《电磁场》课程教学资源（知识点）1-矢量分析

教学基本要求理解标量场与失量场的概念，了解标量场的等值面和失量场的失量线的概念：矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的重要概念，应深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法；散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理，应熟练掌握和应用：了解亥姆霍兹定理，理解它的重要意义。知识脉络场标量场矢量场方向导数矢量线通量环流等值面1梯度散度定理散度旋度斯托克斯定理亥姆霍兹定理重点、难点分析1.矢量场的散度与旋度的对比矢量场的散度和旋度描述了矢量场的不同性质，主要的区别在于：一个矢量场的旋度是一个失量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；②旋度描述的是矢量场中各点的场量与旋涡源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系：③如果矢量场所在的空间中，√×F=0，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的空间中，V.F=0，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；

教学基本要求 理解标量场与矢量场的概念，了解标量场的等值面和矢量场的矢量线的概念； 矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的重要概念，应深刻理解，掌 握散度、旋度和梯度的计算公式和方法； 散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理，应熟练掌握和应用； 了解亥姆霍兹定理，理解它的重要意义。 知识脉络 重点、难点分析 1．矢量场的散度与旋度的对比 矢量场的散度和旋度描述了矢量场的不同性质，主要的区别在于： ①一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数； ② 旋度描述的是矢量场中各点的场量与旋涡源的关系，而散度描述的是矢量场中各点 的场量与通量源的关系； ③ 如果矢量场所在的空间中，   F 0 ，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之 为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的空间中，   F 0 ，则这种场中不可能存在通 量源，因而称之为无源场（或管形场）； 场 标量场 矢量场 等值面 方向导数 梯度 矢量线 通量 散度定理 散度 环流 旋度 亥姆霍兹定理 斯托克斯定理

④在旋度公式（1.3.6）中，矢量场F的场分量F、F、F.分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；而在散度公式（1.2.4）中，量场F的场分量F、F,、F分别只对X、J、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。2.散度定理与斯托克斯定理散度定理与斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理。散度定理是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系：斯托克斯定理是矢量的旋度的曲面（非闭合）积分与该矢量的闭合曲线积分之间的一个变换关系。在电磁场中常用它们来推导其它的定理和关系式。3.关于亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场由它的散度和旋度惟一地确定，矢量的散度和矢量的旋度各对应矢量场的一种源。所以，分析矢量场总是从研究它的散度和旋度着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程（微分形式）。也可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到基本方程的积分形式。基本内容概述1.1标量场与矢量场1.场的概念标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。场的概念：物理量在空间中的确定分布。标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标量场，用标量函数表示为u(M,t)或u(r,t)或u(x,y,z,t)(1.1.1)量场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢量场，用失量函数表示F(M,t)或F(r,t)或F(x,y,z,t)(1.1.2)

④ 在旋度公式（1.3.6）中，矢量场 F 的场分量 F x 、 F y 、 F z 分别只对与其垂直方向 的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律； 而在散度公式（1.2.4）中，矢量场 F 的场分量 F x 、F y 、F z 分别只对 x 、y 、z 求偏导数， 所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 2．散度定理与斯托克斯定理 散度定理与斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理。散度定理是矢量的散度的体积 分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系；斯托克斯定理是矢量的旋度的曲面（非闭 合）积分与该矢量的闭合曲线积分之间的一个变换关系。在电磁场中常用它们来推导其它的 定理和关系式。 3．关于亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场由它的散度和旋度惟一地确定，矢量的 散度和矢量的旋度各对应矢量场的一种源。所以，分析矢量场总是从研究它的散度和旋度着 手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程（微分形式）。也可以从矢量场沿闭合面 的通量和沿闭合路径的环流着手，得到基本方程的积分形式。 基本内容概述 1.1 标量场与矢量场 1．场的概念 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。 场的概念：物理量在空间中的确定分布。 标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标量场，用标量函数表示为 u M t ( , ) 或 u t ( , ) r 或 u x y z t ( , , , ) （1.1.1） 矢量场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢量场，用矢量函数表示 F( , ) M t 或 F r( , )t 或 F( , , , ) x y z t （1.1.2）

