《电磁场》课程教学资源（知识点）9-电磁波辐射

教学基本要求电磁波辐射实际上也是一个边值问题，严格求解非常困难，常采用近似方法，通过引入位函数来求解。应了解辐射场的研究方法，掌握滞后位及其物理意义。电偶极子辐射是一种最简单也是最重要的辐射形式。应掌握电偶极子的近区场和远区场的特点。了解电与磁的对偶关系，并能应用该关系得到磁偶极子的辐射场。线形天线广泛应用于通信、广播、雷达等领域。对于线形天线应了解其分析方法和基本电参数的定义。了解阵列天线的分析方法和方向性相乘原理。知识脉络滞后位电磁对偶性 电偶极子的辐射磁偶极子的辐射天线阵重点、难点分析电偶极子是一种基本辐射单元。由滞后位可得到其场分布。在kr<1（近区场）的条件下，其电磁场分布与静态场相同。而且电场和磁场的相位差为90°，因此能量在电场和磁场之间相互交换而平均坡印廷矢量为零，该区域的场称为感应场。在kr》1（远区场）的条件下，其辐射场的平均坡印廷矢量不为零，且场分布具有方向性。基本内容概述9.1滞后位%下，矢量位A和标量位9满足达朗贝尔方程在洛伦兹条件V.A=-eatAA-e(9. 1. 1)-uJat?

教学基本要求 电磁波辐射实际上也是一个边值问题，严格求解非常困难，常采用近似方法，通过引入 位函数来求解。应了解辐射场的研究方法，掌握滞后位及其物理意义。 电偶极子辐射是一种最简单也是最重要的辐射形式。应掌握电偶极子的近区场和远区场 的特点。了解电与磁的对偶关系，并能应用该关系得到磁偶极子的辐射场。 线形天线广泛应用于通信、广播、雷达等领域。对于线形天线应了解其分析方法和基 本电参数的定义。了解阵列天线的分析方法和方向性相乘原理。 知识脉络 重点、难点分析 电偶极子是一种基本辐射单元。由滞后位可得到其场分布。在 kr 1 （近区场）的条 件下，其电磁场分布与静态场相同。而且电场和磁场的相位差为 0 90 ，因此能量在电场和磁 场之间相互交换而平均坡印廷矢量为零，该区域的场称为感应场。在 kr 1 （远区场）的 条件下，其辐射场的平均坡印廷矢量不为零，且场分布具有方向性。 基本内容概述 9.1 滞后位 在洛伦兹条件 t     = −  A 下，矢量位 A 和标量位  满足达朗贝尔方程 2 2 2 t     − = −  A A J (9.1.1) 电偶极子的辐射 滞后位 电磁对偶性 磁偶极子的辐射 天线阵

--P-e(9. 1. 2)at?6A、与场量的关系为aAE=-V0-(9. 1. 3)atH=IvxA(9. 1.4)达朗贝尔方程的解为(9.1. 5)uA(r) :dt4元r1(9.1. 6)11dtp(r):4元起r-r当激励源J、P随时间作正弦变化时，μ[(r')e-ar-r]dtA(r) :(9. 1. 7)4元Jr-r[ P(r')e-r-r11dt(9. 1. 8)p(r) =[r-r4元物理意义：t时刻的失量位A(r,t)和标量位g(r,t)的值是由此时刻之前的源J(r,t-r-r/)和p(r,t-r-r/>)决定的，滞后的时间为r-r/v（即电磁波由源点传播到场点所需要的时间)，相应于正弦变化的相位滞后为kr-r。因此，A和又称为滞后位。9.2电偶极子的辐射场电偶极子：长度远小于波长的线元e.l上载有等幅同相电流I，是最基本的辐射源。e.ll-一电流元。1.电偶极子的电磁场设线元上的电流随时间作正弦变化，则HollA()=[e]e-ji-e-jikrdz"~e.4元J／4元r图9.2.1电偶极子

   e r e  e r x y z P o 图 9.2.1 电偶极子 2 2 2 t        − = −  (9.1.2) A 、 与场量的关系为 t   = − −  A E (9.1.3) 1  H A =   (9.1.4) 达朗贝尔方程的解为 ( , ) ( ) 4 t v d     −  − =  −   r r J r A r r r (9.1.5) ( , ) 1 ( ) 4 t v d     −  − =  −   r r J r r r r (9.1.6) 当激励源 J 、  随时间作正弦变化时， ( ) ( ) 4 jk e d     − −   =  −   r r J r A r r r (9.1.7) 1 ( ) ( ) 4 jk e d      − −   =  −   r r r r r r (9.1.8) 物 理意义： t 时刻的矢量位 A r( , )t 和标量位 ( , ) r t 的值是由此时 刻之前的源 J r r r ( , ) t v − −  和 ( , ) r r r t v − −  决定的，滞后的时间为 r r −  v （即电磁波由源点 传播到场点所需要的时间），相应于正弦变化的相位滞后为 k r r −  。因此， A 和  又称为 滞后位。 9.2 电偶极子的辐射场 电偶极子：长度远小于波长的线元 z e l 上载有等幅同 相电流 I ，是最基本的辐射源。 z e Il ——电流元。 1. 电偶极子的电磁场 设线元上的电流随时间作正弦变化，则 ( ) 0 d 4 z jkr l I e z r   − =   e A r 0 4 jkr z Il e r   −  e

