《电磁场》课程教学资源_习题训练_第一章 矢量分析

第一章矢量分析1.1给定三个矢量A、B和C如下：A=e.+e.2-e.3B=-e,4+e.C=e,5-e.2求：（1)"A；（2)[A-Bl，（(3)AB；（4)aB；（5)A在B上的分量：（6）AxC:(7) A(B×C)和(AxB)C; (8) (AxB)×C和Ax(BxC)。Ae,+e,2-e.3一.23()(*解[A-B=(e, +e,2-e.3)-(-e,4+e.)(2）=e +e,6-e.4= /53(3) AB=(e, +e,2-e,3)(-e,4+e,)=-11(4) 由A·B-1111COSOABAB/14×V17238得110 AB = arccos(-0=135.5J238（5）A在B上的分量11A.B Ag=A|cosOAB[Bl 17leeye:2-3(6) AxC=1-e,4-e,13-e.10-250（7）由于ese:ey-401BxC==e8+e,5+e.2050 -2ereye2 -3AxB=11=-e,10-e,-e.40-41所以A(BxC)=(e,+e,2-e.3)(e,8+e,5+e.20)=-42(AxB).C=(-e,10-e,1-e.4)(e,5-e.2)=-42

第一章 矢量分析 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下： 2 3 A e e e = + − x y z 4 B e e = − + y z 5 2 C e e = − x z 求：（1） A a ；（2） A B− ；（3） AB ；（4）  AB ；（5） A 在 B 上的分量；（6） A C ； （7） A B C ( )  和 ( ) A B C  ；（8） ( ) A B C   和 A B C   ( ) 。 解 2 2 2 (1) 2 3 1 2 3 1 2 ( 3) 14 14 14 x y z A x y z + − = = = + − + + − A e e e a e e e A （2） ( 2 3) ( 4 ) A B e e e e e − = + − − − + x y z y z 6 4 53 = + − = x y z e e e （3） ( 2 3) ( 4 ) 11 A B e e e e e = + − − + = − x y z y z （4）由 11 11 cos 14 17 238  AB − = = = −  A B A B 得 11 arccos( ) 135.5 238  AB = − = （5） A 在 B 上的分量 11 cos 17 AB AB = = = −  A B A B (6) 1 2 3 4 13 10 5 0 2 x y z  = − = − − − x y z − e e e A C e e e （7）由于 0 4 1 8 5 20 5 0 2 x y z  = − = + + x y z − e e e B C e e e 1 2 3 10 4 0 4 1 x y z  = − = − − − x y z − e e e A B e e e 所以 ( ) ( 2 3) ( 8 5 20) 42 A B C e e e e e e  = + − + + = − x y z x y z ( ) ( 10 1 4) ( 5 2) 42 A B C e e e e e  = − − − − = − x y z x z

exey e.-10 -1-4(8)(AxB)xC==e,2-e.40+e.550-2-ereye.12-3Ax(BxC)==e,55-e.44-e.1185201.2三角形的三个顶点为P(0,1,-2)、P(4,1,-3)和P(6,2,5)。（1）判断APPP是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解（1)三个顶点P(0,1,-2)、P(4,1,-3)和P(6,2,5)的位置矢量分别为r=e,-e.2r=e,4+e,-e.3r=e6+e,2+e.5则R2 =r-r=e,4-e.R2,=r-r,=e,2+e,+e.8Rr=r-r,=-e,6-e,-e.7由此可见R2.R3 =(e,4-e.)-(e,2+e, +e.8)=0故APPP为一直角三角形。（2）三角形的面积s2|×[Rs|=V7×/69=17.13S=1R,×R3]求P(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。1.3rp=-e,3+e,+e.4解rp =e,2-e,2+e.3则Rpp=rp-rp=e,5-e,3-e且Rpp与x、J、=轴的夹角分别为=cos-(Rr)=cos"(号)=32.31°V35[Rpp]e.Rpp=120.47°o,=cos-1cOs[Rpp]V351. =cos"(Rm)=99.73°ECOSV35[Rppl给定两矢量A=e,2+e,3-e.4和B=e.4-e,5+e.61.4求它们之间的夹角和

