《电磁场》课程教学资源（知识点）4-静态场边值问题解法

教学基本要求分离变量法是求解边值问题的一种基本方法，应熟悉其基本原理，掌握分离变量法解题的步骤，会用分离变量法求解直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中一些较简单的二维问题。镜像法是一种简单而实用的方法，要理解镜像法的原理，熟悉一些典型的像电荷分布，并熟练地运用镜像法求解静电场问题。理解有限差分法的原理和方法，会应用选代法解差分方程组。知识脉络 直角坐标系 分离变量法圆柱坐标系球坐标系 R静电场边值问题镜像法1平面镜像球面镜像有限差分法柱面镜像重点、难点解析1.分离变量法分离变量法是解边值问题的一种基本方法。教学重点在于：对具体的静电场边值问题进行正确分析，写出正确的通解和边界条件，并根据边界条件确定出通解中的待定常数。下面讨论应用分离变量法解静电场边值问题中应注意的几个问题：①建立适当的坐标系。坐标系的建立主要根据求解区域的几何特征，一般要求坐标面应与区域的边界面相吻合，才能用分离变量法求解。例如，具有球面边界的问题，应选择球坐标系；对具有柱面边界的问题，则应选择柱面坐标系。此外，对具有对称性的问题，就应结合对称性来确定坐标轴的取向，尽可能减少电位函数的自变量个数，从而降低方程的维数，使问题的求解得到简化。例如，在均匀外场E。中放入一个导体球，应以球心为坐标原点，极轴沿外场方向建立球坐标系；又如，导体球附近有一个点电荷9，建立球坐标系时，应以球心为坐标原点，极轴沿球心与点电荷q的连线。②正确写出电位的通解。这里主要存在两个问题：一是电位满足的泊松方程或拉普拉

教学基本要求 分离变量法是求解边值问题的一种基本方法，应熟悉其基本原理，掌握分离变量法解题 的步骤，会用分离变量法求解直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中一些较简单的二维问题。 镜像法是一种简单而实用的方法，要理解镜像法的原理，熟悉一些典型的像电荷分布， 并熟练地运用镜像法求解静电场问题。 理解有限差分法的原理和方法，会应用迭代法解差分方程组。 知识脉络 重点、难点解析 1．分离变量法 分离变量法是解边值问题的一种基本方法。教学重点在于：对具体的静电场边值问题进 行正确分析，写出正确的通解和边界条件，并根据边界条件确定出通解中的待定常数。下面 讨论应用分离变量法解静电场边值问题中应注意的几个问题： ① 建立适当的坐标系。坐标系的建立主要根据求解区域的几何特征，一般要求坐标面 应与区域的边界面相吻合，才能用分离变量法求解。例如，具有球面边界的问题，应选择球 坐标系；对具有柱面边界的问题，则应选择柱面坐标系。此外，对具有对称性的问题，就应 结合对称性来确定坐标轴的取向，尽可能减少电位函数的自变量个数，从而降低方程的维数， 使问题的求解得到简化。例如，在均匀外场 E0 中放入一个导体球，应以球心为坐标原点， 极轴沿外场方向建立球坐标系；又如，导体球附近有一个点电荷 q ，建立球坐标系时，应以 球心为坐标原点，极轴沿球心与点电荷 q 的连线。 ② 正确写出电位的通解。这里主要存在两个问题：一是电位满足的泊松方程或拉普拉 静电场边值问题 分离变量法 镜像法 有限差分法 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 平面镜像 球面镜像 柱面镜像

