《电磁场》课程教学资源_习题训练_第八章 导行电磁波

第八章导行电磁波8.1为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？解因为矩形波导中的主模为TE"o模，而由TEio的管壁电流分布可知，在波导宽边中线处只有纵向电流。因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布，也不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。（如题8.1图）题8.1图8.2下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在TMIl模式的截止频率。(1)a×b=23×10mm2:(2)a×b=16.5×16.5mm2。解截止频率Jus=oco当介质为空气（1）当axb=23mmx10mm，工作模式为TMm11（m=1.n=1），其截止频率为J=3x10(1）71=16.36(GHz)23102(2）当a×b=16.5mmx16.5mm，工作模式仍为TMl（m=1,r=1），其截止频率为的J=3x10l1+=12.86(GHz)216.5）16.5V由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率无关。8.3 推导矩形波导中 TEm模的场分布式

第八章 导行电磁波 8.1 为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？ 解 因为矩形波导中的主模为 TE10 模，而由 TE10 的管壁电流分布可知，在波导宽边中线处 只有纵向电流。因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布，也 不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。(如题 8.1 图). a/2 题 8.1 图 8.2 下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在 TM11 模式的截止频率。 （1） 2 a b mm  =  23 10 ；（2） 2 a b mm  =  16.5 16.5 。 解 截止频率 2 2 1 2 c m n f a b         = +         当介质为空气 0 0 1 c    = = 。 （1）当 a b =  23mm 10mm ，工作模式为 TM11 （m=1,n=1），其截止频率为 ( ) 2 2 11 3 10 1 1 16.36 GHz 2 23 10 c f      = + =         （2）当 a b mm mm  =  16.5 16.5 ，工作模式仍为 TM11 （m=1,n=1），其截止频率为 的 ( ) 2 2 11 3 10 1 1 12.86 GHz 2 16.5 16.5 c f      = + =         由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率 无关。 8.3 推导矩形波导中 TEmn 模的场分布式

e题8.3图率对于TE波有E,=0,H,0解Hz应满足下面的波动方程和边界条件：V?H.+k"H.=0E, |x=0.a = 0[E -0,6 = 0(1)由均匀导波系统的假设，有H.(x,y,=)=H.(x,y)e-[:将其代入式(1)，得aH?aH.?aH?+k2H.=0ax?ay2Oz即??+hH.(x,y)=0ax2ay?(2)其中h=+2该方程可利用分离变量法求解。设其解为：H.(x,y)= f(x)g(y)(3)将式(3)代入式(2)，然后等式两边同除以(+)g(v)，得d?f(x)_1dg(y)+h(x)dx?g(y)dy上式中等式左边仅为x的函数，等式右边仅为y的函数，要使其相等，必须各等于常数。于是，该式可分离出两个常微分方程d'f(a)+kf(x)=0dx?(4a)d'g(v).+k,g(v)=0dy?(4b)其中k?+k?=h?(5)

题 8.3 图 解 对于 TE 波有 z z E H =  0, 0。 H z 应满足下面的波动方程和边界条件： 2 2 0, 0, 0 0 0 z z y x a x y b H k H E E = =  + =    =   =  （1） 由均匀导波系统的假设，有 ( , , , ) ( ) z H x y z H x y e z z −  = 将其代入式(1)，得 222 2 2 2 0 zzz z HHH k H x y z  + + + =    即 ( ) 2 2 2 2 2 , 0 z h H x y x y     + + =       （2） 其中 2 2 2 h k =  + 。 该方程可利用分离变量法求解。设其解为： ( , ) ( ) ( ) H x y f x g y z = (3) 将式(3) 代入式(2)，然后等式两边同除以 f x g y ( ) ( ) ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 d f x d g y h f x dx g y dy − = + 上式中等式左边仅为 x 的函数，等式右边仅为 y 的函数，要使其相等，必须各等于常数。 于是，该式可分离出两个常微分方程 ( ) ( ) 2 2 2 0 x d f x k f x dx + = (4a) ( ) ( ) 2 2 2 0 y d g y k g y dy + = (4b) 其中 2 2 2 x y k k h + = (5)