静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场称为静态场。动态场（或时变场）：物理量随时间变化，则所确定的场称为动态场。-C2.标量场的等值面=C2U-C3引出：在研究标量场时，如何形象直观地描述物理等值面量在空间的分布状况。等值面的概念：在标量场中，使标量函数u(x,y,=）取得相同数值的点构成一个空间曲面称为等值面。等值面方程：u(x,y,z)=C，C为任意给定的常数。等值面的特点：①常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族：②若M。（xo,yo,=）是标量场中的任一点，显然，曲F(r)面u(x,y,=)=u(xo,yo,=）是通过该点的等值面，因此标drt量场的等值面充满场所在的整个空间；③由于标量函数(xy=）为单值的，一个点只能在r+dr一个等值面上，因此标量场的等值面互不相交D3．矢量场的矢量线失量线引出：形象地描述矢量场在空间的分布。矢量线的概念：矢量线是场空间中的有向曲线，量线上任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同，如图所示。特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的空间。矢量线微分失量：dxdydz(1.1.3)FFF解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。则既能根据矢量线确定失量场中各点矢量的方向，又可根据各处矢量线的疏密程度，判别各处的矢量大小及变化趋势。1.2矢量场的通量散度1.矢量场的通量矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一

静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场称为静态场。 动态场（或时变场）：物理量随时间变化，则所确 定的场称为动态场。 2．标量场的等值面 引出：在研究标量场时，如何形象直观地描述物理 量在空间的分布状况。 等值面的概念：在标量场中，使标量函数 u(x, y,z) 取得相同数值的点构成一个空间曲 面称为等值面。 等值面方程： u(x, y,z) = C ，C 为任意给定的常数。 等值面的特点： ① 常数 C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； ② 若 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 是标量场中的任一点，显然，曲 面 ( , , ) ( , , ) 0 0 0 u x y z = u x y z 是通过该点的等值面，因此标 量场的等值面充满场所在的整个空间； ③ 由于标量函数 u(x, y,z) 为单值的，一个点只能在 一个等值面上，因此标量场的等值面互不相交 3． 矢量场的矢量线 引出：形象地描述矢量场在空间的分布。 矢量线的概念：矢量线是场空间中的有向曲线，矢量线上任一点的切线方向都与该点的 场矢量方向相同，如图所示。 特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的空间。 矢量线微分矢量： d d d x y z x y z F F F = = （1.1.3） 解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。则既能根据矢量线确定矢 量场中各点矢量的方向，又可根据各处矢量线的疏密程度，判别各处的矢量大小及变化趋势。 1.2 矢量场的通量 散度 1．矢量场的通量 矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一。 等值面 u=c2 u=c3 u=c1 矢量线 r F r( ) r r +d o dr M

通量的概念：矢量场F在场中的曲面S上的积分称为矢量场的通量，即P=[F.dS=[F.nds(1.2.1)其中：ds=ndS为面元矢量，n为面元的法线单位失量。若S是一闭合曲面，则Y=Φ F.dS =,Fonds(1.2.2)其中n为外法线单位矢量。通量的物理意义：F·dS>O时，有穿出闭合曲面S的净通量（S内有发出矢量线的源，称为正源）；F·dS0(b)divF0时，发出失量线的正源；V·F<0时，汇聚矢量线的负源：V·F=0时，无通量源。散度的计算公式：

通量的概念：矢量场 F 在场中的曲面 S 上的积分称为矢量场的通量，即 d d S S Ψ S = =   F S F n （1.2.1） 其中： d d S n = S 为面元矢量， n 为面元的法线单位矢量。 若 S 是一闭合曲面，则 d d S S Ψ S = =   F S F n （1.2.2） 其中 n 为外法线单位矢量。 通量的物理意义： d 0 S   F S 时，有穿出闭合曲面 S 的净通量（ S 内有发出矢量线的源，称为正源）； d 0 S   F S 时，有进入闭合曲面 S 的净通量（ S 内有汇聚矢量线的源，称为负源）； d 0 S =  F S 时，无进入闭合曲面 S 的净通量（ S 内无净通量源）。 通量的特点：描述的是一定范围内总的净通量源，而不能反映场域内的通量源分布情况。 (a) divF＞0 (b) divF＜0 (c) divF＝0 散度的意义 2．矢量场的散度  F 矢量场的散度描述场域内的通量源分布情况的重要概念。 散度的概念：在矢量场 F 中的任一点 M 处作一个包围该点的任意闭合曲面 S ，当 S 所 限定的体积 V 以任意方式趋近于零时，则比值 d S V  F S 的极限称为矢量场 F 在点 M 处的 散度，并记作  F ，即 0 d lim S  →V V  =   F S F （1.2.3） 散度的物理意义：通量源的密度。 •F  0 时，发出矢量线的正源； •F  0 时， 汇聚矢量线的负源； •F = 0 时，无通量源。 散度的计算公式：