在球坐标系中A,= A.cos0=4ollcosQe-jkr4元rMoll-sine-jkrA。=-A,sin=-4元rA. =0k'llsing,11jle-ikH=VxA=e(9. 2. 1)4元(kr)krlo由1E=VxHjog可得到2lkcoso1E.(9. 2. 2)L(kr)?4元080(kr)3Ilk' sine11-jkE。(9. 2. 3)24元08(kr)2(kr)3krE,=0(9. 2. 4)这表明电偶极子产生的电磁场，磁场强度只有H。分量，而电场强度有E，和E。两个分量。2.电偶极子的近区场近区：kr<<1的区域，则111e-jn~1且kr(kr)(kr)?近区场IlcoseE, =(9. 2. 5)2元080r3IlsingE。(9. 2. 6)4元080r3IlsinH.(9. 2. 7)4元特点：（1）时变电偶极子的电场表示式与静电偶极子的电场表示式相同：磁场表示式恒定电流元的磁场表示式相同一一准静态场或似稳场

在球坐标系中 0 0 cos cos 4 sin sin 4 0 jkr r z jkr z Il A A e r Il A A e r A           − −  = =     = − = −   =   2 2 0 1 sin 1 [ ] 4 ( ) k Il j jkr e kr kr     − H A e =  = + (9.2.1) 由 0 1 j E H =   可得到 3 2 3 0 2 cos 1 4 ( ) ( ) jkr r Ilk j E e kr kr   −   = −     (9.2.2) 3 2 3 0 sin 1 4 ( ) ( ) jkr Ilk j j E e kr kr kr    −   = + −     (9.2.3) E 0  = (9.2.4) 这表明电偶极子产生的电磁场，磁场强度只有 H 分量，而电场强度有 E r 和 E 两个分 量。 2. 电偶极子的近区场 近区： kr 1 的区域，则 ( ) ( ) 2 3 1 1 1 kr kr kr   且 1 jkr e −  近区场 3 0 cos 2 r Il E j r   = − (9.2.5) 3 0 sin 4 Il E j r    = − (9.2.6) 2 sin 4 Il H r    = (9.2.7) 特点：（1）时变电偶极子的电场表示式与静电偶极子的电场表示式相同；磁场表示式 恒定电流元的磁场表示式相同——准静态场或似稳场

"ReExH*=0——电偶极子的近区场没有电磁功率传输。(2)S=13.电偶极子的远区场远区：kr>>1的区域，则1111>kr(kr)2(kr)3辐射场k? Iln sin Ge-irsinde-ikrE。=J(9.2.8)=j2元r4元060rlkIl-sinQe-jkr =Sin Qe-jkrH.=J(9. 2. 9)4元22r平均坡印廷矢量('ng sin? 0(9. 2. 10)S=Rel8元r22辐射特性：（1)远区场是横电磁波（TEM波）。电场和磁场都只有横向分量（E=e.Eg，H=eH），E与H相互垂直，且垂直于传播方向。（2）远区场是非均匀球面波。相位因子e-j表明波的等相位面是1-常数的球面：在该等相位面上，电场（或磁场）的振幅并不处处相等，故为非均匀球面波。（3）远区场的振幅具有扩散性。（4）远区场分布有方向性。方向性因子sin表明在r-常数的球面上，θ取不同的数值时，场的振幅是不相等的。在电偶极子的轴线方向上（0=0），场强为零：在垂直于电偶极子轴线的方向上（0=90），场强最大。4.方向性函数和方向图方向性函数：sinθ一一描述辐射场在空间不同方向上的分布的函数。方向图：用来形象描述辐射场在空间不同方向是的分布的几何图形。E面方向图：电场量E所在并包含最大辐射方向的平面上的方向图，图9.2.2所示。H面方向图：磁场矢量H所在并包含最大辐射方向的平面上的方向图，图9.2.3所示

（2） 1 Re 0 2 av  =  =     S E H ——电偶极子的近区场没有电磁功率传输。 3. 电偶极子的远区场 远区： kr 1 的区域 ，则 2 3 1 1 1 kr kr kr ( ) ( )   辐射场 2 0 0 sin sin 4 2 jkr jkr Ilk Il E j e j e r r       − − = = (9.2.8) sin sin 4 2 jkr jkr Ilk Il H j e j e r r      − − = = (9.2.9) 平均坡印廷矢量 2 0 2 2 2 1 ( ) Re sin 2 8 av r Il r     =  =     S E H e (9.2.10) 辐射特性： （1）远区场是横电磁波（TEM 波）。电场和磁场都只有横向分量 ( , ) E e H e = =     E H ， E 与 H 相互垂直，且垂直于传播方向。 （2）远区场是非均匀球面波。相位因子 jkr e − 表明波的等相位面是 r=常数的球面；在该 等相位面上，电场（或磁场）的振幅并不处处相等，故为非均匀球面波。 （3）远区场的振幅具有扩散性。 （4）远区场分布有方向性。方向性因子 sin 表明在 r=常数的球面上，  取不同的数 值时，场的振幅是不相等的。在电偶极子的轴线方向上 ( 0 )  = ，场强为零；在垂直于电偶 极子轴线的方向上 ( 90 )  = ，场强最大。 4．方向性函数和方向图 方向性函数：sin ——描述辐射场在空间不同方向上的分布的函数。 方向图：用来形象描述辐射场在空间不同方向是的分布的几何图形。 E 面方向图：电场矢量 E 所在并包含最大辐射方向的平面上的方向图，图 9.2.2 所示。 H 面方向图：磁场矢量 H 所在并包含最大辐射方向的平面上的方向图，图 9.2.3 所示