(8) ( ) 10 1 4 2 40 5 5 0 2 x y z   = − − − = − + x y z − e e e A B C e e e ( ) 1 2 3 55 44 11 8 5 20 x y z   = − = − − x y z e e e A B C e e e 1.2 三角形的三个顶点为 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 。 （1）判断 PP P 1 2 3 是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 的位置矢量分别为 1 2 = − y z r e e 2 4 3 = + − x y z r e e e 3 6 2 5 = + + x y z r e e e 则 12 2 1 4 R r r e e = − = − x z 23 3 2 2 8 R r r e e e = − = + + x y z ， 31 1 3 6 7 R r r e e e = − = − − − x y z 由此可见 12 23 ( 4 ) ( 2 8) 0 R R e e e e e = − + + = x z x y z 故 PP P 1 2 3 为一直角三角形。 （2）三角形的面积 12 23 12 23 1 1 1 17 69 17.13 2 2 2 S =  =  =  = R R R R 1.3 求 P( 3,1, 4) − 点到 P(2, 2,3) − 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 3 4 r e e e P x y z  = − + + ， 2 2 3 P x y z r e e e  = − + 则 5 3 P P P P x y z  R r r e e e = − = − −  且 RPP 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为 1 1 5 cos ( ) cos ( ) 32.31 35 x P P x P P  − −   = = = e R R 1 1 3 cos ( ) cos ( ) 120.47 35 y P P y P P  − −   − = = = e R R 1 1 1 cos ( ) cos ( ) 99.73 35 z P P z P P  − −   = = − = e R R 1.4 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 4 5 6 B e e e = − + x y z ，求它们之间的夹角和

A在B上的分量。解A与B之间的夹角为31A·B=131°OAB= COs=cos-A|BV29×V77A在B上的分量为B_-313.532AR=A.B77A=e,2+e,3-e.4和B=-e,6-e,4+e，求AxB在1.5给定两矢量C=e,-e,+e:上的分量。[exeye23-4解AxB=4=-e13+e,22+e.10-641所以A×B在C上的分量为(AxB) = (4xB)C=_ 25 ,5=-14.43C1.6证明：如果AB=AC和AxB=AxC，则B=C;解由Ax×B=AxC,则有A4x(A×B)=Ax(A×C),即(AB)A-(A·A)B=(A·C)A-(A·A)C由于AB=AC，于是得到(A.A)B=(A·A)C故B=C1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，P=AX而P=AxX，P和P已知，试求X。解由P=AxX，有AxP= Ax(AxX)=(A.X)A-(A.A)X = pA-(A.A)X故得X= PA-AxPA.A(4.21,3)1.8在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解（1）在直角坐标系中X=4cos(2元/3)=-2、=4sin(2元/3)=2 /3、≥=3故该点的直角坐标为(-2,2V3,3)。（2）在球坐标系中r =/42+32=50= tan-(4/3)=53.1°Φ=2元/3=120故该点的球坐标为(5,53.1,120）

A 在 B 上的分量。 解 A 与 B 之间的夹角为 1 1 31 cos ( ) cos ( ) 131 29 77  − − − = = =  AB A B A B A 在 B 上的分量为 31 3.532 77 AB − = = = − B A B 1.5 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 6 4 B e e e = − − + x y z ， 求 A B 在 C e e e = − + x y z 上的分量。 2 3 4 13 22 10 6 4 1 x y z  = − = − + + x y z − − e e e 解 A B e e e 所以 A B 在 C 上的分量为 ( ) 25 ( ) 14.43 3   = = − = − C A B C A B C 1.6 证明：如果 A B A C = 和 A B A C  =  ，则 B C= ； 解 由 A B A C  =  ，则有 A A B A A C   =   ( ) ( ) ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) A B A A A B A C A A A C −=− 由于 A B A C = ，于是得到 ( ) ( ) A A B A A C = 故 B C= 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知 矢量。设 A 为一已知矢量， p = A X 而 P A X =  ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X =  ，有 A P A A X A X A A A X A A A X  =   = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) p 故得 p −  = A A P X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2 (4, ,3) 3  定出，求该点在：（1）直角坐标中的 坐标；（2）球坐标中的坐标。 解 （1）在直角坐标系中 x = = − 4cos(2 3) 2  、 y = = 4sin(2 3) 2 3  、 z = 3 故该点的直角坐标为 ( 2, 2 3,3) − 。 （2）在球坐标系中 2 2 r = + = 4 3 5、 1  tan (4 3) 53.1 − = = 、  = = 2 3 120 故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 )

