称为天线。当振荡源的频率提高到使电磁波的波长与天线的尺寸 相比拟时，会产生显著的辐射。天线辐射问题的严格解是满足天线边界条件的麦克斯韦方程 的解，这种方法非常困难，实际中均采用近似解。 （2）天线种类及分析方法 天线的型式可大致分为线天线和面天线两大类。前者多半是在元电流上积分来求解， 而后者则多半是求解口径绕射的问题。求解天线辐射问题的严格方法是找出满足天线边界条 件的麦克斯韦方程的解。这种方法往往在计算上遇到很大的困难，有时甚至无法求解，所以 实际上都采用近似解法。 2. 内容 时变场中的位函数及滞后位的概念。 元电流辐射场，包括场分量和参数。 利用叠加原理求解连续元（线天线）和分立元（阵列天线）的辐射问题。 利用电磁对偶性和电磁学的巴俾涅原理求解磁偶极子与开槽天线的辐射场。 3. 重点 滞后位的概念。 元电流辐射场的特性和参数。 4. 难点 理解滞后位的概念。 电偶极子三个场量（ ， ， ）共由七项组成，理解为什么只有 和 场量 中与 r 成反比的两项（远区场）能够构成功率辐射。 根据上述两项研究电偶极子的参数。 5. 建议 加强对概念的理解。 利用所学理论对线天线和阵列天线问题进行分析研究。 建议学时：10 二、位函数的方程及解 1. 时变场中位函数的引入 在静态场中我们引入电位、矢量磁位或标量磁位，使电场和磁场的分析得到很大程度 的简化。在时变电磁场中也可以引入一些辅助的位函数，使一些问题的分析化简。例如在处 理电磁波辐射问题时，利用位函数会使问题更简单。 2. 位函数 动态矢量位 ： (8.1.1.1) 的单位是 Wb/m（韦[伯]/米）。 动态标量位 ： (8.1.1.2) 的单位是 V（伏）。 3. 洛仑兹规范

dpV.A--usQt规范4.位函数的方程位函数的方程也称作非齐次的亥姆霍兹方程或者达郎贝尔方程.a?Aap=-pA---u瞬时值形式：at?at?8Vp+k@=-PV?A+k?A=-j复数形式：8其中：k=o"u5.求解分析引入位函数的目的是更简便地求解电场和磁场，由于A和互相联系，只需求解A就可得到电场强度和磁场强度，求解步骤为：A-IvxAVV.A(2) A, B=V×A(1)求出A：比(3)E=JAjous6.位函数的解需要说明的是位函数的严格求解十分繁杂，在此用较为简单的方法推导求解，学习的重点在于对解的物理含义的理解。(x,y,z,tA-Md4元Jr（1）瞬时值形式：p(x,y,z,t-4元8Jr其中r为源点到场点的距离，=/k=1/\usJ(x,y,z)A=ue-snav4元r（2）复数形式：e(x.yz)eidv"4元8Jr7.滞后位（1）概念：空间各点的标量位‘和矢量位A随时间的变化总是落后于源，因此位函数“及A通常称为滞后位

规范 4. 位函数的方程 位函数的方程也称作非齐次的亥姆霍兹方程或者达郎贝尔方程 瞬时值形式： J t A A     = −    − 2 2 2 ，      = −    − 2 2 2 t 复数形式： A k A J     + = − 2 2 ，     +  = − 2 2 k 其中：   2 2 k = 5. 求解分析 引入位函数的目的是更简便地求解电场和磁场，由于 和 互相联系，只需求解 就可得到电场强度和磁场强度，求解步骤为： （1）求出 ； （2） ， 、 ； （3） j A j A E      −   = 6. 位函数的解 需要说明的是位函数的严格求解十分繁杂，在此用较为简单的方法推导求解，学习的 重点在于对解的物理含义的理解。 （1）瞬时值形式： 其中 r 为源点到场点的距离， （2）复数形式： 7. 滞后位 （1）概念：空间各点的标量位 和矢量位 随时间的变化总是落后于源，因此位函数 及 通常称为滞后位

