《电磁场》课程教学资源_习题训练_第六章 时变电磁场

第六章时变电磁场6.1有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场B=e.5cosomT之中，如题6.1图所示。滑片的位置由×=0.35(1-coso)m确定，轨道终端接有电阻R=0.22，试求电流4.OO9R0.2m.O0.7m题6.1图解穿过导体回路abcda的磁通为Φ= BdS=e.B-e.ad×ab= 5cosot×0.2(0.7-x)= cos ot[0.7-0.35(1- cos ot)]= 0.35 cos ot(1 +cos ot)故感应电流为Em=_1 doisR-Rdt1-0.35o sinot(1+2cosot)-1.75osin ot(1+2cosot)mAR6.2一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均勾磁场B=e.Bo中与z轴平行。设棒以角速度の绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为E=vxB=eroxe.B=eroB故介质棒内的极化强度为P=X,E=e(6,-1)oroB,=e,(-)roB极化电荷体密度为Pp=-V.P=_1a1a(6-)r0B,(rP)=rorror=-2(8-8)0Bo极化电荷面密度为Op= P-n=e,(s-)roB e,-.=(-8)aoB则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为Qp=元a×1×Pp=-2元α(-)0BQps=2元ax1×0p=2元a(-80)0B6.3平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。题6.3图

第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑 片在两 根平 行的轨 道上 滑动， 整个 装置位 于正 弦时变 磁场 B = e t z 5cos mT  之中，如题 6.1 图所示。滑片的位置由 x t = − 0.35(1 cos )m  确定，轨 道终端接有电阻 R =  0.2 ，试求电流 i. 0.2m R 0.7m a d b c i x y 题 6.1 图 解 穿过导体回路 abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7 ) cos [0.7 0.35(1 cos )] 0.35cos (1 cos ) z z d B ad ab t x t t t t       = =  =  − = − − = +  B S e e 故感应电流为 1 1 0.35 sin (1 2cos ) 1.75 sin (1 2cos )mA in d i R R dt t t t t R        = = − = − + − + E 6.2 一根半径为 a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场 B e = z B0 中与 z 轴平行。设棒以角 速度  绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为 z r 0 0 E v B e e B e =  =  =  r r B   故介质棒内的极化强度为 0 0 0 0 0 ( 1) ( ) e r r r P E e e = = − = − X        r B r B 极化电荷体密度为 2 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) 2( ) P rP r B r r r r B          = − = − = − −   = − − P 极化电荷面密度为 0 0 0 0 ( ) ( ) P r r r a        e r a B = =  = −  = − P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 2 2 0 0 2 0 0 1 2 ( ) 2 1 2 ( ) P P PS P Q a a B Q a a B             =   = − − =   = − 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题 6.3 图所示。 i i b c d a 题 6.3 图

设α=0.2m、b=c=d=0.1m、i=1.0cos(2元×10°)A，求回路中的感应电动势。解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为dr[ B&dS +J Bds] B.dS=-E.. =.dtJdL式中MoiB =LoiB2元r2元(b+c+d-r)故brc Ho adr = 4oa in(b+C)BdS =b2元2元Hoiadr= 4oa n(b+c)[B.dS =b2元(b+c+d-r)2元则Em = -2 [ n(b+cbdt2元=- 40a in(b+) 2[1.0c0s(2元×100)1a2+b2hdt元4元×10×0.2 n2 si(2元×10° )×2元×10′V元=3.484sin(2元×10′t)V6.4有一个环形线圈，导线的长度为1，分别通过以直流电源供应电压Uo和时变电源供应电压U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为1R=ys而环形线圈的电感为L，故电压方程为U=Ri+Ldidtdi=0dt当U=Uo时，电流i也为直流，。故1JS=！U,=Ri=-J=IEysy此时导线内的切向电场为U.E=1di(t)±0dt，故当U=U（t）时，di(t)dU(t)= Ri()+ LRE(t)S+ L一(yE(t)S)dtdtdE(t)E(t)S+LySrsdt