OF,OFaFV.F=-（直角坐标系）(1.2.4)zaxdy10F,F1aV.F（圆轴坐标系）(1.2.5)(pF)OzpappapaOFa111(r°F)+V.F:(sinのF.)+（球坐标系）(1.2.6)r2 Orrsingaersineg3.散度定理矢量场F的散度V.F在体积T上的体积分等于失量场F在限定该体积的闭合面S上的面积分，即.F.dsV.Fdt(1.2.7)散度定理的意义：矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，是失量分析中的一个重要的恒等式。1.3矢量场的环流旋度1.矢量场的环流dl矢量场的环流是描述失量场性质的另一个重要概念。环流的概念：矢量场F沿场中的一条闭合路径C的曲线积线元矢量分，即F.d(1.3.1)其中dl为线元矢量，其大小为dl、方向沿路径C的切线方向。环流的物理意义：与回路交链的旋涡源。环流的特点：不能描述任一点旋涡源的分布。2.环流面密度（rot，F）环流面密度的概念：在点M处，当面元△S保持以n为法线$.F.dl称为矢量场F方向而向点M处无限缩小时，极限limcAS→0AS面元矢量在点M处沿方向n的环流面密度，记作rot，F，即+Fdl(1.3.2)rot, F = limASAS-→0n为面元△S的法线单位失量

线元矢量 C dl F x y z F F F x y z     = + +    F （直角坐标系） （1.2.4） 1 1 ( ) z F F F z            = + +    F （圆轴坐标系） （1.2.5） 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r F r F F r r r r            = + +    F （球坐标系）（1.2.6） 3．散度定理 矢量场 F 的散度  F 在体积  上的体积分等于矢量场 F 在限定该体积的闭合面 S 上 的面积分，即 d d  S  =    F F S （1.2.7） 散度定理的意义：矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系， 是矢量分析中的一个重要的恒等式。 1.3 矢量场的环流 旋度 1．矢量场的环流 矢量场的环流是描述矢量场性质的另一个重要概念。 环流的概念：矢量场 F 沿场中的一条闭合路径 C 的曲线积 分，即 d C Γ =  F l （1.3.1） 其中 dl 为线元矢量，其大小为 dl 、方向沿路径 C 的切线方向。 环流的物理意义：与回路交链的旋涡源。 环流的特点：不能描述任一点旋涡源的分布。 2．环流面密度（ rot n F ） 环流面密度的概念：在点 M 处，当面元 S 保持以 n 为法线 方向而向点 M 处无限缩小时，极限 0 d lim C  →S S  F l 称为矢量场 F 在点 M 处沿方向 n 的环流面密度，记作 rot n F ，即 0 d rot lim C n  →S S =   F l F （1.3.2） n 为面元 S 的法线单位矢量。 面元矢量 n C S dl

环流面密度的物理意义：旋涡源密度在方向n上的投影环流面密度的特点：rot，F与方向n有关。在给定点M处沿不同方向n，rot，F的值一般是不同的。3.矢量场的旋度√×F量场的旋度描述场域内的旋涡源分布情况的重要概念。旋度的概念：矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记作V×F（或记作rotF），它的方向沿着使环流面密度取得最大值的面元法线方向、大小等于该环流面密度最大值，即m二$_F-dlVxF=nlim(1.3.3)[4S-0 AS 9cVxF为环流面密度的最大值，n为取得环流面密度最大值的方向。旋度的物理意义：旋涡源密度。旋度的性质：①√×F为失量：②rot.F=n.VxF(1.3.4)③ V.(V×F)=0(1.3.5)旋度计算公式：aF,OF,_OF.aF.OFOF.VxF=e.2)+e,()+e.(CzayOzaxaxOyexeeaaa(1.3.6)（直角坐标系）02axayFF.F,epepesaaa/VxF=（圆轴坐标系）(1.3.7)OzasappF.F.pF,rsinde,e,re.1aaaVxF:（球坐标系）(1.3.8)adar00rsineFrF.rsineF.4.斯托克斯定理矢量场F的旋度V×F在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭曲线C上的