式(4a)的通解为f(x)=Asink,x+Bcosk,x(6)由于在x=0和x=a的边界上，满足E,Ix=o= 0E,|x==0由纵向场与横向场的关系，得E,=jouahk?axH,(x,y)满足则在x=0和 x=a 的边界上，aH.aH.=0=0axax于是将其代入式(6)得A=0m元k,(m=0,1,2,3....)a所以m元f(x)= Bcosa同理得式(4)的通解g(y)=Csink,y+Dcosk,y满足的边界条件为H.aH.[=6 = 0y/-0=0ay于是得C=0n元k,=(n=0.1.2.3....)hg(g)= Dcos nT6所以，得到矩形波导中TE波的纵向场分量(mx)cosH.(x,y)= H.cos(m式中Ho=CD由激励源强度决定。本征值为h =k?+k?利用纵向场与横向场的关系式可求得TE的其他横向场分量joun元E,(x,y)=h2Fjoum元H。 sin(mx)cos(E.(x,y)=h

式(4a)的通解为 ( ) sin cos x x f x A k x B k x = + (6) 由于在 x=0 和 x=a 的边界上，满足 0 0 E y x= = ， 0 E y x a= = 由纵向场与横向场的关系，得 2 z y c j H E k x   =  则在 x=0 和 x=a 的边界上， ( , ) H x y z 满足 0 0 z x H x =  =  ， 0 z x a H x =  =  于是将其代入式 (6)得 A= 0 x ( 0,1,2,3.) m k m a  = = 所以 ( ) cos m f x B x a  = 同理得式(4)的通解 ( ) sin cos y y g y C k y D k y = + 满足的边界条件为 0 0 z y H y =  =  0 z y b H y =  =  于是得 C = 0 y ( 0,1,2,3,.) n k n b  = = ( ) cos n g y D y b  = 所以，得到矩形波导中 TE 波的纵向场分量 ( ) 0 , cos cos z m n H x y H x y a b       =         式中 H0=CD 由激励源强度决定。 本征值为 2 2 2 2 2 x y m n h k k a b       = + = +         利用纵向场与横向场的关系式可求得 TE 的其他横向场分量 ( ) 2 0 n m n , cos sin x j E x y H x y h b a b           =             ( ) 2 0 m m n , sin cos y j E x y H x y h a a b           = −            

H, (x,y)=H.sinsin(-oos(）62/aH.cos(mz,jk.(n元H,(x,y)=sir62设矩形波导中传输TE1o模，求填充介质（介电常数为ε）时的截止频率及波导波8.4长。解截止频率f.2元8对于TEro（m=l,n=0），得.2aJus2T.TC波导波长2元2元B1wue2元2=u为无界空间介质中的波长。式中8.5已知矩形波导的横截面尺寸为α×b=23×10mm2，试求当工作波长几=10mm时，波导中能传输哪些波型？元=30mm时呢？解波导中能传输的模式应满足条件(f)mn（工作频率大于截止频率）在矩形波导中截止波长为2元2c() ()由传输条件2元<(g) ()当2=10mm时上式可写为[() -()能满足传输条件的m和n为

( ) 2 0 m m n , sin cos z x jk H x y H x y h a a b          =             ( ) 2 0 , cos sin z y jk n m n H x y H x y h b a b          =             8.4 设矩形波导中传输 TE10 模，求填充介质（介电常数为  ）时的截止频率及波导波 长。 解 截止频率 2 2 1 m n 2 c f a b         = +         对于 TE10 （m=1,n=0），得 2 1 1 2 2 c f a a       = =     波导波长 2 2 2 2 2 2 1 1 g c c f f f f        = = = − − 式中 2    = 为无界空间介质中的波长。 8.5 已知矩形波导的横截面尺寸为 2 a b mm  =  23 10 ，试求当工作波长  =10mm 时，波导中能传输哪些波型？  = 30mm 时呢？ 解 波导中能传输的模式应满足条件 ( )c mn    （工作波长小于截止波长） 或 ( ) c mn f f  （工作频率大于截止频率） 在矩形波导中截止波长为 2 2 2 m n c a b     =         +     由传输条件 2 2 2 m n 23 10           +     当 =10mm 时上式可写为 1 2 2 2 2 m n<10 10 23             −         能满足传输条件的 m 和 n 为

