《电磁场》课程教学资源_教学教案_第一章 矢量分析

《电磁场与电磁波》（第三版））谢处方电磁场与电磁波教学内容场：基本量及基本定律（cp2）、静电场（cp3）、边值问题（cp4）、恒定磁场（cp5）波：时变电磁场（cp6）、正弦平面电磁波(cp7)、导行波（cp8）、电磁辐射（cp9)基础：量分析微波技天线与电术基础波传播第一章矢量分析1.1标量场与失量场：标量：数学上：一实数域内任一代数量a(-c0,+o)物理上：代数量+物理意义：如电压电流等矢量：数学上：N维空间中既有大小又有方向的量物理上：如速度、电磁场等场：物理量数值的无穷集合（占有一定空间/除有限点外处处连续）标量场：物体的温度分布T(r,t)、电位分布p(rt)等矢量场：既具有大小又具有方向的场。如电场E(r,t)矢量的运算（加法/减法、点积、叉积）量的模：表示矢量的大小A矢量的方向a=A/A失量的相等：每个分量都相等即A=B则：Ai=Bi则：矢量的加法：每个分量对应相加如：A=i++4kB=6i+7+8kA+B=7i+10j+12k的和失量的点积：（标量积、投影积）对应分量相乘A*B=AB1+A2B2+A3B3=6+21+32=59失量的叉积：（矢量积）-行列式展开kkiAxB=-47 +167-11k2aaakb,b,be6场的特性标量场的等位面：在等位面（线）上的函数值相同即Φ（r）=常数失量场：力线流上任意点切线方向必然与失量方向相同。dlF(r)Fig 1. 1.4

《电磁场与电磁波》（第三版） 谢处方 一、电磁场与电磁波教学内容 场：基本量及基本定律（cp2）、静电场（cp3）、 边值问题（cp4）、 恒定磁场（cp5） 波：时变电磁场（cp6）、正弦平面电磁波(cp7)、导行波（cp8）、电磁辐射（cp9） 基础：矢量分析 第一章 矢量分析 1.1 标量场与矢量场： 标量:数学上：—实数域内任一代数量 a(-,+) 物理上：代数量+物理意义；如电压电流等 矢量:数学上：N 维空间中既有大小又有方向的量 物理上：如速度、电磁场等 场： 物理量数值的无穷集合（占有一定空间/除有限点外处处连续） 标量场：物体的温度分布 T(r,t)、电位分布 (r,t)等 矢量场：既具有大小又具有方向的场。如电场 E(r,t) 矢量的运算 （加法/减法、点积、叉积） 矢量的模：表示矢量的大小 A 矢量的方向： a A A = / 矢量的相等：每个分量都相等即 A=B 则：Ai=Bi 矢 量 的加 法： 每 个分 量对 应相 加 如 ：A=1i+3j+4k B=6i+7j+8k 则 ： A+B=7i+10j+12k 矢量的 点 积 ：（ 标 量 积 、 投 影 积 ） - 对应分量相乘 的 和 A*B=A1B1+A2B2+A3B3=6+21+32=59 矢量的叉积：（矢量积）-行列式展开 1 4 6 3 1 4 11 8 6 7 i k i k j j i i k k a a j j a j b B i b b A = = = − + − k 场的特性 标量场的等位面：在等位面（线）上的函数值相同 即 （r) = 常数 矢量场：力线流上任意点切线方向 必然与矢量方向相同。 微波技 术基础 天线与电 波传播 矢量场： dl F(r) Fig 1.1.4

×F()=0Udr×F(r)=0dle.ee,dxdydz=0FF,Fdz[dx dy]dxldydz= 0.= 0:=0:FFFF.FFdxF.-dyF=0:dxdy_dz(1.1.4)dxF.-dzF,=0,二-F.FF.dyF.-dzF =0;1.2天量场的不夹性描绘物理状态空间分布的标量函数/失量函数F(对于确定的时间是唯一的在正交坐标系：直角坐标(x,y,z,exey,ez)柱面坐标(r,o,zer,eo,ez)球面坐标(r,o, §, er,eo.es)F(r)=F(x,y,=)= F(r,0,=)=F(r,0,p)F()=F+F?+F?=F?+F?+F?=F+F?+F2例题1.2.1有一二维矢量场：F(r)=F(x,y)=é(-y)+é,(x)求此二维场的力线方程及场图__=K有：由力线方程1.1.4AFFFdx_dy= -xdx= ydy-yx即：x+y=c?标准圆方程eyF(r)= er F(r)可表示为：Xr= (x2+y2)1/2其中单位夫量er=F(r)/IF(r)I对于圆柱坐标有（附录坐标转换关系）Fig 1.2. 1