斯方程都是在均匀介质条件下导出的，若场域中存在不同的介质，则应将场域沿介质分界面划分为几个区域，分别写出各区域的通解；另一个问题是，应用分离变量法求解边值问题时，要求电位满足的方程应为拉普拉斯方程。也就是说，场域内没有电荷分布时，才能直接应用分离变量法求解。因此，对场域内有电荷分布的问题，一般应利用叠加原理，将电位写成特解(由源电荷产生)与通解（满足拉普拉斯方程)的叠加。例如，在半径为α的介质球外有一点电荷q的问题中，空间任一点的电位可写成β=9，+，其中，是点电荷9产生的电位(特解)，β'是介质球上极化电荷产生的电位（满足拉普拉斯方程)。此外，若场域中有面分布电荷时，可沿电荷分布面对场域进行划分，这样面电荷就包含于分界面上的边界条件之中。应用叠加原理还应特别注意，当由边界条件确定通解中的待定常数时，边界条件中的是总的电位，而不是通过分离变量法求出的部分电位β'。③正确地写出边界条件。边值问题中的边界条件通常包括：α、场域边界面上的已知条件（第一类、第二类或第三类)；b、若场域中存在不同的介质时，电位还应满足介质分界面上的边界条件；C、对于无界场问题，还应给出无穷远处电位满足的条件。当电荷分布在有限区域内时，无穷远处电位应为零（电位参考点）：若存在无限大的带电体时，无穷远处的电位不一定为零应根据具体问题而定。此外。在球坐标系和圆柱坐标系中，若求解区域包含坐标原点，一般应要求原点处的电位为有限值，但原点处有点电荷、线电荷或电偶极子之类的源时除外。2.镜像法镜像法是一种间接方法，它的基本原理是：在待求解的场域外部的适当位置上放置一些等效电荷（称为像电荷），在保持边界条件不变的情况下，将边界面移去。这样就把求解边值问题转换为求解无界空间的问题。正确地找出像电荷是应用电像法解题的关键。确定像电荷分布主要是根据两点：一是像电荷必须位于待求解的场域（称为像电荷的有效区域）外，保持有效区域内的电荷分布不变，二是像电荷的个数、位置、电荷量的大小和符号以满足边界条件来确定。在应用镜像法解题是，应注意以下几个问题：①当导体不接地时，导体面上存在正、负两种不同的感应电荷，且感应电荷的分布与原电荷的位置有关。例如，在半径为的导体球壳外，距球心为d处有一点电荷q。这时两种感应电荷都分布在球壳的外表面上，它们都对球壳外部区域的场分布有影响：若点电荷q放在导体球壳内，则在导体球壳的内表面上分布着总电量为一q的感应电荷，而在导体球壳的外表面上均匀分布着总电量为9感应电荷。这时，导体球壳的内表面上的感应电荷的像电荷为q=-ag/d，并不等于它所代替的感应电荷的电荷量。②若在内、外半径分别为α、b的接地导体球壳外，距球心为d处有一点电荷g°

斯方程都是在均匀介质条件下导出的，若场域中存在不同的介质，则应将场域沿介质分界面 划分为几个区域，分别写出各区域的通解；另一个问题是，应用分离变量法求解边值问题时， 要求电位满足的方程应为拉普拉斯方程。也就是说，场域内没有电荷分布时，才能直接应用 分离变量法求解。因此，对场域内有电荷分布的问题，一般应利用叠加原理，将电位写成特 解(由源电荷产生)与通解(满足拉普拉斯方程)的叠加。例如，在半径为 a 的介质球外有一点 电荷 q 的问题中，空间任一点的电位可写成    q = +  ，其中  q 是点电荷 q 产生的电位(特 解)， 是介质球上极化电荷产生的电位(满足拉普拉斯方程)。此外，若场域中有面分布电 荷时，可沿电荷分布面对场域进行划分，这样面电荷就包含于分界面上的边界条件之中。 应用叠加原理还应特别注意，当由边界条件确定通解中的待定常数时，边界条件中的  是总的电位，而不是通过分离变量法求出的部分电位  。 ③ 正确地写出边界条件。边值问题中的边界条件通常包括： a、场域边界面上的已知条件(第一类、第二类或第三类)； b 、若场域中存在不同的介质时，电位还应满足介质分界面上的边界条件； c、对于无界场问题，还应给出无穷远处电位满足的条件。当电荷分布在有限区域内时， 无穷远处电位应为零(电位参考点)；若存在无限大的带电体时，无穷远处的电位不一定为零， 应根据具体问题而定。此外。在球坐标系和圆柱坐标系中，若求解区域包含坐标原点，一般 应要求原点处的电位为有限值，但原点处有点电荷、线电荷或电偶极子之类的源时除外。 2．镜像法 镜像法是一种间接方法，它的基本原理是：在待求解的场域外部的适当位置上放置一些 等效电荷(称为像电荷)，在保持边界条件不变的情况下，将边界面移去。这样就把求解边值 问题转换为求解无界空间的问题。 正确地找出像电荷是应用电像法解题的关键。确定像电荷分布主要是根据两点：一是像 电荷必须位于待求解的场域(称为像电荷的有效区域)外，保持有效区域内的电荷分布不变， 二是像电荷的个数、位置、电荷量的大小和符号以满足边界条件来确定。 在应用镜像法解题是，应注意以下几个问题： ① 当导体不接地时，导体面上存在正、负两种不同的感应电荷，且感应电荷的分布与 原电荷的位置有关。例如，在半径为 a 的导体球壳外，距球心为 d 处有一点电荷 q 。这时两 种感应电荷都分布在球壳的外表面上，它们都对球壳外部区域的场分布有影响；若点电荷 q 放在导体球壳内，则在导体球壳的内表面上分布着总电量为 −q 的感应电荷，而在导体球壳 的外表面上均匀分布着总电量为 q 感应电荷。这时，导体球壳的内表面上的感应电荷的像电 荷为 q aq d  = − ，并不等于它所代替的感应电荷的电荷量。 ② 若在内、外半径分别为 a 、b 的接地导体球壳外，距球心为 d 处有一点电荷 q