（2）物理意义：观察点r处的位场变化滞后于源的变化，滞后的时间r/v正好是源的变化以速度√=1/#us传播距离r所需要的时间。三、电偶极子天线的辐射1. 引入Z（1）概念：电偶极子是一种基本的辐射单元，它是一个载有时变电流的电流元，其长度远远小于波长，电流近似等值分布。如图8.2.1所示。（2）研究原因：上述电偶极子在实际中并不存在，但是实际的天线可看作无数电偶极子的级连。已知电偶极子的解和天线上的电流分布，即可根据叠加原理求解天线的辐射问题。2.前提条件（1）空间中介质均匀、线性、各向同性、无耗、无界。（2）除信号源外，空间是无源的。图8.2.1求解电流元的辐射场（3）研究正弦场。3.电偶极子场分量分析：电流元长度为d，沿z轴分布，场分布与无关，选球坐标系。利用滞后位求解，即由A.>EA=. uldle-ik，其中=us，然后便可以得出、4元4.近区场(1）条件：r>入，kr>>1IdlIdl ksin Ge-jkrSinQe-jkr（2）场分量：H~jE.~2r24r08uEo-k2H.1888（3）波阻抗：Se#0（4)结论：远区场是辐射场，是TEM波，是球面波，场量与r成反比，忘、H同相，S

（2）物理意义：观察点 r 处的位场变化滞后于源的变化，滞后的时间 r/v 正好是源的变化以 速度 传播距离 r 所需要的时间。 三、电偶极子天线的辐射 1. 引入 （1）概念：电偶极子是一种基本的辐射单元，它是 一个载有时变电流的电流元，其长度远远小于波长， 电流近似等值分布。如图 8.2.1 所示。 （2）研究原因：上述电偶极子在实际中并不存在， 但是实际的天线可看作无数电偶极子的级连。已知 电偶极子的解和天线上的电流分布，即可根据叠加 原理求解天线的辐射问题。 2. 前提条件 （1）空间中介质均匀、线性、各向同性、无耗、无 界。 （2）除信号源外，空间是无源的。 图 8.2.1 求解电流元的辐射场 （3）研究正弦场。 3. 电偶极子场分量 分析：电流元长度为 dl，沿 z 轴分布，场分布与 无关，选球坐标系。 利用滞后位求解，即由 -> -> ，其中 ，然后便可以得出 、 4. 近区场 （1）条件： ， ，此时 （2）场分量： ， ， （3）结论：近区场是感应场，是 TM 波，场量与 或 成反比，场结构与静态场相同， 、 时间相差 ， 5. 远区场 （1）条件： ， （2）场分量： jkr e r Idl H j −     sin 2 ， jkr e k r Idl E j −      sin 2 （3）波阻抗： （4）结论：远区场是辐射场，是 TEM 波，是球面波，场量与 r 成反比， 、 同相，

表示有能量向外辐射，即一个做正弦振荡的电流元可以辐射电磁波，故该电流元又称为元天线。6.天线参数（1）方向性因子定义：在离开天线的一定距离处，场量随角度变化的函数{(8,0）称为天线的方向性因子。元天线的方向性因子：F(8,0)=si 用如下的方向性图加以说明。元大级图8.2.2元天线的方向图1ai$.=$,15sin8P=40元213.3（2）辐射功率：2PR 2（3）辐射电阻：（4）方向性系数引入：天线在各方向的辐射强度不同，为了从数量上说明天线向某方向辐射功率的集中程度，利用点源天线，引入方向性系数来衡量。定义1：在相同的辐射功率下某天线产生的最大辐射强度与点源天线在同一点产生的辐射强度的比值。定义2：产生相等电场强度的前提下，点源天线的总辐射功率P 与某天线的总辐射功率P的比值。元天线的方向性系数：P -4m2Box() -602 ()D-B-1.52m元PV它表明，在垂直于天线轴方向产生相等的电场强度下，元天线的总辐射功率比点源天线总辐射功率小1.5倍。（5）天线效率与天线增益辐射功率Pns输入功率卫。天线效率：辐射功率与输入功率的比值，即天线增益：在产生相等电场强度下，点源天线需要的输入功率与实际天线需要的输入