25E=e.21.9用球坐标表示的场（1）求在直角坐标中点(-3,4,-5)处的E和E：(2）求在直角坐标中点(-3.4,-5)处E与矢量B=e,2-e,2+e:构成的夹角。解（1）在直角坐标中点(-3,4,-5)处r=-e,3+e,4-e.5r2 =(-3) +42 +(-5)2 = 50所以E--2-5-3104-4.310/2故25112E, =eE=-.--3V220102(2）在直角坐标中点(-3,4,-5)处EB=-3x2+4x(-2)-5 ---1910/210~2故E与B构成的角为E·B_19/(10/2))=153.6EB = arccos(arccos(-E-/B3/210球坐标中两个点(1,9,）和(2,02,）定出两个位置矢量Ri和R。证明R1.10和R2间夹角的余弦为cosy=cose, cos,+sine, sing, cos(g-g)R,=erisin, cosg+erisin, sing+e.ri coso解由R=ersine,cosg+er sina,sing,+e.rcoso得到R·R,cOSy[R|R,=singcosgsing,cosg+sinesingsing,sing,cosg,cos=sine,sing,(cosdcosd+,sindsin)+cose,cos,= sin e sin , cos(d -Φ)+ cos@, cos,$(e,3sin0)-d s1一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。1.11解Φ(e,3sin0)-ds=(e,3sin@)e,dsS=[dg[3sin×5’ sind0=75元20

1.9 用球坐标表示的场 2 25 r r E e = 。 （1）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处的 E 和 E x ； （2）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处 E 与矢量 2 2 B e e e = − + x y z 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处 3 4 5 = − + − x y z r e e e 2 2 2 2 r = − + + − = ( 3) 4 ( 5) 50 所以 2 3 25 25 3 4 5 10 2 x y z r r r − + − = = = e e e E e r 故 2 25 1 2 r r E e = = 3 3 2 10 2 20 E x x − = = = − e E （2）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处 3 2 4 ( 2) 5 19 10 2 10 2 −  +  − − E B = = − 故 E 与 B 构成的夹角为 19 (10 2) arccos( ) arccos( ) 153.6 3 2  EB = = − = E B E B 1.10 球坐标中两个点 1 1 1 ( , , ) r   和 2 2 2 ( , , ) r   定出两个位置矢量 R1 和 R2 。证明 R1 和 R2 间夹角的余弦为 1 2 1 2 1 2 cos cos cos sin sin cos( )        = + − 解 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r      2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r      得到 1 2 1 2 cos = R R R R1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 = + + sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos           1 2 1 2 1 1 2 1 2 = + + sin sin (cos cos sin sin ) cos cos         1 2 1 2 1 2 = − + sin sin cos( ) cos cos       1.11 一球面 S 的半径为 5，球心在原点上，计算： ( 3sin ) d r S   e S 的值。 ( 3sin ) d ( 3sin ) d r r r S S   = S   解 e S e e 2 2 2 0 0 d 3sin 5 sin d 75   =  =       

1.12在由=5、z=0和≥=4围成的圆柱形区域，对失量4=e,r+e,2=验证散度定理。解在圆柱坐标系中1 aaV.A=-(rr2)+(2z)=3r+2rorOz所以-(v-AdT=[d={dg[(3r+2)rdr=1200元000又+A-ds=Φ(e,r? +e,2z)(e,ds, +e dS, +e.d$.)2[53x5d@dz+|「2×4rdrdg=1200元0000故有[v.Adt=1200元 =Φ A-dS1.13求(1)矢量A=e,+e,ry+e,24xy223的散度；（2）求VA对中心在原点的一个单位立方体的积分：（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。V.4-)(y)2(24y)=2x+2xy+72xypazaxdy解 (1)（2）V.A对中心在原点的一个单位立方体的积分为1/21/2121V.Adt=(2x+2xy+72x2y2=*)dxdydz=24T1/2-1/2-1/2（3）A对此立方体表面的积分1/2±1/21/21/2fAdS-dydz-)dyd(-2-1/2-1/2s-1/2-1/21/2 ±1/21/21/22x2(12x2(dxdz-)dxdz1-1/2-1/2-1/2 -1/21/2 1/21/21/2 24xy2(-)'dxdy-T 24x3y(-)dxdy+2-1/2-1/21/2 -1/21=24故有1[v.Adt==ΦAds24T1.14计算失量r对一个球心在原点、半径为α的球表面的积分，并求V-r对球体积的积分。2元r-dS=Φre,dS =[ dg[aa' sinOd0=4元aS00解