这时场域边界是导体球壳的外表面，镜像电荷应为q'=-bg/d：若点电荷q位于接地导体球壳内(d0)(4.1.2)f(k,x)=Ccosh(k,x)+ Dsinh(kx) (k0)f(k,y)=(4.1.3)Ccosh(k,v)+Dsinh(k)(k,<0)且k2+kz=0。(2）在圆柱面坐标系中，当p(r)与无关时，级数形式解为p(r,)=m +m, Inr+ER,(r)@,(0)(4.1.4)n=l

这时场域边界是导体球壳的外表面，镜像电荷应为 q bq d  = − ；若点电荷 q 位于接地导体 球壳内 ( ) d a  ，则场域边界是导体球壳的内表面，镜像电荷应为 q aq d  = − 。 ③ 若边界面不是单一的平面、球面或圆柱面，而是由它们复合成的边界面，如两个 相交的半无限大接地导体平面、在无限大的接地导体平面上凸起一个半球面等。对这种问题 仅有一个像电荷不能满足边界条件。为了满足边界条件，不仅需要找出原电荷的镜像电荷， 还需要找出镜像电荷的镜像，即多重镜像。 对于相交为  角的两接地导体平面，当且仅当  = n ( n = 1，2，.)时，才能用镜像 法求解，其像电荷的个数为 2 1 n− 。 ④ 利用镜像法不仅可以求解场分布，也可以求出原电荷与感应电荷之间的相互作用能 和原电荷受到的静电力。但应注意，点电荷与像电荷之间的相互作用能是 W q 互 =  2 ，而 不是 W q =  互 。这是因为感应电荷不是独立于原电荷存在的，它的电荷量随原电荷大小和 位置而改变，因而感应电荷所产生的电位也随原电荷改变。 基本内容概述 4.1 分离变量法 分离变量法是求解边值问题的基本方法，其原理是：将 ( )r 表示为 3 个一维函数的积， 对拉普拉斯方程进行变量分离，将其转化为 3 个常微分方程，求出各常微分方程的特解，然 后构成 ( )r 级数形式解，最后利用边界条件定解。 （1）在直角坐标系中，若 ( )r 与 z 无关，则级数形式解为 1 2 3 4 ( , ) ( )( ) ( ) ( ) x y  x y m m x m m y f k x f k y = + + + （4.1.1） 其中：     +  +  = cosh( ) sinh( ) ( 0) cos( ) sin( ) ( 0) ( ) 2 2 x x x x x x x C k x D k x k A k x B k x k f k x （4.1.2）     +  +  = cosh( ) sinh( ) ( 0) cos( ) sin( ) ( 0) ( ) 2 2 y y y y y y y C k y D k y k A k y B k y k f k y （4.1.3） 且 0 2 2 kx + ky = 。 （2）在圆柱面坐标系中，当 ( )r 与 z 无关时，级数形式解为 1 2 1 ( , ) ln ( ) ( ) n n n     r m m r R r  = = + + （4.1.4）