设 a m = 0.2 、b c d = = = 0.1m 、 7 i t =  1.0cos(2 10 )A  ，求回路中的感应电动势。 解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是 垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为 d d d d d d in dS B S B S t t = −  = − +   E    B   左 右 式中 0 0 , 2 2 ( ) i i B B r b c d r     = = + + − 左 右 故 0 0 0 0 d d ln( ) 2 2 d d ln( ) 2 ( ) 2 b c b s c d d s i ai b c B S a r r b i ai b c B S a r b c d r b         + + + = = + = = + + −     左 右 则 0 0 7 2 2 7 7 7 7 d 2 ln( ) d 2 d ln( ) [1.0cos(2 10 )] d 4 10 0.2 ln 2sin(2 10 ) 2 10 3.484sin(2 10 ) in ai b c t b a b c t a b b t t V t V           −   + = −     + = −  +   =    =  E 6.4 有一个环形线圈，导线的长度为 l，分别通过以直流电源供应电压 U0 和时变电源 供应电压 U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度 E。 解 设导线材料的电导率为  ，横截面积为 S，则导线的电阻为 l R  S = 而环形线圈的电感为 L，故电压方程为 d d i U Ri L t = + 当 U=U0 时，电流 i 也为直流， d 0 d i t = 。故 0 l l U Ri JS J lE   S = = = = 此时导线内的切向电场为 U0 E l = 当 U=U（t）时， d ( ) 0 d i t t  ，故 d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) d d d ( ) ( ) d i t U t Ri t L R E t S L E t S t t l E t E t S L S S t      = + = + = +

即dE(t),IE(t) _U(t)dtLysLys求解此微分方程就可得到E(t)。6.5一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为1。设外加电压为U.sinot，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即U,sin otE=e, rln(b/a)故电容器两极板间的位移电流密度为aDU,cosotJa==e,80-atrln(b/a)则1coU.cosot:dsJ。 rin(b/a-e, e,rd=2元l-oU.cosot=CoU.cosotIn(b/a)2元起lC :In(b/a)是长为1的圆柱形电容器的电容。式中，流过电容器的传导电流为dUi.=C=CaU,cosotdt可见ia=i.6.6由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。解点电荷9产生的电场满足麦克斯韦方程VxE=0和V.D=p由V·D=P得V.Ddt-pdt据散度定理，上式即为SD.dS=qs利用球对称性，得qD=e4元2故得点电荷的电场表示式qE=e.4元6r2由于V×E=0，可取E=-V，则得

即 d ( ) ( ) ( ) d E t lE t U t t L S L S   + = 求解此微分方程就可得到 E()t 。 6.5 一圆柱形电容器，内导体半径为 a，外导体内半径为 b，长为 l。设外加电压为 0 U t sin ，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。 解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压 时的电场分布可视为相同（准静态电场），即 0 sin ln ( ) r U t r b a  E e = 故电容器两极板间的位移电流密度为 0 cos ln ( ) d r U t t r b a    = =  D J e 则 2 0 0 0 cos d d d ln ( ) l d d r r s U t i r z r b a    =  =      J S e e 0 0 2 cos cos ln ( ) l U t C U t b a  = =     式中， 2 ln ( ) l C b a  = 是长为 l 的圆柱形电容器的电容。 流过电容器的传导电流为 0 d cos d c U i C C U t t = =   可见 d c i i = 6.6 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。 解 点电荷 q 产生的电场满足麦克斯韦方程  = E 0 和   = D  由   = D  得 d d    =      D 据散度定理，上式即为 d s  = q  D S 利用球对称性，得 2 4 r q  r D e = 故得点电荷的电场表示式 2 4 r q  r E e = 由于  = E 0 ，可取 E = − ，则得

xD=.E=-.=-=即得泊松方程V'p=-P6试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：：（1）在直角坐标中：（2）在圆6.7柱坐标中；（3）在球坐标中。解（1）在直角坐标中aH,aH.OD,=J,+ayOzataD,OH.aH.=J,+dzaxataH,OD:aH= J. +axayataE,aE.aH,一-uayOzataH,OE,OE.1/-μaxatozaE,OE.aH.二-uaxdyataB,aB.aB.=0+-axayazaD,ODaD:4+=pXaxazdy（2）在圆柱坐标中aH,1 oH.aD,J,+OzropataD.aH,aH.=J,+arOzat101oH,aD.-(rH.)= J. +rapr orataE10E.aH,./-uOzatrasoH,OE,QE.μ-azarat1 10E,aH.-μ(rE,)r orrpat