( ) 0 0 ( ) dr F r dr F r dl   =   = 0 x y z x y z e e e dx dy dz F F F = 0; 0; 0; x y y z x z dx dy dy dz dx dz F F F F F F  = = = 0; 0; 0; y x z x z y dxF dyF dxF dzF dyF dzF − = − = − =  (1.1.4) x y z dx dy dz F F F = = 1.2 矢量场的不变性 描绘物理状态空间分布的标量函数 (r)/矢量函数 F(r) 对于确定的时间是唯一的。 在正交坐标系： 直角坐标( x,y,z,ex,ey,ez )柱面坐 标( r, z,er,e,ez ) 球面坐标 ( r,  er,e,e ) F r F x y z F r z F r ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) = = =    2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) F r F F F F F F F F F = + + = + + = + + x y z r z r    例题 1.2.1 有一二维矢量场: ( ) ( , ) ) ( ) ( F r F x y x y = = + e −y e x 求此二维场的力线方程及场 图 由力线方程 1.1.4 x y z dx dy dz K F F F = = = 有： 2 2 2 dx dy xdx ydy y x x y c =  − = − 即： + = 标准圆方程 可表示为： F(r)= er F(r) 其中 r= (x2+y2)1/2 单位矢量 er=F(r)/|F(r)| 对于圆柱坐标有(附录坐标转换关系） y  ey ey x Fig 1.2.1

F(x,y)=(e, cos @-é, sinp).(-rsin p)+(e, sin p-e, cosp)-(rcosp)==é.r(sinp+cosp)=é.r=F(r,p)例题1.2.2求二维标量场u(xy)=y2-x的等值面由于z不影响u,故在任意z=const的面上场的分布是相同的。（片状分布）取u为某一常量时u=y2-x是一组抛物线→立体抛物柱面习题: 1.1,1.2,1.3,1.4

2 2 ( , ) ( sin cos ) ( cos ) ( sin ) (sin cos ) ( cos sin ) ( , ) F x y e e r r r e e e r F r e r r              =  + −  − − = = + = = 例题 1.2.2 求二维标量场 u(x,y)=y2-x 的等值面 由于 z 不影响 u,故在任意 z=const 的面上场的分布是相同的。(片状分布) 取 u 为某一常量 时 u = y2-x 是一组抛物线 → 立体抛物柱面 习题：1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.4

1.3失量的通量、做度→分析失量穿过一个曲面的通量右手螺旋法则面元矢量dS=nds法向矢量n有两个要素：闭合面外法线（鸡蛋壳外表面）通量=A()·dS(r)=A(r)S(r)cos0,其中Q=(e,n)为面元法向矢量与失量A的夹角曲面通量（定义）[ A(r)·ds(r)= [ A·ndS = [ Acos ods闭合面:Φ,A(r)·ds(r)矢量流与穿越面积方向乘和的和如不为零：>0表示有净流出---体源<0表示有净流入-沟（负源）这些都是标志大范园体积的平均特性一收度空间茶点的特性一[A(r)·ds(r) divA(r)= V.AlimAtA→0由极限表示式可知散度与体积的取法无关是由闭合面收缩得到的。t Z效度的直角坐标表承：AZA设有如图的小立方体及矢量场AAX在y方向流出体积的总流量为：ZYaA,aA,Y- A,Axz+(A, +Ay)AxAz=AxAyAzXayay