环流面密度的物理意义：旋涡源密度在方向 n 上的投影。 环流面密度的特点： rot n F 与方向 n 有关。在给定点 M 处沿不同方向 n，rot n F 的值 一般是不同的。 3．矢量场的旋度 F 矢量场的旋度描述场域内的旋涡源分布情况的重要概念。 旋度的概念：矢量场 F 在点 M 处的旋度是一个矢量，记作 F （或记作 rotF ），它 的方向沿着使环流面密度取得最大值的面元法线方向、大小等于该环流面密度最大值，即 0 max 1 lim d  →S S C    =       F n F l （1.3.3） F 为环流面密度的最大值， n 为取得环流面密度最大值的方向。 旋度的物理意义：旋涡源密度。 旋度的性质：① F 为矢量； ② rot n F n F =  （1.3.4） ③   = ( ) 0 F （1.3.5） 旋度计算公式： ( ) ( ) ( ) z z y y x x x y z F F F F F F y z z x x y        = − + − + −       F e e e x y z x y z x y z F F F    =    e e e （直角坐标系） （1.3.6） 1 z z z F F F               =    e e e F （圆轴坐标系） （1.3.7） 2 sin 1 sin sin r r r r r r F rF r F               =    e e e F （球坐标系） （1.3.8） 4．斯托克斯定理 矢量场 F 的旋度 F 在曲面 S 上的面积分等于矢量场 F 在限定曲面的闭曲线 C 上的

线积分，即FediVxF.d:(1.3.9)斯托克斯定理的意义：矢量旋度的曲面积分（非闭合）与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系，也是矢量分析中的一个重要的恒等式。I人M1.4标量场的方向导数梯度Mo1．方向导数方向导数方向导数的概念auu(M)-u(M)= lim (1.4.1)ailm414→0方向导数的意义：方向导数是描述标量场沿1方向的变化情况的重要概念。方向导数的计算公式OuOuauOucosβ+cosα+cos(1.4.2)al-axazaydxdydzcosβ=式中：cosα=cosy是1方向的方向余弦。dldldl方向导数的特点：auau>0时，(M）沿1方①%是标量场u(M)在点M处沿1方向对距离的变化率。当%alauau"<0时，u(M)沿1方向减小；当司=0时，u(M)沿1方向无变化；向增加；当al②方向导数值既与点M。有关，也与1方向有关。因此，在一个给定点M。处沿不同方向，其方向导数一般是不同的。2.梯度（gradu或Vu）问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、其最大的变化率又是多少？梯度的概念：标量场u在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向、大小等于其最大变化率，并记作gradu或Vu，即Ou gradu= Vu=ei al(1.4.3)Ou其中，e,为取得最大值的方向。al

线积分，即 d d S C  =   F S F l （1.3.9） 斯托克斯定理的意义：矢量旋度的曲面积分（非闭合） 与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系，也是矢量分 析中的一个重要的恒等式。 1.4 标量场的方向导数 梯度 1． 方向导数 方向导数的概念 l u M u M l u l M   ( ) ( ) lim 0 0 0 − =   → （1.4.1） 方向导数的意义：方向导数是描述标量场沿 l 方向的变化情况的重要概念。 方向导数的计算公式 cos cos  cos z u y u x u l u   +   +   =   （1.4.2） 式中： dl dx cos = 、 dl dy cos  = 、 dl dz cos = 是 l 方向的方向余弦。 方向导数的特点： ① l u   是标量场 u(M ) 在点 M0 处沿 l 方向对距离的变化率。当  0   l u 时， u(M ) 沿 l 方 向增加；当  0   l u 时， u(M ) 沿 l 方向减小；当 = 0   l u 时， u(M ) 沿 l 方向无变化； ② 方向导数值既与点 M0 有关，也与 l 方向有关。因此，在一个给定点 M0 处沿不同方 向 l ，其方向导数一般是不同的。 2．梯度（ gradu 或 u ） 问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、其最大的变化率又是多少？ 梯度的概念：标量场 u 在点 M 处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量 u 变化率最大的 方向、大小等于其最大变化率，并记作 gradu 或 u ，即 max grad l u u u l  =  =  e （1.4.3） 其中， l e 为 u l   取得最大值的方向。 l △l M0 M 方向导数