2  =  = −  = −  = D E       即得泊松方程 2     = − 6.7 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆 柱坐标中；（3）在球坐标中。 解 （1）在直角坐标中 z y x x x z y y y x z z H H D J y z t H H D J z x t H H D J x y t     − = +          − = +          − = +      z y x x z y y x z E E H y z t E E H z x t E E H x y t        − = −          − = −          − = −      0 x y z x y z B B B x y z D D D x y z     + + =       + + =    （2）在圆柱坐标中 1 1 1 ( ) z r r r z r z z H D H J r z t H H D J z r t H D rH J r r r t           − = +          − = +          − = +      1 1 1 ( ) z r r z r z E H E r z t E E H z r t E H rE r r r t             − = −          − = −          − = −     

1 oBOB.1 a(rB.)+=0Ozrarr1aD.1 aaD.(rD.)+EPOzrOrra（3）在球坐标系中a1aHa1aD,(sin@H,)=J +rsing'eapataH.a1aDe(rH)]=JarsingpataD.aH1.0(rH.)]=J,+etarat1aaEeaH,(sinGE)adatrsineaoaH.OE,a1(rE)]=Laratrsinead1,0OE,oH,-(rE。)ua0atr'or1aaB101-(r2B.) +=0(sin@B.)r? Orrsingaersingap1aaD,110.-(r2D,)+(sin@D.)+r2Orrsinea0rsine 0g6.8已知在空气中E=e,0.1sin10元xcos(6元x10°t-β=)，求H和β提示：将E代入直角坐标中的波方程，可求得β。解电场E应满足波动方程E=0V'E-oEt?E=e,E代入方程，得将己知的'E'E'E,-0-ax?02at?式中aE=-0.1(10元）sin10元xcos(6元×10-βz)ax?E=0.1sin10元x[-β2cos(6元×10t-βz)]0z2aE=0.1g sin10元x[-(6元×10°) cos(6元x10-β≥)]HoEoOt故得-(10元)2-β2 + μg%(6元×10°) =0则

1 1 ( ) 0 1 1 ( ) z r z r B B rB r r r z D D rD r r r z         + + =       + + =    （3）在球坐标系中 1 [ (sin ) ] sin 1 1 [ ( )] sin 1 [ ( ) ] r r r r H D H J r t H D rH J r r t H D rH J r r t                    − = +          − = +          − = +      1 [ (sin ) ] sin 1 1 [ ( )] sin 1 [ ( ) ] r r r E H E r t E H rE r r t E H rE r r t                     − = −          − = −          − = −      2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) 0 sin sin 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r r B r B B r r r r D r D D r r r r                   + + =       + + =    6.8 已知在空气中 9 0.1sin10 cos(6 10 ) y E e =  −    x t z ，求 H 和  。 提示：将 E 代入直角坐标中的波方程，可求得  。 解 电场 E 应满足波动方程 2 2 0 0 2 0 t     − =  E E 将已知的 E e = y y E 代入方程，得 2 2 2 2 2 2 0 0 0 E E E y y y x z t      + − =    式中 2 2 9 2 2 2 9 2 2 9 2 9 0 0 0 0 2 0.1(10 ) sin10 cos(6 10 ) 0.1sin10 [ cos(6 10 )] 0.1 sin10 [ (6 10 ) cos(6 10 )] y y y E x t z x E x t z z E x t z t                  = −  −   = −  −   = −   −  故得 2 2 9 2 0 0 − − +  = (10 ) (6 10 ) 0      则

β=元/300=54.4lrad/m由aH×E=-μo at得OE.aEaHIVxE=-1.-0+eat:axXOzLloHo1[-e,0.1βsin10元xsin(6元×10°t-βz)Llo+e.0.1×10元cos10元xcos(6元×10t-βz)l将上式对时间t积分，得1H=is(6+e.元cos10元xsin(6元×10t-βz)=-e,2.3×10-sin10元xc0s6元×10°t-54.41z)-e.1.33×10-cos10元xsin(6元×10t54.41z)A/m6.9已知自由空间中球面波的电场为EoE=eosincos(ot-kr)r求H和k。解可以和前题一样将E代入波动方程来确定k，也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定k的值。两种方法本质上是一样的。由aHV×E=-μ a1得aH1leaVxE=.(rE.)atMororo1a[E,sincos(ot-kr)]arorkE, sin sin(ot - kr)or将上式对时间1积分，得kH=eEsincos(ot-kr)ouor(1)将式（1）代入OEVxH=80at得