（1）m=0,n<2，可传播TEol波；(2）m=1,n<1.95，可传TEo,TE,TM波(3）m=2,n<1.8，可传播TE20,TE21,TM21波；(4）m=3,1.5可传播EoTE,TMa波（5）m=4,n<0.95，可传播TE4o0波。当元=30mm时，应满足[(%) -(α)n<10l（1）m=0,n<0.66（无波型存在）：（2）m=1,n<0.5，可传播TEro波；（3）m=2,不满足条件，故此时只能传输TEro波。8.6一矩形波导的横截面尺寸为α×b=23×10mm2由紫铜制作，传输电磁波的频率为f=10GHz。试计算：（1）当波导内为空气填充，且传输TElo波时，每米衰件多少分贝？（2）当波导内填充以6，=2.54的介质，仍传输TElo波时，每米衰件多少分贝？解当波导内为空气填充时，其工作波长为元=二_3×108= 3×10-2 = 3(cm)f10×10%=当波导内填充以6,=2.54的介质时。其工作波长为3×1084元==1.88×10-2 = 1.88(cm)2.54×10×10%f波导壁的表面电阻元fR, =2查表得紫铜的电导率/=5.8x10°(S/m)于是3.14×10×10×4×3.14×10-7R.=0.0261(2)5.8×107矩形波导中传输TE10波时，由导体引起的衰减为R.[+2(]α.=oj-(ylo2 ~ 377(2)nV60，得（1）当波导内为空气填充

（1） m=0,n<2 ，可传播 TE01 波； （2） m=1,n<1.95 ，可传播 TE ,TE ,TM 10 11 11 波； （3） m=2,n<1.8 ，可传播 TE ,TE ,TM 20 21 21 波； （4） m=3,n<1.5 ，可传播 TE ,TE ,TM 30 31 31 波； （5） m=4,n<0.95 ，可传播 TE40 波。 当 =30mm 时，应满足 1 2 2 2 2 m n<10 30 23             −         （1） m=0,n<0.66 （无波型存在）； （2） m=1,n<0.5 ，可传播 TE10 波； （3） m=2, 不满足条件，故此时只能传输 TE10 波。 8.6 一矩形波导的横截面尺寸为 2 a b mm  =  23 10 由紫铜制作，传输电磁波的频率为 f = 10GHz 。试计算： （1）当波导内为空气填充，且传输 TE10 波时，每米衰件多少分贝？ （2）当波导内填充以 r  = 2.54 的介质，仍传输 TE10 波时，每米衰件多少分贝？ 解 当波导内为空气填充时，其工作波长为 ( ) 8 2 9 3 10 3 10 3 10 10 v cm f   − = = =  =  当波导内填充以 r  = 2.54 的介质时。其工作波长为 ( ) 8 2 9 3 10 1.88 10 1.88 2.54 10 10 v cm f   − = = =  =   波导壁的表面电阻 s f R    = 查表得紫铜的电导率 ( ) 7  =  5.8 10 / S m ，于是 ( ) 9 7 7 3.14 10 10 4 3.14 10 0.0261 5.8 10 R s −      = =   矩形波导中传输 TE10 波时，由导体引起的衰减为 2 2 1 2 2 1 2 s c R b a a b a         = +             −     （1）当波导内为空气填充， ( ) 0 0 377    =   ，得