梯度的意义：描述标量场u(M）的最大变化率及其方向。梯度的性质标量场ur）的梯度Vu是矢量场，并且VxVu=0(1.4.4)②标量场u(r)中，在给定点沿任意方向e,的方向导数等于梯度在该方向上的投影，即ou=eVu(1.4.5)al③标量场u(r）中每一点的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向u(r）增加的方向：④一个标量场可由它的梯度来描述，且u(r)=/Vudl+C。梯度的计算公式ouOuauVu=exox+e+eyoy(1.4.6)（直角坐标系）OzauOuQuVu=epop+e:0m(1.4.7)+e（圆柱坐标系）poouououVu=e,+ee+es（球坐标系）(1.4.8)arr00rsingog1.5亥姆霍兹定理1.亥姆霍兹定理表述：在有限的区域V内，任一失量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布）唯一的确定。重要性：它是对矢量场性质的完整描述，是研究电磁场理论的一条主线，无论对静态电磁场还是时变电磁场，都要研究它们的散度、旋度和边界条件。2.量场的分类根据失量场的散度和旋度可将量场分为：无源场、无旋场和有源有旋场。无旋场V×F=0(1.5.1)无旋场可以表示为一个标量场的梯度，即F=-Vu(1.5.2)无源场V.F=0(1.5.3)

梯度的意义：描述标量场 u M( ) 的最大变化率及其方向。 梯度的性质 ① 标量场 u( )r 的梯度 u 是矢量场，并且   u 0 （1.4.4） ② 标量场 u( )r 中，在给定点沿任意方向 l e 的方向导数等于梯度在该方向上的投影，即 l u u l  =   e （1.4.5） ③ 标量场 u( )r 中每一点的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向 u( )r 增加的方向； ④ 一个标量场可由它的梯度来描述，且 u u C ( ) d =  +  r l 。 梯度的计算公式 x y z u u u u x y z     = + +    e e e （直角坐标系） （1.4.6） z u u u u z          = + +    e e e （圆柱坐标系） （1.4.7） sin r u u u u r r r          = + +    e e e （球坐标系） （1.4.8） 1.5 亥姆霍兹定理 1．亥姆霍兹定理 表述：在有限的区域 V 内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域 V 的闭合面 S 上的矢量场的分布）唯一的确定。 重要性：它是对矢量场性质的完整描述，是研究电磁场理论的一条主线，无论对静态电 磁场还是时变电磁场，都要研究它们的散度、旋度和边界条件。 2．矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度可将矢量场分为：无源场、无旋场和有源有旋场。 无旋场   F 0 （1.5.1） 无旋场可以表示为一个标量场的梯度，即 F = −u （1.5.2） 无源场   F 0 （1.5.3）

无源场可以表示为一个矢量位函数的旋度，即F=VXA(1.5.4)有源有旋场(V.F=g(1.5.5)[VxF=G可将矢量场F表示为一个无源场F，和一个无旋场F的叠加，即F=F,+F(1.5.6)因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数A，使得(1.5.7)F=-Vu+VxA

无源场可以表示为一个矢量位函数的旋度，即 F A =  （1.5.4） 有源有旋场  = g   = F F G （1.5.5） 可将矢量场 F 表示为一个无源场 F s 和一个无旋场 Fi 的叠加，即 F F F = +s i （1.5.6） 因而，可定义一个标量位函数 u 和矢量位函数 A ，使得 F A = − + u （1.5.7）