1.3 矢量的通量、散度 → 分析矢量穿过一个曲面的通量 面元矢量 dS=n ds 法向矢量 n 有两个要素： 通量 =  = = A r dS r A r S r e n A ( ) ( ) ( ) ( )cos , ,   其中 （ ）为面元法向矢量与矢量 的夹角 曲面通量（定义） cos ( ( ( ) ( ) ) ) s s s s A dS r A ndS A dS A r S r r d • = • =  •    闭合面： ▪ 如不为零： >0 表示有净流出-体源 ▪ <0 表示有净流入-沟（负源） 这些都是标志大范围体积的平均特性 空间某点的特性-散度 0 ( ) ( ) ( ) lim s A r dS r divA r A  →  • = =   •  由极限表示式可知散度与体积的取法无关是由闭合面收缩得到的。 散度的直角坐标表示： 设有如图的小立方体及矢量场 A ) y ( y y y y A A y A A x z z x x y z y y  +  −   +  =        在 方向流出体积的总流量为： 右手螺旋法则 闭合面外法线（鸡蛋壳外表面） 矢量流与穿越面积方向乘积的和 Z Z A X Y Y X

aA类似的在X方向有：AxAyAzax在Z方向有.04AxAyAzOzaA,OA.aA.则体积的总流量为AxAyAzaxOzay由此：[A(r)·ds(r)OAOAA.divA= VA-lim△taxOzdyAr→0aaa为纳布拉算符其中：div=V=é+é+e.eyayOzax例题 1. 2.3 头量 场 A(t)=r 计算A 穿过球心在原点、半径为 a 的球面的通量并求出Vr解：首先要分清下面的重要概念：F表示位置失量（）表示矢量场：处场的大小正比于TZ即A(r)=kr本题k=1。r (r)在球坐标下：(r)=é,r=ée.ads=é,ds,é,.é,=l所以:dr(a)-ds =Φ(ae,).(e,·ds)=aΦds=4元a3(x, y, z)3Y直角坐标：aoadivr=V.r(r)(xe, + ye, +ze.)2+teOzaxay场的不变性axayaz=3axayOz1 a-(r2 .r) = 3球坐标：V·()=r2ar高斯效度定理

x z A X x y z x A Z x y z z           类似的 在 方向有： 在 方向有： x y z A A A x y z x y z        + +         则体积的总流量为 0 ( ) ( ) lim s x y z A r dS r A A A divA A  →  x y z •    =  = = + +      由此： x y z e e x z v e y di    = + +    其中： =  为纳布拉算符 例题 1.2.3 矢量 场 A(r)=r 计算 A 穿过球心在原点、半径为 a 的球面的通量并求出•r ( ) r r r r r    解：首先要分清下面的重要概念： 表示位置矢量 表示矢量场： 处场的大小正比于 即 A(r)=k r 本题 k=1。 3 r( ) ; 1 ( ) ( ) ( ) 4 r r r r r r r s s s r e r e ads e ds e e r a ds a e e ds a ds a  =  = = • = • =    = =    在球坐标下： 所以： ( ) ( ) 3 x y z x y z div r r r e e e xe ye ze x y z x y z x y z      =  • = + + • + +           = + + =    直角坐标： 2 2 1 r r r r ( ) ( ) 3 r r   • =  =  球坐标： 高斯散度定理 Z X Y (x,y,z) r (r) r 场的不变性

Jv.Adt =,A.dsC证明：将闭合面包围的体积切分为一系列的小体积dt1dt.....dt,.....对每个小体积均可利用散度定理$ A(r)-ds(r)=V.Alim.△tAr-0 A(r).ds(r)=V.Adt,i=1,...,n将上面所有体积相加，并注意到相邻面的流出刚好是另一面的流入，最后成为体积的表面即：d.A.ds-o.A.ds,-v.Adt,= v.Adtis瘦度失量的环求讨论失量场F的线积分：IF.di[0----无旋DA.dl:DAcosedl=>0发散±0---有旋=00则：（闭合路径及面元的$A.di一致时上述积分值最大收缩方法任意）lim为一个与面元方向有关的失量当ds与漩涡面S+0AS垂直时恒为零（无流量）可认为上述极限是某恒定失量在面元上的投影定义此恒定失量为旋度rotA或d A.di=rot,AcurlA（满足右手螺旋定则）则：lim45-0AS采用类似于上节的方法，我们也可证明旋度的表示式：aA0A- Ay)=-(4, +6A.di = A,Ay+(A, +-4-)Ay-A4zayzaA,aA.AzAyzOyd.A.diOA.aA,J1,2.3,4rot.AlimayAS.OzAS,→0

