《电磁场》课程教学资源_习题解答_典型例题_7-正弦平面电磁波

例7.1频率为100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿+z方向传播，其电场E=e,E。已知该媒质的相对介电常数6,=4，相对磁导率U,=1，且当t=0、z=1/8m时，电场为振幅值10-V/m。（1）求E的瞬时表示式：（2）求H的瞬时表示式：分析由于在t=0、z=1/8m时，电场为振幅值，因此初相位不为零。写出电场表达式，并根据t=0、z=1/8m时，电场为振幅值，即可确定其初相位。解（1）设E的瞬时表示为E(z,t)=e,E, =e,10- cos(ot-kz+0)式中0=2元f=2元×108rad/s2元×188V4-4ke元3x18832Crad/m对于余弦函数，当相角为零时达到振幅值。因此，考虑条件t=0、z=1/8m时，电场达到幅值，可得到4元1元Φ=kz=386所以4元2+″）E(z,1)=e, ×10- cos(2元×10%t- 4)V/m36=60元n=28（），因此H的瞬时表示式为(2)10-4Fco(210-=+m)**H(z,t)=e2+″）A/m60元评注本题涉及均匀平面波的基本概念，关键点就是初相位不为零。例7.2两个均匀平面电磁波沿自由空间e：方向传播，当t=0时，两波的电场在原点都达到最大值1000V/m，方向为e，频率i=920kHz，J=930kHz（1）问经过多少时间后两波在原点再次同时达到最大值？（2）求出正z轴上点的位置，使该点合成电场E合=2000V/m7

例 7.1 频率为 100Mz 的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿+z 方向传播，其电场 E e = x x E 。 已知该媒质的相对介电常数 4 r  = ，相对磁导率 r = 1 ，且当 t=0、z=1/8m 时，电场为振 幅值 4 10 V/m − 。（1）求 E 的瞬时表示式；（2）求 H 的瞬时表示式； 分析 由于在 t=0、z=1/8m 时，电场为振幅值，因此初相位不为零。写出电场表达式， 并根据 t=0、z=1/8m 时，电场为振幅值，即可确定其初相位。 解 （1）设 E 的瞬时表示为 ( ) ( ) 4 , 10 cos x x x z t E t kz   − E e e = = − + 式中 8    = =  2 2 10 rad/s f 8 8 2 18 4 4 3 18 3 r r k c        = = = =  rad/m 对于余弦函数，当相角为零时达到振幅值。因此，考虑条件 t=0、z=1/8m 时，电场达到幅值， 可得到 4 1 3 8 6 kz    = =  = 所以 ( ) 4 8 4 , 10 cos(2 10 ) 3 6 x z t t z    − E e =   − + V/m （2） 60     = = （  ），因此 H 的瞬时表示式为 ( ) 4 10 4 8 , cos(2 10 ) 60 3 6 y z t t z      − H e = − + A/m 评注 本题涉及均匀平面波的基本概念，关键点就是初相位不为零。 例 7.2 两个均匀平面电磁波沿自由空间 z e 方向传播，当 t = 0 时，两波的电场在原点 都达到最大值 1000 V/m ，方向为 x e ，频率 1 f = 920kHz， 2 f = 930kHz （1）问经过多少时间后两波在原点再次同时达到最大值？ （2）求出正 z 轴上点的位置，使该点合成电场 E合 = 2000 V/m

分析由于频率不同，两波在传播过程中存在相位差。当其时间相位差为2元时，在原点再次同时达到最大值。解依照题意0,=2元f,=1.84元×10%rad/s0,=2元=1.86元×10%rad/sV=C=3×108m/s故E=1000cos(o,t-k=)V/mEz,=1000cos(o,t-k,=) V/m式中184元=×10rad/mk=3c186元=_×10-rad/m3c所以184El=1000c0s(1.84元×10%×10-z)V/m3186E2=1000c0s(1.86元×10%tx10-z)V/m3（1）要在原点再次达到最大值，必须cos(1.84元×10°)=cos(1.86元×10%)=1此时1.84元×10°t-2m=1.86元×10%-2n元由此得到t=(n-m)x10-s (n>m)（2）在t=0时，欲使E合=2000，必须同相相加，即184186E合=1000cos(-元×10-2）=2000元×10=）+1000c0s(33则