180033000=00300600300%270%90027090°71200240415002100=001800图9.2.2电偶极子的E面方向图图9.2.3电偶极子的H面方向图5.辐射功率等于平均坡印廷矢量在任意包围电偶极子的球面上的积分，即n=d"e,2n(2ar-sino)ersinedededs=40元(9. 2. 11)可见，电偶极子的辐射功率与电长度1/入有关。2P=80元（元）辐射电阻：R=2(9. 2. 12)2用来衡量天线的辐射能力，是天线的电参数之一。9.3电磁对偶性在电磁场中引入等效磁荷Pm和等效磁流Jm，则由Pm和Jm产生的电磁场满足方程aBm-J.VxE.=(9. 3. 1)ataDmVxH.=(9. 3. 2)atV.B.=P.(9. 3. 3)V.D.=0(9. 3. 4)与由P。和J。产生的电磁场所满足方程aDVxH,:e+J(9. 3. 5)ataB.VxE.=(9. 3. 6)at

0  = 0 0 30 0 60 0 900 120 0 0 150 180 0 210 0 2400 270 0 300 0 330 0  = 0 0 90 0 180 0 270 图 9.2.2 电偶极子的 E 面方向图 图 9.2.3 电偶极子的 H 面方向图 5．辐射功率 等于平均坡印廷矢量在任意包围电偶极子的球面上的积分，即 d r av s P =  S S 2 2 2 0 0 0 1 ( sin ) sin d 2 2 r r Il r d r         =   e e 2 2 2 40 ( ) l  I  = (9.2.11) 可见，电偶极子的辐射功率与电长度 l  有关。 辐射电阻： 2 2 r r P R I = 2 2 80 ( ) l   = (9.2.12) 用来衡量天线的辐射能力，是天线的电参数之一。 9.3 电磁对偶性 在电磁场中引入等效磁荷  m 和等效磁流 m J ，则由  m 和 m J 产生的电磁场满足方程 m m m t    = − −  B E J (9.3.1) m m t    =  D H (9.3.2)  = B m m  (9.3.3) 0  = D m (9.3.4) 与由  e 和 e J 产生的电磁场所满足方程 e e e t    = +  D H J (9.3.5) e e t    = −  B E (9.3.6)

V.D.=P.(9. 3. 7)V.B.=0(9. 3. 8)相比较，可得到对偶关系：(9. 3. 9)Em台-H。、Dm-B、H.E、Bm台DPmPeJmJAμ、u(9. 3. 10)9.4磁偶极子的辐射场利用电磁对偶原理，由电偶极子的辐射场作以下对偶量代换E→Hm、H→-Em、→、→&,I→I得到磁偶极子的辐射场Im1-sinQe-jikrH。=j(9. 4. 1)2AmrI.1-sinQe-jkrE,=-j(9. 4. 2)22r9.5天线阵将许多天线单元按一定方式排列构成天线阵，可获得所期望的辐射特性。由相同形式和相同取向的单元天线组成的天线阵，其方向性图是单元天线的方向性图乘上阵因子方向性图，这就是方向性相乘原理。N元均匀直线式天线阵的阵因子为 (v)- sin(Ny/2)(9. 5. 1)sin (y /2)式中y=kdcosg-α

 = D e e  (9.3.7) 0  = B e (9.3.8) 相比较，可得到对偶关系： E H m e  − 、 D B m e  − 、 H E m e  、 B D m e  (9.3.9)   m e  、 J J m e  、   、    (9.3.10) 9.4 磁偶极子的辐射场 利用电磁对偶原理，由电偶极子的辐射场作以下对偶量代换 E H e m → 、 H E e m → − 、  → 、   → ， m Il I l → 得到磁偶极子的辐射场 sin 2 m jkr I l H j e r    − = (9.4.1) sin 2 m jkr I l E j e r    − = − (9.4.2) 9.5 天线阵 将许多天线单元按一定方式排列构成天线阵，可获得所期望的辐射特性。由相同形式和 相同取向的单元天线组成的天线阵，其方向性图是单元天线的方向性图乘上阵因子方向性 图，这就是方向性相乘原理。N 元均匀直线式天线阵的阵因子为 ( ) sin ( 2) sin ( 2) N f    = (9.5.1) 式中    = − kd cos