RAa(2a(元)bn/1-(2a0.02612003023(2×23)3010×10×377(2×23= 0.011(Np/m)用分贝表示α。= 0.011×8.686 = 0.094(dB/m)（2）当波导内填充以6，=2.54的介质时R.JE,2b(元)1+2a.a(2a)yi-(bno12a0.0261×2.5420 ( 1.8823(2×231.8810×10×377(2×23）= 0.013(Np/m)用分贝表示α。= 0.013×8.686=0.113(dB/m)8.7试设计入=10cm的矩形波导。材料用紫铜，内充空气，并且要求TEio模的工作频率至少有30%的安全因子，即0.7。≥≥1.3Ja，此处/a和Je2分别表示TE.o波和相邻高阶模式的截止频率。0.7f≥≥1.3fea，即解由题给：0.7(J.)rE ≥ ≥1.3(J.)TEio若用波长表示，上式变为0.71.31(.)rEs元(a.)rE1o即0.7、11.3,110'2a10a由此可得6.5≤a≤7选择a=6.8(cm)为防止高次模TEol的出现，窄边b的尺寸应满足>(α)rE. =2b

2 2 1 2 2 1 2 s c R b a a b a         = +             −    ( ) 2 2 0.0261 20 30 1 23 2 23 30 10 10 377 1 2 23 0.011 Np/m     = +                −     = 用分贝表示 c =  = 0.011 8.686 0.094 dB/m ( ) （2）当波导内填充以 r  = 2.54 的介质时 2 2 0 1 2 2 1 2 s r c R b a a b a          = +             −    ( ) 2 2 0.0261 2.54 20 1.88 1 23 2 23 1.88 10 10 377 1 2 23 0.013 Np/m      = +                −     = 用分贝表示 c =  = 0.013 8.686 0.113 dB/m ( ) 8.7 试设计  =10cm 的矩形波导。材料用紫铜，内充空气，并且要求 TE10 模的工作频 率至少有 30% 的安全因子，即 2 1 0.7 1.3 c c f f f   ，此处 c1 f 和 c2 f 分别表示 TE10 波和相邻 高阶模式的截止频率。 解 由题给： 2 1 0.7 1.3 c c f f f   ，即 ( ) ( ) TE TE 20 10 0.7 1.3 c c f f f   若用波长表示，上式变为 ( ) ( ) TE TE 20 10 0.7 1 1.3    c c   即 0.7 1 , a 10  1.3 1 2 10 a  由此可得 6.5 7   a 选择 a cm = 6.8( ) 为防止高次模 TE01 的出现，窄边 b 的尺寸应满足 ( ) 01 c TE    = 2b

即0<b<5(cm)考虑到传输功率容量和损耗情况，一般选取b=(0.4~ 0.5)a故设计的矩形波导尺寸为a×b=6.8×3.4(cm2)8.8矩形波导的前半段填充空气，后半段填充介质（介电常数为e），问当TElo波从空气段入射介质段时，反射波场量和透射波场量各为多大？解由反射系数E-nZ-Z0E,n2+nZ, + Z,得[E,=pE,即反射波场量的大小为入射波场量的P倍。由透射系数[E,I2n22Z,E,Z, + Z,n+n得[E,=t|E,]即透射波场量的大小为入射波场量的↑倍。因此只须求出P和T即可得到解答。矩形波导中TE1o模的波阻抗为nZrEio-(s)2其中=A=，当介质为空气时，得noZ:1-(当介质的介电常数为6=0r时，得nnonoZ, 于是