1 2 d , ,. ., S d n Ad A d dS        • = •   证明：将闭合面包围的体积 切分为一系列的小体积 对每个小体积均可利用散度定理 0 ( ) ( ) lim s A r dS r A  →  =    1 1 ( ) ( ) 1, , i i i s n n i i S S i i A r dS r Ad i n A dS A dS Ad Ad     = = • =  • = • = • =  • =  •       将上面所有体积相加，并注意到相邻面的流出刚好是另一面的流入,最后成为 体积的表面即： 矢量的环流 - 旋度 0- cos 0 0- 0 c l l F F dl A dl A dl  •   • =            讨论矢量场 的线积分： 无旋 发散 有旋 收缩 0 0 lim c S s A dl dS  → S  → •   为了了解某点附近环流的状态，可将上述的环流收缩并令 则：（闭合路径及面元的 一致时上述积分值最大 收缩方法任意） 为一个与面元方向有关的矢量当 与漩涡面 垂直时恒为零（无流量） 0 lim c n S rot A A dl curl A rot A  → S • =   可认为上述极限是 在面元上的投影定义此恒定矢量为旋度 或 （满足右手螺旋定则）则： 某恒定矢量 1 2 3 4 1 2 3 4 0 ( ) ( ) lim x z y y z y z z y z y x S x A A A dl A y A y z A z y A z y z A A z y y z A dl A A rot A  → S y z   • =  + +   − +   −        = −         •   = − =      ， ， 采用类似于上节的方法，我们也可证明旋度的表示式：

同理可证：A.didaA.aA.J1,2,3,4= rot,AlimOzAS,ax4S,→0dA.diaA,aA.J1,2,3,4=rot.AlimaxayAS.→0AS.可记为：re' rl84re' AV×A-=é,rot,A+é,rot,A+e.rot.AaxA例题1.4.1求A=exr2+ey2+ez2的线积分及A的旋度解：如图，在xoy平面内dz=0故有A.di=A.dx+A,dy=xdx+ydy2d,A.di =Jxdx+J"y2dy+f'(v4.2y+y°)dyV232x6y---1(V2) =0+3-336331e"0eyfe"roa=0VxA=azaxay22x22任意头量旋度的度恒为零aaaIe oOzTe4oye.0a-aaaaaV.VxA==02+e+eazaxaxayOzayOzyoyaxAA.A.A.AA

1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 lim lim y z x z y S y y x z S z A dl A A rot A S z x A dl A A rot A S x y  →  → •   = − =    •   = − =      ， ， 同理可证： x y z x x y y z z x y z e e e A e rot A e rot A e rot A x y z A A A     = = + +    可记为： 例题 1.4.1 求 A=exx2 +eyy2+ ezz2 的线积分及 A 的旋度 2 2 xoy dz 0 A dl A dx A dy x dx y dy x y = • = + = + 解：如图，在 平面内 故有 ( ) ( ) 2 2 0 2 2 4 2 0 0 2 2 2 0 3 3 6 3 6 0 0 2 2 2 8 1 2 0 3 3 6 3 3 3 c A dl x dx y dy y y y dy x y x y • = + +  + =   = + + + = −  =         2 2 2 0 x y z e e e A x y z x y z     = =    任意矢量旋度的散度恒为零 0 x y z x y z x y z x y z e e e x y z A e e e x y z x y z x y z A A A A A A                   • = + + • =               y 2 =x 2

由此可知：对于任何个散度为零的先量场必然可以表示为个先量场的旋度。即B=rotA=VxA如果：divB=V·B=0则：斯托亮斯定理矢量对闭合回路的线积分等于该回路所包国任意表面上对该矢量旋度的面积分。即：f.A.di-[,rotA.ds1.4.6我们可将曲线所张的任意表面S切分成一系列小面元S显然对于任意小面元S都可运用旋度定义写为：d.A.di =rotA.dsi=]...nlim2A.di =limZroA.ds,即:9,Aodi =J,rotAds故：-n→i=n-→0/=l例1.4.2:若某失量场A(r)=é,z+e,x+e,y场中有半球面x+y2+z=1;=≥0,验证斯托克斯定理。证明：对于求坐标，ds=ér2sinededp,(此题r=1)/ae,e:aaaVxA-=éer+é,+e.QayOz12yxe.é，=sincosp（e在x方向的投影）é，·é,=sinのsinp（é,在y方向的投影）（é在z方向的投影）é..é, =cospJ, V×Ads -J,(e, +e, +e.)e, sinededp=J" J°[sin cos+sinOsin+coso]sinododp-J (cos +sino)dojsin do +2a J/sin(20)d-de2=2 (-1cos(20)