  = = 300 54.41rad/m 由 0 t     = −  H E 得 0 0 9 0 9 1 1 [ ] 1 [ 0.1 sin10 sin(6 10 ) 0.1 10 cos10 cos(6 10 )] y y x z x z E E t z x x t z x t z               = −   = − − +    = − −  − +   − H E e e e e 将上式对时间 t 积分，得 9 9 0 9 4 9 4 9 1 [ 0.1 sin10 cos(6 10 ] 6 10 cos10 sin(6 10 ) 2.3 10 sin10 cos(6 10 54.41 ) 1.33 10 cos10 sin(6 10 54.41 )A/m x z x z x t z x t z x t z x t z               − − = −  −   +  − = −   − −   − Η e e e e 6.9 已知自由空间中球面波的电场为 0 sin cos( ) E t kr r Ε e = −    求 H 和 k。 解 可以和前题一样将 E 代入波动方程来确定 k，也可以直接由麦克斯韦方程求与 E 相伴的磁场 H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场 比较，即可确定 k 的值。两种方法本质上是一样的。 由 0 t     = −  H E 得 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 1 [ sin cos( )] sin sin( ) rE t r r E t kr r r k E t kr r               = −   = −     = − −  = − H e E e e 将上式对时间 t 积分，得 0 0 sin cos( ) k E t kr r     H e = − （1） 将式（1）代入 0 t     =  E H 得

E_|V×Hat6011a1a-(rsingH,))le(rsinoHsingersinar602kE,k'E,sine-sin(ot - kr)cos(ot-kr)-ege80ouorwuor将上式对时间1积分，得12kEk'Eo sin O cos(ot - kr)E=sin(ot-kr)+egeoror60L(2)将已知的Ea sin O cos(ot -kr)E=egr与式（2）比较，可得1含严项的E,分量应略去，且=QMo，即k=0JE0将k=代入式（1），得 o E sin cos(ot-kr)H=e.oporEEe in os(ot- r)A=eoVuor试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克斯韦方程。6.10解注意到非均匀媒质的参数从是空间坐标的函数，因此B1VxBVxH=VX=V0XB+uuu1VuxB+V×Buu而aDOEa(E)J++J+8atatat因此，麦克斯韦第一方程aDVxH=J+at变为E1VxB=J+e+VuxBatA又V.D=V.(E)=E.V&+&V.E=p故麦克斯韦第四方程V·D=P变为

0 2 0 1 1 1 1 [ ( sin ) ( sin )] sin sin r t r H r H r r r            =      = −   E H e e 2 0 0 2 0 0 0 1 2 sin cos( ) sin( ) r kE k E t kr t kr r r          = − − −     e e 将上式对时间 t 积分，得 2 0 0 2 2 2 0 0 0 1 2 sin( ) sin cos( ) r kE k E t kr t kr r r            = − + −     E e e （2） 将已知的 0 sin cos( ) E t kr r E e = −    与式（2）比较，可得 含 2 1 r 项的 Er 分量应略去，且 2 0 0 k =  ，即 0 0 k =   将 0 0 k =   代入式（1），得 0 0 0 0 0 0 0 sin cos( ) sin cos( ) E t kr r E t kr r             = − = − H e e A 6.10 试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用 E 和 B 表示麦克斯韦方程。 解 注意到非均匀媒质的参数  , 是空间坐标的函数，因此 2 1 1 ( ) ( ) 1 1        =  =   +  = −   +  B H B B B B 而 ( ) t t t      + = + = +    D E E J J J 因此，麦克斯韦第一方程 t    = +  D H J 变为 1 t       = + +    E B J B 又  =  =  +  = D E E E ( )     故麦克斯韦第四方程   = D  变为