1.12 在由 r = 5、z = 0 和 z = 4 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2 r z A e e = + r z 验证散 度定理。 解 在圆柱坐标系中 1 2 ( ) (2 ) 3 2 rr z r r r z    = + = +   A 所以 4 2 5 0 0 0 d d d (3 2) d 1200 z r r r    = + =        A 又 2 d ( 2 ) ( d d d ) r z r r z z S S r z S S S   A S e e e e e = + + +   4 2 5 2 2 0 0 0 0 5 5d d 2 4 d d 1200 z r r   =  +  =        故有 d 1200   =    A d S =  A S 1.13 求（1）矢量 2 2 2 2 2 3 24 x y z A e e e = + + x x y x y z 的散度；（2）求  A 对中心在 原点的一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （1） 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) (24 ) 2 2 72 x x y x y z x x y x y z x y z     = + + = + +    A （2）  A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d (2 2 72 )d d d 24 x x y x y z x y z   −−−  = + + =     A （3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 d ( ) d d ( ) d d 2 2 S y z y z − − − − = − −      A S 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) d d 2 ( ) d d 2 2 x x z x x z − − − − + − −     1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 24 ( ) d d 24 ( ) d d 2 2 x y x y x y x y − − − − + − −     1 24 = 故有 1 d 24   =   A d S =  A S 1.14 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分，并求  r 对球体 积的积分。 解 2 2 3 0 0 d d d sin d 4 r S S S aa a   = = =         r S r e

又在球坐标系中1a(r2r)=3V.r=ar所以V.rdt:3r?sin0drd0dp=4元a30001.15求矢量4=e.x+e,r°+e.=沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和轴相重合。再求√×A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。N2$ A.dI=+[2?dy-[ody=8[xdx-xdx+c000解又leee"00aVxA:e.2yz+e.2xayazaxy2zx2+所以23VxA.dS=[[(e2yz+e.2x)-e.dxdy=800故有+AdI=8=/V×AdS1.16求失量4=e,x+e,沿圆周+y=a的线积分，再计算V×A对此圆面积的积分。 A-dl = Φ xdx + 'dy解nTa[(-acospsing+acosgsing)dp=4[VxAds = Je(A--24)r)e.dsaxayS-Jy'ds-jF r sin ordr=a4001.17证明：（1）V.R=3：（2）V×R=0（3）V(A.R)=A。其中R=e,x+e,y+e=，A为一常矢量。axOyOz=3V.R=axyaz解(1)

又在球坐标系中 2 2 1 ( ) 3 r r r r   = =  r 所以 2 2 3 0 0 0 d 3 sin d d d 4 a r r a     = =         r 1.15 求矢量 2 2 x y z A e e e = + + x x y z 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路 的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求  A 对此回路所包围的 曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 2 2 2 2 2 0 0 0 0 d d d 2 d 0d 8 C = − + − = x x x x y y      A l 又 2 2 2 2 x y z x z yz x x y z x x y z     = = +    e e e A e e 所以 2 2 0 0 d ( 2 2 ) d d 8 x z z S   = + = yz x x y   A S e e e 故有 d 8 C =  A l d S =   A S 1.16 求矢量 2 x y A e e = +x xy 沿圆周 2 2 2 x y a + = 的线积分，再计算  A 对此 圆面积的积分。 解 2 d d d C C = + x x xy y   A l 2 4 2 4 2 2 0 ( cos sin cos sin )d 4 a a a   = − + =       d ( ) d y x z z S S A A S x y     = −     A S e e 2 4 2 2 2 0 0 d sin d d 4 a S a y S r r r   = = =      1.17 证明：（1）  = R 3 ；（2）  = R 0 ；（3）  = ( ) A R A 。其中 x y z R e e e = + + x y z ， A 为一常矢量。 解 （1） 3 x y z x y z     = + + =    R