即 0 5  b cm( ) 考虑到传输功率容量和损耗情况，一般选取 b a = (0.4 0.5) 故设计的矩形波导尺寸为 ( ) 2 a b cm  =  6.8 3.4 8.8 矩形波导的前半段填充空气，后半段填充介质（介电常数为  ），问当 TE10 波从 空气段入射介质段时，反射波场量和透射波场量各为多大？ 解 由反射系数 2 1 2 1 2 1 2 1 = r i Z Z Z Z      − − = = + + E E 得 E E r i = 即反射波场量的大小为入射波场量的  倍。 由透射系数 2 2 2 1 2 1 2 2 = t i Z Z Z     = = + + E E 得 E E t i = 即透射波场量的大小为入射波场量的  倍。因此只须求出  和  即可得到解答。 矩形波导中 TE10 模的波阻抗为 TE10 2 1 ( ) c Z    = − 其中 0 r      = = ， 0 r    = 当介质为空气时，得 0 1 2 1 ( ) c Z    = − 当介质的介电常数为 0 r    = 时，得 0 0 2 2 1 0 0 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) r r c r c c Z             = = = − − − 于是

no20Y6-Z, - Z,2=noZ, + Z,n2n2Z,noZ, +Zno TE.8.9试推导在矩形波导中传输mn波时的传输功率。解波导中传输的功率可由波导横截面上坡印廷失量的积分求得LTE1[ExH'-dS=[E" ds :[ dsP=Re-2.2Z.EdE+Edxdy2Z.0ZiE为波阻抗。式中E和H分别为波导横截面内的电场强度和磁场强度，矩形波导中E.(x,)=jo())H.co(一)sim(hh2jou/m元m元H,sinE,(x,y)Icosh2于是(E,P+E,F)adyP27- ()0(sm(ddysin(oos(dd)n元2Z.Lh元dy0cn2Z

0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 1 2 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) r r c c r r c c Z Z a a Z Z a a                      − − − − − − − = = = + + − + − − − 0 0 2 0 2 2 2 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) r c r r c c Z a Z Z a a                 − − = = = + + − + − − − 8.9 试推导在矩形波导中传输 TEmn 波时的传输功率。 解 波导中传输的功率可由波导横截面上坡印廷矢量的积分求得 mn mn mn 2 2 TE TE 2 2 TE 0 0 1 1 Re d d d 2 2 2 1 ( )d d 2 s s s b a x y Z P S S Z E E x y Z  =   = = = +      E H S E H 式中 E 和 H 分别为波导横截面内的电场强度和磁场强度， TEmn Z 为波阻抗。 矩形波导中 ( ) 2 0 n m n , cos sin x j E x y H x y h b a b           =             ( ) 2 0 m m n , sin cos y j E x y H x y h a a b           = −             于是 ( ) mn mn mn mn 2 2 TE 0 0 2 TE 0 0 2 TE 0 0 2 2 2 2 TE 0 0 2 1 2 1 n m n cos sin 2 m m n sin cos 2 n n m sin cos 2 b a x y b a m b a m m b a m P E E dxdy Z E x y dxdy Z b a b E x y dxdy Z a a b E b y dy x dx Z b a m E          = +       =                   +                       =         +         mn 2 2 2 TE 0 0 n m cos sin 2 b a a y dy x dx Z b a                       

n元m元EN.N.N.N.bababa442Z1Em2ZTmabab Eh'N.N8ZrEam8ZTE式中oEHh(m±0)(n+0)N..[2 (n=0)2(m=0)8.10_试设计一工作波长几=5cm的圆柱形波导，材料用紫铜，内充空气，并要求TE波的工作频率应有一定的安全因子。解TEU模是圆柱形波导中的主模，为保证单模传输，应使工作频率大于TEI模的截止频率而小于第一次高模TMol的截止频率，即2元aa(2)rMu2.405于是得2元a2元aa>2.613.41选择a=2_5(cm)338.11 求圆柱形波导中 TEom波的传输功率。解传输功率T[E]asP=Re-ExH'.dS227rdrdgE.+2Z.圆柱形波导中的TEon模的场分量[E,] = 0 HJ. (hr)= EJ (hr)E.=K