V.E=P.-V.E66则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为xBVxB=J+ataBVxE=atV-B=0V.E-P_!-Ve.E61写出在空气和μ=0°的理想磁介质之间分界面上的边界条件。6.11解空气和理想导体分界面的边界条件为nxE=0nHnxH=J,N根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E→H, H-→-E, J,→JmstIAh即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件nxH=0nxE=-JmsH2式中，Jms为表面磁流密度。题6.12图6.12提出推导nxH,=J.的详细步骤。解如题6.12图所示，设第2区为理想导体（2=0°）。在分界面上取闭合路径abcda,ab=cd=N,bc=da=Ah→0。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得H-dl =H·dl +H·dI+H·dl +H·dH,N-H, = lim(J J.dS+[D.ds)SatS(1)aD因为at为有限值，故上式中TaDlimdS=0atVh->0.P而(1)式中的另一项lim [J-dsMh->0S为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有lim[J-dS=J.NNMh>0因I =(Nxn)AI

 1      = −   E E 则在非均匀媒质中，用 E 和 B 表示的麦克斯韦方程组为 1 1 t t           = + +      = −   =   = −   E B J B B E B E E 6.11 写出在空气和  = 的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 解 空气和理想导体分界面的边界条件为 0 s  =  = n E n H J 根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 E H H E J J →  → −  →s ms 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界 条件 0 ms  =  = − n H n E J 式中，Jms 为表面磁流密度。 6.12 提出推导 n H J  =1 s 的详细步骤。 解 如题 6.12 图所示，设第 2 区为理想导体（ 2  = ）。在分界面上取闭合路径 abcda ab cd l bc da h , , 0 = =  = =  → 。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得 2 0 d d d d lim ( d d ) b c d a a b c d C h S S d t   →  =  +  +  +     −  =  +          H l H l H l H l H l D H l H l J S S （1） 因为 t   D 为有限值，故上式中 0 lim d 0 h S t  →   =   D S 而(1)式中的另一项 0 lim d h S  →   J S 为闭合路径所包围的传导电流。取 N 为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径 的绕行方向成右手螺旋关系），则有 0 lim d s h S  →  =    J S J N l 因  =   l N n ( ) l a d b c n l h H2 H1 题 6.12 图

故式（1）可表示为(H,-H,)-(Nxn)N/ = J, NN(2)应用矢量运算公式4:(BxC)=(C×A)-B，式（2）变为[nx(H, -H,)]-N= J,N故得nx(H,-H2)= J,(3)由于理想导体的电导率2=，故必有E,=0,H,=0，故式（3）变为nxH,=J在由理想导电壁（=0°）限定的区域0≤x≤α内存在一个由以下各式表示的电6.13磁场：E, = Hoo()sin(“)sin(k - o)元aH,= H,k()sin(“)sin(k-01)a元()cos(k -ot)H. = H.cos(a这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度Xt的值如何？解如题6.13图所示，应用理想导体的边界条件可以得出C在x=0处，E,=0,H,=0H. = H,cos(kz - ot)E,=0,H,=0O在x=a处，H, =-H, cos(kz -ot)题6.13图上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量E,和磁场的法向分量Hx。另外，在x=0的表面上，电流密度为J,=nxH/=o=e,x(eH,+eH.)lx==e, xe, H.l- =-e,H.cos(kz-ot)在x=α的表面上，电流密度则为J,=nxHlx-a=-e,x(e,H,+e.H.)l=a=-e, xe. H.l-. =-e,H cos(k -ot)6.14海水的电导率=4S/m，在频率=1GHz时的相对介电常数=，=81。如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，，=1,=5.7×107’S/m，比较在f-1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。解对于海水，H的微分方程为)EVxH=J+joD=E+joE=jo(-)0