ese.eyaaa(2)VxR=0ayazaxXyyA-e,A +e,A, +e.A.(3) 设则A.R=Ax+ A,y+A.z故aaV(A.R)=er x((Ax+A,y+ A-)+e(Ax+A,y+A.-)yaya-(Ax+A,y+A.-)te.a=eA +e,A, +e.A, =A8一径向矢量场F=e,(n)表示，如果V.F=0，那么函数(n)会有什1.18么特点呢？解在圆柱坐标系中，由V.F-I(f()=0rdr可得到f(r)=SC为任意常数。在球坐标系中，由1 dV.F =-[r? f(r)] = 0r2 dr可得到1r)=r21.19给定矢量函数E=eJ+e,，试求从点P(2,1,-1)到点P(8,2,-1)的线积分[E·dl：（1）沿抛物线X=：（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？[E.dl =[E,dx+ E,dy=[ydx+ xd)解（1)℃-[ yd(2y")+2ydy= J6y'dy=14(2) 连接点 R(2,1,-1)到点β(8,2,-1)直线方程为x-2_x-8y-1 y-2即x-6y+4=0

2 0 x y z x y z x y y      = =    e e e （ ） R （3）设 A e e e = + + x x y y z z A A A 则 A R = + + A x A y A z x y z 故 ( ) ( ) ( ) x x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y    = + + + + +   A R e e ( ) z x y z A x A y A z z  + + +  e = + + = e e e A x x y y z z A A A 1.18 一径向矢量场 ( ) r F e = f r 表示，如果  = F 0 ，那么函数 f r( ) 会有什 么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1 d [ ( )] 0 d rf r r r  = = F 可得到 ( ) C f r r = C 为任意常数。 在球坐标系中，由 2 2 1 d [ ( )] 0 d r f r r r  = = F 可得到 2 ( ) C f r r = 1.19 给定矢量函数 x y E e e = +y x ，试求从点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 的 线积分 d  E l ：（1）沿抛物线 2 x y = ；（2）沿连接该两点的直线。这个 E 是 保守场吗？ 解 （1） d d d d d x y C C C = + = + E x E y y x x y    E l 2 2 2 2 2 1 1 = + = = y y y y y y d(2 ) 2 d 6 d 14   （2）连接点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 直线方程为 2 8 1 2 x x y y − − = − − 即 x y − + = 6 4 0

故[E.d/ =[E,dx+E,dy=[yd(6y-4)+(6y-4)dy= [(12y-4)dy=14由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数=x"-的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方345+e.exJ50+eyJ50750定出：求(2,3,1)点的方向导数值。向由单位失量aaa(x"yz)+e.(x yz)Vy=e-(xyz)+e-axVayOz解=e.2xyz+e,x'z+e.xy534e,=erteteV50V5050的方向导数为故沿方向ay6xyz,4xz5xy=-e=al5050V50点(2,3,1)处沿ei的方向导数值为24361660112al50505050OAAyOA.V.A=axayaz相似的方法推导1.211试采用与推导直角坐标中1 aOA.,OA.V.A=(rA,)+rorrg圆柱坐标下的公式公rAoA题1.21图解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。量场A沿er方向穿出该六面体的表面的通量为$+4@=+^A, I,rdrdp=A, Ir+r(r + Ar)drdp -

故 2 1 d d d d(6 4) (6 4)d x y C C = + = − + − E x E y y y y y    E l 2 1 = − = (12 4)d 14 y y  由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数 2  = x yz 的梯度及  在一个指定方向的方向导数，此方 向由单位矢量 3 4 5 50 50 50 e e e x y z + + 定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z x yz x yz x yz x y z      = + +    e e e 2 2 2 x y z = + + e e e xyz x z x y 故沿方向 3 4 5 50 50 50 e e e e l x y z = + + 的方向导数为 2 2 6 4 5 50 50 50 l xyz x z x y l    =  = + +  e 点 (2,3,1) 处沿 l e 的方向导数值为 36 16 60 112 l 50 50 50 50  = + + =  1.21 试采用与推导直角坐标中 x y z A A A x y z     = + +    A 相似的方法推导 圆柱坐标下的公式 1 ( ) z r A A rA r r r z       = + +    A 。 r r z o x y  r z  z 题 1.21 图 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿 r e 方向穿出 该六面体的表面的通量为 ( )d d d d z z z z r r r r r r z z A r r r A r r          + + + + = +  −     + 