mn mn mn mn 2 2 2 2 TE TE 2 2 2 2 2 TE TE n 2 4 2 4 n 8 8 m m n m m n m n m m m n m E N N E N N b a ab ab Z Z ab m ab N N E E h N N Z b a Z                 = +       = + =               式中 E H m 2 0 h  = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 m 0 1 n 0 , 2 m=0 2 n=0 N N m n       = =       8.10 试设计一工作波长  = 5cm 的圆柱形波导，材料用紫铜，内充空气，并要求 TE11 波的工作频率应有一定的安全因子。 解 TE11 模是圆柱形波导中的主模，为保证单模传输，应使工作频率大于 TE11 模的 截止频率而小于第一次高模 TM01 的截止频率，即 ( ) 11 c TE 2 1.841 a    = 和 ( ) 11 c TM 2 2.405  a    = 于是得 2 2 2.405 1.841   a a    圆柱形波导的半径 a 应满足 2.61 3.41 a     选择 ( ) 5 3 3 a cm  = = 8.11 求圆柱形波导中 TE0n 波的传输功率。 解 传输功率 ( ) 0n 0n 2 TE 2 2 2 TE 0 0 1 1 Re 2 2 1 2 s s a r P d dS Z E E rdrd Z     =  • = = +     E H S E 圆柱形波导中的 TE0n 模的场分量 0 E r = ( ) ( ) ' ' 0 m 0 m c E H J hr E J hr k   = =

由贝塞尔函数的递推公式㎡J (hr)- Jml(hr)J"(hr)=-kr因为m=0，则Jm(hr)= J(hr)=-J.(hr)所以[E[= EJ (hr)2元P[J, (hr)rd)E2ZTE而F s a- om (om/om--[()- () (0) 由电场切向分量连续的边界条件可知E,(r=a)=0即J (ha)=-J,(ha) =0J (ha)= 2)(ha)-J (ha)=-J (ha)ha故aJ' (hr)rdr =-J. (ha)2则圆柱形波导中 TEon 的传输功率为=E (ha)P=2ZTEon试求圆波导中 TEonr模由于管壁不是完纯导体而引起的衰减α。8.12解波导中由于管壁不是完纯导体而引起的衰减P.α=2P式中：表示波导中单位长度的损耗功率；P表示传输功率。HRdsP :2JR,为导体的表面电阻。而J,α =-e, ×(e,H, +e,H, +e,H.)- =(-e,H,+e,H.),H.=0由圆波导中TEm的场分量表示式可知，当m=0 时，得J,lra=a,H =[H- = HoJ。(ha)则

由贝塞尔函数的递推公式 ( ) ( ) ( ) ' m m m+1 m c J hr J hr J hr k r = − 因为 m=0， 则 ( ) ( ) ( ) ' ' m 0 1 J hr J hr J hr = = − 所以 ( ) E E J hr  = 0 1 ( ) 0n 2 2 0 1 TE 0 2 2Z a P E J hr rdr  =  而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 0 2 2 1 0 2 1 2 a a c J hr rdr hr J hr d hr k a J ha J ha J ha = = −       由电场切向分量连续的边界条件可知 E r a ( ) 0  = = 即 ( ) ( ) ' 0 1 J ha J ha = − = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 2 J ha J ha J ha J ha ha = − = − 故 ( ) ( ) 2 2 2 1 0 0 2 a a J hr rdr J ha =  则圆柱形波导中 TE0n 的传输功率为 ( ) 0n 2 2 2 0 0 TE 2Z a P E J ha  = 8.12 试求圆波导中 TE0n 模由于管壁不是完纯导体而引起的衰减 c 。 解 波导中由于管壁不是完纯导体而引起的衰减 c 2 Pl P  = 式中： Pl 表示波导中单位长度的损耗功率； P 表示传输功率。 1 2 2 l s s s P R dS =  J R s 为导体的表面电阻。而 s r r r z z z z ( ) ( ) r a r a r a = H H H H H     = = J e e e e e e = −  + + = − + 由圆波导中 TEmn 的场分量表示式可知，当 m=0 时 H 0  = ，得 ( ) s z z r a r a 0 0 r a H H H J ha = =  = J a = = = 则