故式（1）可表示为 1 2 ( ) ( ) s H H N n J N −    =   l l （2） 应用矢量运算公式 A B C C A B   =   ( ) ( ) ，式（2）变为 1 2 [ ] n H H N J N ( − )  =  s 故得 1 2 ( ) n H H J  − = s （3） 由于理想导体的电导率 2  = ，故必有 2 2 E H = = 0, 0 ，故式（3）变为 n H J  =1 s 6.13 在由理想导电壁（  = ）限定的区域 0  x a 内存在一个由以下各式表示的电 磁场： 0 0 0 ( )sin( )sin( ) ( )sin( )sin( ) cos( )cos( ) y x z a x E H kz t a a x H H k kz t a x H H kz t a          = − = − = − 这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度 的值如何？ 解 如题 6.13 图所示，应用理想导体的边界条件可 以得出 在 x=0 处， 0, 0 E H y x = = 0 cos( ) H H kz t z = − 在 x=a 处， 0, 0 E H y x = = 0 cos( ) H H kz t z = − − 上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向 分量 Ey和磁场的法向分量 Hx。 另外，在 x=0 的表面上，电流密度为 0 0 0 0 | ( ) | cos( ) s x x x x z z x x z z y x H H H H kz t  = = = =  =  + =  = − − J n H e e e e e e 在 x=a 的表面上，电流密度则为 0 | ( ) | cos( ) s x a x x x z z x a x z z y x a H H H H kz t  = = = =  = −  + = −  = − − J n H e e e e e e 6.14 海水的电导率  = 4S/m ，在频率 f=1GHz 时的相对介电常数 81 r   。如果把海水 视为一等效的电介质，写出 H 的微分方程。对于良导体，例如铜， 7   r = =  1, 5.7 10 S/m ， 比较在 f=1GHz 时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中 的位移电流也是可以忽略的。写出 H 的微分方程。 解 对于海水，H 的微分方程为 j j j j ( )         = + = + = − H J D E E E o a x 题 6.13 图

Y8.=6-即把海水视为等效介电常数为①的电介质。代入给定的参数，得10-94V×E=j2元×10(81×)E/36元2元×109=j(4.5-j4)E=(4+ j4.5)E对于铜，传导电流的幅度为E，位移电流的幅度06E。故位移电流与传导电流的幅度之比为1×10-92元f×082元f836元= 9.75×10-13 f5.7×10yY可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H的微分方程为V×H=E=5.7×10'E6.15计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬时能流密度失量为S=ExH=e,E,x(e,H,+e.H.)=e,E,H.-e.E,H=e,H uo sin(")cos(")sin(kz - ot)cos(kz -ot)元aaasinx)sin (kz-ot)-e.Huok(元aa元X元X=eHuo-sin()sin2(kz-@t))cos(元da元X[1-cos2(kz-ot)]-e.-H"uok(-sin(2元a为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式-jk+/元XE, = HoHo()sin("De元a-jk+j-a元X、H, =H.k(=)sin(de02H.=H.Ca故平均能流密度矢量为1-Re[E×H*]=SRe[e,E,H'-e.E,H',]22-a元X元入_Re[e,Huo sin(cos2O2ae,Huok() sin'("X)”sin元xHuok(=a元a元6.16写出存在电荷P和电流密度」的无损耗媒质中E和H的波动方程。解存在外加源P和J时，麦克斯韦方程组为

即把海水视为等效介电常数为 c j     = − 的电介质。代入给定的参数，得 9 9 9 10 4 2 10 (81 ) 36 2 10 (4.5 4) (4 4.5) j j j j j    −  =   −  = − = + E E E E 对于铜，传导电流的幅度为  E ，位移电流的幅度  E 。故位移电流与传导电流的幅度 之比为 9 0 13 7 1 2 10 2 36 9.75 10 5.7 10 r f f f         − −   = = =   可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H 的微分方程 为 7  = =  H E E  5.7 10 6.15 计算题 6.13 中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。 解 瞬时能流密度矢量为 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) ( ) sin ( )sin ( ) 1 sin( )cos( )sin 2( ) 2 1 ( ) sin ( )[1 cos 2( )] 2 y y x x z z x y z z y x x z x z E H H E H E H a x x H kz t kz t a a a x H k kz t a a x x H kz t a a a x H k kz t a                    =  =  + = − = − − − − = − − − − S E H e e e e e e e e e 为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式 2 0 2 0 0 ( )sin( ) ( )sin( ) cos( ) jkz j y jkz j x jkz z a x E H e a a x H H k e a x H H e a         − + − + − = = = 故平均能流密度矢量为 * * 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 Re[ *] Re[ ] 2 2 1 Re[ sin( )cos( ) ] 2 1 ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) 2 av x y z z y x j x z z E H E H a x x H e a a a x a x H k H k a a            =  = − = − = − S E H e e e e e 6.16 写出存在电荷  和电流密度 J 的无损耗媒质中 E 和 H 的波动方程。 解 存在外加源  和 J 时，麦克斯韦方程组为