分析 由于频率不同，两波在传播过程中存在相位差。当其时间相位差为 2 时，在原 点再次同时达到最大值。 解 依照题意 6 1 1 6 2 2 8 2 1.84 10 rad/s 2 1.86 10 rad/s 3 10 m/s f f v c       = =  = =  = =  故 1 1 1 2 2 2 1000cos( ) V/m 1000cos( ) V/m x x E t k z E t k z   = − = − 式中 1 4 1 2 4 2 184 10 rad/m 3 186 10 rad/m 3 k c k c     − − = =  = =  所以 6 4 1 6 4 2 184 1000cos(1.84 10 10 ) V/m 3 186 1000cos(1.86 10 10 ) V/m 3 x x E t z E t z   − − =  −  =  −  （1）要在原点再次达到最大值，必须 cos(1.84 10 ) cos(1.86 10 ) 1 6 6   t =   t = 此时 6 6 1.84 10 2 1.86 10 2      − =  − t m t n 由此得到 4 t n m ( ) 10 s − = −  （ n m ） （2）在 t=0 时，欲使 E合 = 2000 ，必须同相相加，即 184 186 4 4 1000cos( 10 ) 1000cos( 10 ) 2000 3 3 E z z   − − 合 = −  + −  = 则

184186元×10-2)= cos(元×10-42)= 1cos(-33即184186元×10-z-2m元=元×10-4z-2n元33得z=30×10(m-n)取m-n=1,则z=30km评注两波相加时，若相位差为2元，则相干加强；若相位差为元，则相干减弱。例7.3在μ,=1、6,=4、=0的媒质中，有一均匀平面波，其电场强度E=e,Em sin(ot-k +")3若已知平面波的频率=150MHz，任意点的平均功率密度为0.265uW/m2。试求：（1）电磁波的波数、相速、波长、波阻抗：（2）t=0,z=0时的电场E(0,0等于多少？（3）经过t=0.1us后，电场E(0,0)值传到什么位置？分析由已知的平均功率密度可求得电场的振幅值，即可确定电场的表达式。解（1）波数1k=0/ug=2元×150×10°××2=2元rad/m3×108相速11=1.5×10%m/sV=Jeu2Eo波长2元=1 m元k波阻抗

10 ) 1 3 186 10 ) cos( 3 184 cos( 4 4 −  = −  = − −  z  z 即  z m  10 z 2n 3 186 10 2 3 184 4 4 −  − = −  − − − 得 30 10 ( ) 3 z =  m − n 取 m− n =1 ，则 z = 30km 评注 两波相加时，若相位差为 2 ，则相干加强；若相位差为  ，则相干减弱。 例 7.3 在 r =1、 r = 4 、 = 0 的媒质中，有一均匀平面波，其电场强度 sin( ) 3 x m E t kz  E e = − +  若已知平面波的频率 f =150MHz ，任意点的平均功率密度为 2 0.265 W/m  。试求： （1）电磁波的波数、相速、波长、波阻抗； （2） t = 0,z = 0 时的电场 E(0,0) 等于多少？ （3）经过 t = 0.1 s  后，电场 E(0,0) 值传到什么位置？ 分析 由已知的平均功率密度可求得电场的振幅值，即可确定电场的表达式。 解 （1）波数 6 8 1 2 150 10 2 2 rad/m 3 10 k = =     =      相速 8 0 0 1 1 1.5 10 m/s 2 v    = = =  波长 2 1 m k   = = 波阻抗

Lo4=60元O2V80S（2）均匀平面波的平均坡印廷矢量1SIEP=e.0.265x10-W/mSm=e.2VA得[Em|=10x10-3 V/m当1=0,2=0时[|=|Em|sin()=10×10-×0.866=8.66×10-3 V/m(3）t=0.1uIS后，电场|E(0,0）值传到z=vt=1.5×10°×0.1x10-=15m例7.4已知一无界的均匀导电媒质的=10°S/m、μ,=2、6,=1，分别求出电磁波频率为60Hz、2MHz、3GHz时的趋肤深度及振幅减小到1/100的传播距离。a分析本题为导电媒质中波的传播参数计算，首先由の8判别是否可视为良导体或弱导电媒质，然后利用相应公式计算。106a-a=1.80×10l6 0%2元fg2元×8.85x10-12f解a=1.80×1016>>1可见对于=60Hz、=2×10°Hz、=3x10°Hz，均有0cf故都可视为良导体。衰减常数α=元fug=~元×60×4元×10-7×2×10%=21.75Np/m故趋肤深度