[(r+Ar)A(r+Ar.@.z)-rA(r@,z)Az(rA) rA=10(rA)AOrror同理,=Alogdrdz-T4ladrd[A(r,Φ+Ap,z)-A(r,g,=)]ArzA=A,ATadrogAr$+AP0+4,=了A+-rdrdp-了 Al,rdrdp=[A.(r,Φ,z +)-A.(r,Φ,=)]rr△pzaA.OAATrr=2OzOz因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为10(rA.)+0g +A JAT=+yOzOrrogr故得到圆柱坐标下的散度表达式y1a(rA), OA,OA.V.A= limAr-0 TrorropOz2.y241a?b2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位1.22方程法向矢量。解由于2x2V22Vu=e.+6+e3)+(Vu=2)2 +(-h-a故椭球表面上任意点的单位法向矢量为Vu=(e+e.y+(）+()n=+eEyb262iVulxa1.23现有三个失量A、B、C为A=e,sincosp+e.coscos-e.singB=e,sing+e-cosp+e.2rzsingC=e.(3y? -2x)+e,x2 +e.2z（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中

[( ) ( , , ) ( , , )] r r  +  +  −   r r A r r z rA r z z    ( ) ( ) 1 r r rA rA r z r r r         =    同理 d d d d r r z z r r z z r z r z A r z A r z       + + + + = −     +  [ ( , , ) ( , , )] A r z A r z r z  +  −        A A r z r             =    d d d d r r r r z z z z z z r r A r r A r r          + + + + = −     +  [ ( , , ) ( , , )]  +  −    A r z z A r z r r z z z    A A z z r r z z z         =    因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 1 ( ) [ ] r z r z rA A A Ψ Ψ Ψ Ψ r r r z        = + +  + +     故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 ( ) lim r z rA A A r r r z     →       = = + +     A 1.22 方程 2 2 2 2 2 2 x y z u a b c =++ 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位 法向矢量。 解 由于 2 2 2 2 2 2 x y z x y z u a b c  = + + e e e 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z u abc  = + + 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y z u x y z x y z u a b c a b c  = = + + + +  n e e e 1.23 现有三个矢量 A 、 B 、C 为 sin cos cos cos sin A e e e = + − r        2 2 sin cos 2 sin r z z z rz B e e e = + +     2 2 (3 2 ) 2 x y z C e e e = − + + y x x z （1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个 矢量函数的旋度表示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中

1 aaaA1V.A=(r A)+(sinA.)-r? arrsingaersingag1a1a1a(rsincos@)+(sincoscos)+-sind)2arrsingaorsinea22sincos@coscos=0=sincos@+=rsinerrsinere,reersine.aaa1VxA=ar00adrsingA,rsingArA.e,rsinde.regaaa1=0ara0r?sineassincos@rcoscos@-rsinosing故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个失量函数的旋度表示：在圆柱坐标系中10BoB.1aV.B=(rB,)+rarradOz1 a1aa(=?cos)+(rz"sin@)+(2rzsin)rarazrod2?sind"sing+2rsin=2rsingrrle,e.e.e:reeregaaaaaa11=0VxB=arazaazrarasrB,B.2 singrBar-"cos2rzsing故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示：直角在坐标系中oC, +oC.ac.V.C=X1Ozaxdyaaa(3y2 -2x) +(x2) +(2z) = 0axdyOzexe.e,a0aVxC==e.(2x-6y)axayaz3y2-2x x22z故矢量C可以由一个失量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为V.A=0.VxA=0

2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r A r A A r r r r            = + +    A 2 2 1 1 1 ( sin cos ) (sin cos cos ) ( sin ) sin sin r r r r r              = + + −    2 cos 2sin cos cos sin cos 0 r r r r sin sin         = + − − = 2 sin 1 sin sin r r r r r r A rA r A               =    e e e A 2 sin 1 0 sin sin cos cos cos sin sin r r r r r r r                = =    − e e e 故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋 度表示； 在圆柱坐标系中 1 1 ( ) z r B B rB r r r z       + +    B = 1 1 2 2 ( sin ) ( cos ) (2 sin ) rz z rz r r r z        = + +    2 2 sin sin 2 sin 2 sin z z r r r r   = − + =   2 2 1 1 0 sin cos 2 sin r z r z r z r r r r z r r z B rB B z rz rz                = = =       e e e e e e B 故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 x y z C C C x y z     + +    C = 2 2 (3 2 ) ( ) (2 ) 0 y x x z x y z    = − + + =    2 2 (2 6 ) 3 2 2 x y z z x y x y z y x x z     = = −    − e e e C e 故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为  = A 0， = A 0 ；