其中:R,(r)=A,r"+B,r-", @,(r)=C,cosnp+D,sinng（3）在球面坐标系中，当p(r)与无关时，级数形式解为p(r,0)=)Z[A,r" + B,-(n)]P,(cos 0)(4.1.5)1=0其中P(cosの)为n阶勒让德多项式。4.2镜像法1.镜像法的基本原理和理论依据镜像法是求解边值问题的一种间接方法，其基本原理为：用放置在所求场域之外的假想电荷（即像电荷）等效地替代导体表面（或介质分界面）上的感应电荷（或极化电荷）对场分布的影响，从而将求解实际的边值问题转换为求解无界空间的问题：镜像法解题的理论依据是唯一性定理。2.确定像电荷的两条原则①像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中：②像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。3.典型的像电荷分布①点（线）电荷与接地导体平面q(p)=-q(p,), h'=h(4.2.1)②点电荷与接地导体球面q'=-aq/d,d'=a?|d(4.2.2)③点电荷位于不接地导体球面外q'=-aq/d,d'=a?/d;q"=-q,d"=0(4.2.3)点电荷位于不接地导体球面内q'=-aqd, d'=a2/d1（有效区域为球面内）(4.2.4)q"=q,d"=0(4.2.5)（有效区域为球面外）③点（线）电荷与介质分界面q(p)--g(p), h'=h(4.2.6)（有效区域为介质1）61+62q(p)=--g(p), h'=h（有效区域为介质2）(4.2.7)8,+62③线电荷与接地导体圆柱面

其中： n n n n n R r A r B r − ( ) = + ， ( ) cos sin n n n    r C n D n = + 。 （3）在球面坐标系中，当 ( )r 与  无关时，级数形式解为 ( 1) 0 ( , ) [ ] (cos ) n n n n n n    r A r B r P  − + = = +  （4.1.5） 其中 (cos ) P n  为 n 阶勒让德多项式。 4. 2 镜像法 1．镜像法的基本原理和理论依据 镜像法是求解边值问题的一种间接方法，其基本原理为：用放置在所求场域之外的假想 电荷（即像电荷）等效地替代导体表面（或介质分界面）上的感应电荷（或极化电荷）对场 分布的影响，从而将求解实际的边值问题转换为求解无界空间的问题； 镜像法解题的理论依据是唯一性定理。 2．确定像电荷的两条原则 ① 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； ② 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。 3．典型的像电荷分布 ① 点 (线) 电荷与接地导体平面 q (l ) = −q(l ), h = h （4.2.1） ② 点电荷与接地导体球面 q aq d d a d 2  = − ,  = （4.2.2） ③ 点电荷位于不接地导体球面外 q aq d d a d 2  = − ,  = ； q  = −q  , d = 0 （4.2.3） ④ 点电荷位于不接地导体球面内 q aq d d a d 2  = − ,  = （有效区域为球面内） （4.2.4） q  = q, d = 0 （有效区域为球面外） （4.2.5） ⑤ 点(线)电荷与介质分界面 1 2 1 2 ( ) ( ), l l q q h h       −    = = + （有效区域为介质 1） （4.2.6） 1 2 1 2 ( ) ( ), l l q q h h       −    = − = + （有效区域为介质 2） （4.2.7） ⑥ 线电荷与接地导体圆柱面

P'=-Pr,d'=α?/d(4.2.8)4.3有限差分法有限差分法是求解边值问题的一种重要的数值方法，它适应于场域边界的几何形状较为复杂的二维或三维静电场边值问题。有限差分法的基本思想是，把求解场域用网格划分，将拉普拉斯方程或泊松方程转化为网格节点的电位的有限差分方程组，然后用选代法求解。若采用正方形网格划分，则二维拉普拉斯方程的差分格式为P=(+ ++)/4(4. 3. 1)

2 , l l     = − = d a d （4.2.8） 4.3 有限差分法 有限差分法是求解边值问题的一种重要的数值方法，它适应于场域边界的几何形状较为 复杂的二维或三维静电场边值问题。 有限差分法的基本思想是，把求解场域用网格划分，将拉普拉斯方程或泊松方程转化为 网格节点的电位的有限差分方程组，然后用迭代法求解。 若采用正方形网格划分，则二维拉普拉斯方程的差分格式为 0 1 2 3 4      = + + + ( ) 4 （4.3.1）