= = =        60 2 1 0 0 （2）均匀平面波的平均坡印廷矢量 2 1 6 2 0.265 10 W/m 2 av z m z E   − S e e = =  得 3 E m 10 10 V/m − =  当 t = 0,z = 0 时 3 3 sin( ) 10 10 0.866 8.66 10 V/m 3 E E m  − − = =   =  （3） t = 0.1 s  后，电场 E(0,0) 值传到 8 6 z vt 1.5 10 0.1 10 15m − = =    = 例 7.4 已知一无界的均匀导电媒质的 6  =10 S/m 、 r = 2、 r =1 ，分别求出电磁 波频率为 60Hz、 2MHz 、3GHz 时的趋肤深度及振幅减小到 1/100 的传播距离。 分析 本题为导电媒质中波的传播参数计算，首先由   判别是否可视为良导体或弱导 电媒质，然后利用相应公式计算。 解 6 16 12 0 10 1 1.80 10 2 2 8.85 10 f f f       − = = =    可见对于 1 f = 60Hz 、 6 2 f = 2 10 Hz 、 9 3 f = 3 10 Hz ，均有 1 1 1.80 1016 =    f  ， 故都可视为良导体。 衰减常数 7 6      1 1f 60 4 10 2 10 21.75 Np/m − = =      = 故趋肤深度

= 4.6×10-2dma,1e-ai100时，传播距离为振幅衰减到In(1/100)=2.11×10-lm2_=-αi同理αz=元fzu=3.97×103Np/m1=2.52×10-4m8, =a2In(/100) =1.160×10-3m22 =α2αg=/元fsμ=1.538×105Np/m1=6.5x10-°m8, =3In(1/100)2=2.99×10-m23 =as评注电磁波的频率越高，趋肤深度越小。例7.5一线极化波的两个电场分量分别为E,=6cos(ot-kz-30°),E,=8cos(ot-kz-30)试将它分解为振幅相等、旋向相反的两个圆极化波。分析利用矢量的合成与分解原则，以及三角函数的积化和差公式，将每个电场分量分解为振幅相同的两部分。解取≥=0的平面上讨论，此时E,=6cos(ot-30°),E,=8cos(ot-30)由此可得合成电场的表示式

2 1 1 1  4.6 10 m  − = =  振幅衰减到 1 1 1 100 z e − = 时，传播距离为 1 1 1 ln(1 100) z 2.11 10 m  − = =  − 同理 3 2 2    = =  f 3.97 10 Np/m 4 2 2 1  2.52 10 m  − = =  3 2 2 ln(1 100) z 1.160 10 m  − = − =  5 3 3    = =  f 1.538 10 Np/m 6 3 3 1  6.5 10 m  − = =  5 3 3 ln(1 100) z 2.99 10 m  − = − =  评注 电磁波的频率越高，趋肤深度越小。 例 7.5 一线极化波的两个电场分量分别为 6cos( 30 )  Ex = t − kz − ， 8cos( 30 )  Ey = t − kz − 试将它分解为振幅相等、旋向相反的两个圆极化波。 分析 利用矢量的合成与分解原则，以及三角函数的积化和差公式，将每个电场分量分 解为振幅相同的两部分。 解 取 z = 0 的平面上讨论，此时 6cos( 30 ) E t x = −  ， 8cos( 30 ) E t y = −  由此可得合成电场的表示式

E=E+E,=JEm+Em)cos(ot-30°)=10cos(ot-30)合成电场与X轴间的夹角为E,4=53.1° = arctan(-)=arctan(Ex3故E,=6cos(ot-30°)=10cos53.1°cos(ot-30)= 5cos(ot+23.1)+5cos(ot-83.1)= Eix + E2xE,=8cos(ot-30°)=10sin53.1°cos(ot-30)=5sin(ot+23.1°)-5sin(ot-83.1)= El, + E2y可见，它们可分别组合成两个波E,=e,Ex+e,E,=e,5cos(ot+23.1°)+e,5sin(ot+23.1°)由于波是沿十=分析传播，故这是一个右旋圆极化波。E,=e,E2x+e,E2,=e,5cos(ot-83.1)-e,5sin(ot-83.1)这是一个左旋圆极化波。元评注一个圆极化波可以分解为两个相互垂直且相位差为2的线极化波，此题表明一个线极化波也可以分解为两个分解为振幅相等、旋向相反的圆极化波。例7.6在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为E=1/20 +,1(20x-)V/m求:（1）平面波的传播方向、频率：（2）波的极化方式；