表示有能量向外辐射，即一个做正弦振荡的电流元可以辐射电磁波，故该电流元又称为元天 线。 6. 天线参数 （1）方向性因子 定义：在离开天线的一定距离处，场量随角度变化的函数 称为天线的方向性 因子。元天线的方向性因子： 用如下的方向性图加以说明。 图 8.2.2 元天线的方向图 （2）辐射功率： ， （3）辐射电阻： （4）方向性系数 引入：天线在各方向的辐射强度不同，为了从数量上说明天线向某方向辐射功率的集 中程度，利用点源天线，引入方向性系数来衡量。 定义 1：在相同的辐射功率下某天线产生的最大辐射强度与点源天线在同一点产生的辐 射强度的比值。 定义 2：产生相等电场强度的前提下，点源天线的总辐射功率 与某天线的总辐射功 率 P 的比值。 元天线的方向性系数： => 它表明，在垂直于天线轴方向产生相等的电场强度下，元天线的总辐射功率比点源天 线总辐射功率小 1.5 倍。 （5）天线效率与天线增益 天线效率：辐射功率与输入功率的比值，即 。 天线增益：在产生相等电场强度下，点源天线需要的输入功率与实际天线需要的输入

Pei =PoG==nDPeP/n功率的比值，它等于天线的方向性系数与其效率的乘积，即7.线天线的辐射问题ZA分析方法：可以运用叠加原理把线天线看成到P点是由许许多多元天线构成的一个整体，这些元天线彼此的电流大小并不相同，然后利用积分求和的办法把它们在某点产生的场强叠加起来，就可以得到该点的总场强。例如，对于图8.2.5中长度为1的天线，在观Y7察点P的矢量磁位为：C1(2)e-10AdeA (ro,8.) =4元Jr此处1(2)表示沿天线变化的电流，求出矢量图8.2.4利用叠加原理求辐射场磁位后，即可求出P点的电场强度和磁场强度。四、电与磁的对偶性1.引入如果我们引入假想的磁荷与磁流的概念，将一部分原来由电荷和电流产生的电磁场用能够产生同样电磁场的的等效磁荷和磁流来取代，磁场各无力量和电场的各物理量就一一对应起来，有时可以大大简化计算工作。2.麦克斯韦方程组的对偶性aDVxE--2E-J.VXA-亨·B-pmV·D=peatat3.电场与磁场的对偶性假使我们将电场（或磁场B）写成是由电源产生的电场（或磁场H。）与由磁源EE+ED-D+D2庄1H=H+HB-B,+BEm（或磁场*）二者之和，即（产生的电场[ -%, -B, - 0 [_--B-.Bu-P-atatVxA.-aDVxH-aD2-+J.V.D,=p.M.V·D.=0atat则有：从这些式子可以看出电场与磁场的对偶性。4.位函数的对偶性京云我们将电场（或磁场H）写成是由电场E。（或磁场H。）与由磁源产生的电场（或-庄）二者之和。磁场

功率的比值，它等于天线的方向性系数与其效率的乘积，即 7. 线天线的辐射问题 分析方法：可以运用叠加原理把线天线看成 是由许许多多元天线构成的一个整体，这些元天 线彼此的电流大小并不相同，然后利用积分求和 的办法把它们在某点产生的场强叠加起来，就可 以得到该点的总场强。 例如，对于图 8.2.5 中长度为 l 的天线，在观 察点 P 的矢量磁位为： 此处 表示沿天线变化的电流，求出矢量 图 8.2.4 利用叠加原理求辐射场 磁位后，即可求出 P 点的电场强度和磁场强度。 四、电与磁的对偶性 1. 引入 如果我们引入假想的磁荷与磁流的概念，将一部分原来由电荷和电流产生的电磁场用能 够产生同样电磁场的的等效磁荷和磁流来取代，磁场各无力量和电场的各物理量就一一对应 起来，有时可以大大简化计算工作。 2. 麦克斯韦方程组的对偶性 3. 电场与磁场的对偶性 假使我们将电场 （或磁场 ）写成是由电源产生的电场 （或磁场 ）与由磁源 产生的电场 （或磁场 ）二者之和，即 则有： ， 从这些式子可以看出电场与磁场的对偶性。 4. 位函数的对偶性 我们将电场 （或磁场 ）写成是由电场 （或磁场 ）与由磁源产生的电场 （或 磁场 ）二者之和