由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场 B，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即 ： 如果：div B = • B = 0则： B = = r A ot A  斯托克斯定理 ▪矢量对闭合回路的线积分等于该回路所包围任意表面上对该矢量旋度的面积分。 1.4.6 C S A dl rotA dS • = • 即：   1, , i i i C S S S A dl rotA dS i n • = • =  我们可将曲线所张的任意表面 切分成一系列小面元 显然对于任意小面元 都可运用旋度定义写为： 1 1 lim lim i n n i C C S n n i i A dl rotA dS A dl rotA dS → → = =   • = • • = • 故：    即： 2 2 2 x y z 例1.4.2: A(r) e z e x e y x y z 1; 0, 若某矢量场 = + + + + =  场中有半球面 z 验证斯托克斯定理。 2 sin ,( 1) r x y z x y z dS e r d d r e e e A e e e x y z z x y = =        = = + +    证明：对于求坐标， 此题 sin cos x sin sin y cos z x r r y r r z r r e e e e e e e e e      • = • = • = （ 在 方向的投影） （ 在 方向的投影） （ 在 方向的投影） ( )   ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 sin cos sin sin cos sin sin 2 cos sin sin 2 2 1 2 cos 2 4 x y z sin S S A e e e r d d d S d d d e d d                               = + + = + + = + +   = − =           

另一方面：在xoy平面内，路径为x?+y?=l;dl=é,dx+é,dyf.A.di =f(e,z+e,x+é,y).(e,dx+é,dy)=f.(zdx + xdy)=fxdy =2f/1-ydy(1+ cos(2x)22(cos2 x)dx = 2]Ld2sinos d(×+ sin(2x)/2 )/22=元2常用的初等三角公式：（正交积分时有用）sin2 x = I- cos(2x).:cos2 x= 1+cos(2x)22

2 2 xoy 1; x y 另一方面：在 平面内，路径为x y dl e dx e dy + = = + ( ) ( ) ( ) ( ) x y z 1 2 1 2 2 2 sin 2 2 cos 2 2 e z e x e y zdx y y 2 1 1 cos(2 ) 2 cos 2 2 sin(2 ) / 2 2 2 x y C C C C y x dy xdx A dl e dx e dy xd xd y dy x x dx dx x x        − − − = = − • = + + • + = + = = −   + =       + = =          =   常用的初等三角公式：(正交积分时有用) 2 2 1 cos(2 ) 1 cos(2 ) sin ; cos 2 2 x x x x − + = =

标量场的梯度设有标量场u(r)从u移动到u+Au的邻近点，则全微分：Ououdzoudu=-dx+dy+-02ax"dy由于：dl=é,dx+é,dy+é.dz故显然有：.. du= (Vu)diou,Qu+eQue称为标量场u的梯度其中：grad u=Vu=éaxyayz样度的物理意义U1对于等位面上的位移失量di始终有Vu·di=0U故梯度垂直于等位面---与等位面的法向矢量π一致。再分析相邻等位面的位移特性：不同的位移方向对应不同ou的位移长度即速率不同=不同其中沿等位面的法向失量位移速度最快。On（距离最短）oudl.u为最大值位函数u的增加率9du=-al.alnau由梯度的定义有：du=Vudl=Vudl,将二式比较有：Vul=al,即梯度的模是位函数u的最大增加率，方向为等值面的法向

标量场的梯度 u r u u u ( ) u u u du dx dy dz x y z +     = + +    设有标量场 从 移动到 的邻近点，则全微分： ( ) x y z x y z grad dl e dx e dy e dz du u dl u u u u e e x y u e u z = = + +  =     = + +     由于： 故显然有： 其中： 称为标量场 的梯度 梯度的物理意义 dl u dl 0, - n 对于等位面上的位移矢量 始终有 •  故梯度垂直于等位面 与等位面的法向矢量 一致。 ; u n n    再分析相邻等位面的位移特性：不同的位移方向对应不同 的位移长度即速率不同 不同 其中沿等位面的法向矢量 位移速度 。 （距 最快 离最短） n n n u u du dl u l l   =   位函数 的增加率 为最大值 n n u du u dl u dl u l  =  =   =  由梯度的定义有： 将二式比较有： 即梯度的模是位函数 u 的最大增加率， 方向为等值面的法向。 U1 U