2 2 2 2 2 ( )cos ( 30 ) E E E E E t = + = + − x y xm ym  = − 10cos( 30 ) t 合成电场 E 与 x 轴间的夹角为 4 arctan( ) arc tan( ) 53.1 3 y x E E  = = = 故 6cos( 30 ) 10cos 53.1 cos( 30 ) E t t x = − = −   1 2 5cos( 23.1 ) 5cos( 83.1 ) x x t t E E = + + −   = + 8cos( 30 ) 10sin 53.1 cos( 30 ) E t t y = − = −   1 2 5sin( 23.1 ) 5sin( 83.1 ) y y t t E E = + − −   = + 可见，它们可分别组合成两个波 1 1 1 5cos( 23.1 ) 5sin( 23.1 ) E e e e e = + = + + + x x y y x y E E t t   由于波是沿 +z 分析传播，故这是一个右旋圆极化波。 2 2 2 5cos( 83.1 ) 5sin( 83.1 ) E e e e e = + = − − − x x y y x y E E t t   这是一个左旋圆极化波。 评注 一个圆极化波可以分解为两个相互垂直且相位差为 2  的线极化波，此题表明一个 线极化波也可以分解为两个分解为振幅相等、旋向相反的圆极化波。 例 7.6 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为 (20 ) 4 20 4 2 10 10 V/m j z j z x y e e    − − − − − E e e = + 求： （1）平面波的传播方向、频率； （2）波的极化方式；

（3）磁场强度H；（4）流过沿传播方向单位面积的平均功率。分析本题为自由空间中的沿坐标轴方向传播的均匀平面波，直接利用相关的公式即可求解。解（1）传播方向为e：由题意知=20元=/A0s，故20元_rad/s0JHoco100=3×10°Hz=3GHzf=2元~00（2）原电场可表示为E=(e, +e,J)10-e-120x:是左旋圆极化波。H=lexEn（3）由，得10~4H=(e,-je,)e-j20元*=(-e,j+e,)2.65×10-e-/20x=120元Sa=-Re[ExH]22(3)=Re[(e,-e,j)10-e-j20x=][(exj +e,)2.65×10-7ej20=])2=e,2.65x10-" wW/m2Pa=[,S.me,dS=2.65×10-1W/m例7.7空气中的一均匀平面波的波长为12cm，当该波进入某无损耗煤质中传播时，其波长减少为8cm，且已知在媒质中的E和H的振幅分别为50V/m和0.1A/m。求该平面波的频率、媒质的相对磁导率"和相对介电常数

（3）磁场强度 H ； （4）流过沿传播方向单位面积的平均功率。 分析 本题为自由空间中的沿坐标轴方向传播的均匀平面波，直接利用相关的公式即可 求解。 解（1）传播方向为 z e 由题意知 20 0 0 k =  =    ，故 0 0 20 rad/s     = 9 0 0 10 3 10 Hz 3GHz 2 f     = = =  = （2）原电场可表示为 4 20 ( )10 j z x y j e − −  E e e = + 是左旋圆极化波。 （3）由 0 1 z  H e E =  ，得 4 10 20 ( ) 120 j z y x j e   − − H e e = − 7 20 ( )2.65 10 j z x y j e − −  = − +  e e （3） 1 * Re[ ] 2 S E H av =  1 4 20 7 20 Re{[( )10 ] [( )2.65 10 ]} 2 j z j z x y x y j e j e − − −   = −  +  e e e e 11 2.65 10 z − =  e W/m2 11 d 2.65 10 av av z S P S − = =   S e W/m2 例 7.7 空气中的一均匀平面波的波长为 12cm ，当该波进入某无损耗煤质中传播时， 其波长减少为 8cm ，且已知在媒质中的 E 和 H 的振幅分别为 50V/m 和 0.1A/m 。求该平 面波的频率、媒质的相对磁导率 r 和相对介电常数 r 

分析本题涉及均匀平面波的参数计算。与μ和有关的参数为波长（或相速）、媒质的本征阻抗。所以，由这两个关系式即可以求出和6。解电磁波的频率为f=%=3x10825×10°Hz=212×10-2在无损耗媒质中的波长为元=二=8x10-12m故波速为1=/f=8×10-12×25×10%=2×10m/sV=Vus而无损耗媒质的本征阻抗为EM_5502=500Qn=H-Vs0.1联解以下两式1M=2×108=500VeuNe得μ, =1.99,6, =1.13评注电磁波在不同的媒质中传播时，其频率不变，而波长、相速、波数以及波阻抗（或媒质的本征阻抗）与媒质参数有关。例7.8已知自由空间中均匀平面波的电场为E(r) =(e, +e,2+ je, V5)e-j(2+by+c)V/m试求波的传播方向、波长、极化状态以及磁场。分析这是一个沿任意方向传播的均匀平面波，首先利用均匀平面波的电场与传播方向垂直确定波失量k，然后在利用相关公式求其余的量