VXAVXFaFaAE=-Vo:VoatatrAJ.(t -J.(t-114VA-Rdrdr4元4元rrp.t-?Pm(t-L)ydr04元4元Jsrur5.电场强度和磁场强度的对偶性aDaA_1VxFVXA=9弃=-V0-+Jat8at6.电流线密度与磁流线密度的对偶性a+IVxAH=-V0m+J$=nX(H,-H,)atu7.电磁对偶性的应用根据电源量和磁源量之间的对偶关系，可以得到它们之间的互换规则，即如何由一电7源量公式求出它的磁源量公式，互换的原则是将原式中的一一克x( 一-.）用花来代替，反之亦然。例如，可以根据互换原则由电偶极子的场直接得到磁偶极子的场。五、磁偶极子与开槽天线1.磁偶极子的远区辐射场I!ImlsinQe6sinQe-6H.=E--2n入r2入r2.开槽天线金属板图8.4.1磁偶极子图8.4.2开槽天线

5. 电场强度和磁场强度的对偶性 6. 电流线密度与磁流线密度的对偶性 7. 电磁对偶性的应用 根据电源量和磁源量之间的对偶关系，可以得到它们之间的互换规则，即如何由一电 源量公式求出它的磁源量公式，互换的原则是将原式中的 用 来代 替，反之亦然。 例如，可以根据互换原则由电偶极子的场直接得到磁偶极子的场。 五、磁偶极子与开槽天线 1. 磁偶极子的远区辐射场 2. 开槽天线 图 8.4.1 磁偶极子 图 8.4.2 开槽天线

（1）引入：如图一厚度很薄，宽度为W的磁偶极子在垂直于磁偶极子轴线的平面上电场线的分布。在a-a面上电场线与它处处垂直，因此我们可以在该面上放置一理想金属板而不致改变电场线的分布情况。现在假设我们将磁偶极子抽出，在由此生成的槽口上用外加横向电场来代替磁偶极子表面的纵向电流，在磁偶极子两端电场为零的地方，理想金属板予以短路，则电场线在空间的分布不会改变，就构成了所谓的开槽天线。（2）分析：开槽天线与磁偶极子唯一的差别是开槽天线在金属板两面的电场不连续，但辐射的方向图却是一样的。因此开槽天线可以用对磁偶极子的分析来进行研究。在无限大金属板上，开槽天线所产生的方向图和具有与槽口相同面积的金属板天线（称为开槽天线的互补天线）在无限大空间的方向图相同。2?图8.4.3半波开槽天线图8.4.4互补天线六、天线阵1.天线阵的概念及分析方法许多天线放在一起就构成了天线阵。这种天线阵的方向图可把各天线的方向图叠加在一起求得。因此天线阵的方向图与每一天线的型式、取向以及天线上电流分布的大小与相位等有关。调整天线之间的相对位置和电流关系，可以得到各种形状的方向图，以适应我们的需要。2.二元天线阵到P点E-E(1+m)P点的合成场强为3.均匀直线式天线阵定义：指各源天线除了以相同的取向和相等的间距排列成一直线外，它们的电流大小相等，而相位则以均匀的比例递增或递减。天线阵轴线P点的合成场强为：图8.5.1均匀直线式天线阵E-E+E,+E, +.+Bw-- -E(1+e+/24+.+gJW-1W)式中Φ=kdcos-α

（1）引入：如图一厚度很薄，宽度为 w 的磁偶极子在垂直于磁偶极子轴线的平面上电场线 的分布。在 a-a 面上电场线与它处处垂直，因此我们可以在该面上放置一理想金属板而不致 改变电场线的分布情况。现在假设我们将磁偶极子抽出，在由此生成的槽口上用外加横向电 场来代替磁偶极子表面的纵向电流，在磁偶极子两端电场为零的地方，理想金属板予以短路， 则电场线在空间的分布不会改变，就构成了所谓的开槽天线。 （2）分析：开槽天线与磁偶极子唯一的差别是开槽天线在金属板两面的电场不连续，但辐 射的方向图却是一样的。因此开槽天线可以用对磁偶极子的分析来进行研究。在无限大金属 板上，开槽天线所产生的方向图和具有与槽口相同面积的金属板天线（称为开槽天线的互补 天线）在无限大空间的方向图相同。 图 8.4.3 半波开槽天线 图 8.4.4 互补天线 六、天线阵 1. 天线阵的概念及分析方法 许多天线放在一起就构成了天线阵。 这种天线阵的方向图可把各天线的方向图叠加在一起求得。因此天线阵的方向图与每 一天线的型式、取向以及天线上电流分布的大小与相位等有关。调整天线之间的相对位置和 电流关系，可以得到各种形状的方向图，以适应我们的需要。 2. 二元天线阵 P 点的合成场强为 3. 均匀直线式天线阵 定义：指各源天线除了以相同的取向和相等的间距 排列成一直线外，它们的电流大小相等，而相位则以均 匀的比例递增或递减。 P 点的合成场强为： 图 8.5.1 均匀直线式天线阵 式中

Nsin2f(@)dsin最大值条件为=02阵因子4.侧射式天线阵定义：各元电流同相的均匀直线式天线阵，由于天线轴线两侧由最大的辐射，故称为侧射式天线阵。阵因子公式为：N,sin(kdcosp)2f(g) =0=(2m+1)=m=0,12...kdcos)sin(-27最大值的条件为5.相控阵天线90°QCOSO=COSm令上式中的=0kd.，可得它表示天线阵的最大辐射方向取决于相邻二元a之间的相位差α。改变α，可以改变天线阵的最34567880大辐射方向，这就是相控阵天线的工作原理。0当α=kd时，m=0°，最大辐射方向在天线阵的轴方向。这种α=kd的均匀直线式天线阵称为端射式天线。如图8.5.4所示图8.5.4八元端射式天线阵的方向图七、小结1.动态矢量位A和动态标量位?的方程为a?AaV"A-HE-u-P/sat?at2a?A"A-HE0T=-其复数形式分别为A+A=-μ和ae=-pleot?其中2.动态场中引入的标量位和矢量位是滞后位，即它们的值是由此时刻以前的源决定的，滞后的时间是电磁波传播从源点到场点所需的时间。3.利用滞后位可计算电流元的辐射场，由此可作出它的方向图并计算其辐射功率，辐射电阻和方向性系数，增益等参量。4.利用电与磁的对偶性和互换原则可以由电偶极子的辐射场直接求出磁偶极子的辐射场

阵因子 ， 最大值条件为 4. 侧射式天线阵 定义：各元电流同相的均匀直线式天线阵，由于天线轴线两侧由最大的辐射，故称为 侧射式天线阵。阵因子公式为 ： ， 最大值的条件为 5. 相控阵天线 令上式中的 ，可得 。 它表示天线阵的最大辐射方向 取决于相邻二元 之间的相位差 。改变 ，可以改变天线阵的最 大辐射方向，这就是相控阵天线的工作原理。 当 时， ，最大辐射方向在天线阵 的轴方向。这种 的均匀直线式天线阵称为 端射式天线。如图 8.5.4 所示. 图 8.5.4 八元端射式天线阵的方向图 七、小结 1. 动态矢量位 和动态标量位 的方程为 ， 其复数形式分别为 和 其中 2. 动态场中引入的标量位和矢量位是滞后位，即它们的值是由此时刻以前的源决定的，滞 后的时间是电磁波传播从源点到场点所需的时间。 3. 利用滞后位可计算电流元的辐射场，由此可作出它的方向图并计算其辐射功率，辐射电 阻和方向性系数，增益等参量。 4. 利用电与磁的对偶性和互换原则可以由电偶极子的辐射场直接求出磁偶极子的辐射场

根据电磁学上的巴俾涅原理，理想导电金属板上开槽天线的辐射场，可利用它的互补天线求解。5.线天线是由许许多多电流元组成的。由各段电流元产生的场的叠加，可求得线天线的辐射场。叠加的时候应考虑场矢量之间在空间和时间上的相互关系。6.许多付天线放置在一起组成天线阵，同样可以利用叠加原理求得天线阵的方向图。由相同型式和相同取向的单元天线组成的天线阵，它的方向图是单元天线的方向图乘上阵因子。a?AVA-HE-aT=-m和7.时变场中的矢量位方程和标量位方程为ae7-E-=-P/Eat2

根据电磁学上的巴俾涅原理，理想导电金属板上开槽天线的辐射场，可利用它的互补天线求 解。 5. 线天线是由许许多多电流元组成的。由各段电流元产生的场的叠加，可求得线天线的辐 射场。叠加的时候应考虑场矢量之间在空间和时间上的相互关系。 6. 许多付天线放置在一起组成天线阵，同样可以利用叠加原理求得天线阵的方向图。由相 同型式和相同取向的单元天线组成的天线阵，它的方向图是单元天线的方向图乘上阵因子。 7. 时 变 场 中 的 矢 量 位 方 程 和 标 量 位 方 程 为 和