分析 本题涉及均匀平面波的参数计算。与 r 和 r  有关的参数为波长（或相速）、媒 质的本征阻抗。所以，由这两个关系式即可以求出 r 和 r  。 解 电磁波的频率为 8 0 8 2 0 3 10 25 10 Hz 12 10 v f  −  = = =   在无损耗媒质中的波长为 12 8 10 m v f  − = =  故波速为 1 12 8 8 v f  8 10 25 10 2 10 m/s  − = = =    =  而无损耗媒质的本征阻抗为 = = = = 500 0.1 50    H E 联解以下两式 1 8 2 10  =  ， 500   = 得 r =1.99, r =1.13 评注 电磁波在不同的媒质中传播时，其频率不变，而波长、相速、波数以及波阻抗（或 媒质的本征阻抗）与媒质参数有关。 例 7.8 已知自由空间中均匀平面波的电场为 (2 ) ( ) ( 2 5) j x by cz x y z j e− + + E r e e e = + + V/m 试求波的传播方向、波长、极化状态以及磁场。 分析 这是一个沿任意方向传播的均匀平面波，首先利用均匀平面波的电场与传播方向 垂直确定波矢量 k ，然后在利用相关公式求其余的量

解将题给的E(r)与E(r)=Ee-*"比较，得E=e,+e.2+je.5,k.r=2x+by+cz故波矢量k=e,2+e,b+e.c因均匀平面波的电场与传播方向垂直，故k·E。=0，即k.E=(e,2+e,b+e.c)(e +e,2+je.V5)=2+2b+jV5c=0则b=-1,c=0因此，波矢量k=e,2-e,，则波传播方向的单位矢量为k_1=(e2-e,)en:"k5波长为=2.81k5m另外，电场的复振幅可写为E=(e, +e,2)+ je, V5 = Eon + jEo2则[EoR| =|E0|= /5可见，该均匀平面波是左旋圆极化波。与E(r)相应的磁场为1H(r)=-e,xE(r)no1120 (e,2-e,)x(e +e,2+ j, V5)e-~2-)1120(-jeje,2+5)e-(2-)

解 将题给的 E r( ) 与 0 ( ) j e −  = k r E r E 比较，得 0 2 5 x y z E e e e = + + j ， k r = + + 2x by cz 故波矢量 2 x y z k e e e = + +b c 因均匀平面波的电场与传播方向垂直，故 0 k E = 0 ，即 0 ( 2 ) ( 2 5) x y z x y z k E e e e e e e = + + + + b c j = + + = 2 2 5 0 b j c 则 b = −1, c = 0 因此，波矢量 2 = − x y k e e ，则波传播方向的单位矢量为 1 ( 2 ) 5 n x y k = = − k e e e 波长为 2 2 2.81 k 5    = = = m 另外，电场的复振幅可写为 0 01 02 ( 2) 5 x y z E e e e E E = + + = + j j 则 0 0 5 E E R I = = 可见，该均匀平面波是左旋圆极化波。 与 E(r) 相应的磁场为 0 (2 ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( 2 ) ( 2 5) 120 5 n j x y x y x y z j e   − − =  = −  + + H r e E r e e e e e 1 (2 ) ( 2 5) 120 j x y x y z j j e  − − = − − + e e e

评注对于沿任意方向传播的均匀平面波，关键点在于确定波失量，同时还应注意条件k·E。=0和k·H。=0例7.9一圆极化波垂直投射于一介质板上，入射电场为E=Em(e,+je,)e-1i=，求反射波与透射波的电场，它们的极化又如何？分析本题涉及均匀平面波在理想介质分界面上的垂直入射，直接利用相关公式求解。解：入射电场E* = Ex(e, + je,)e-ip= =e,Eme-P= +e,Eme-)则E=Em=pE.-"-" E.n2 +nEtm =Exm=TEx= 2,Emn2 +n故反射波的电场为E"=e,E +e,E, =(e + je,)"s-" Emeip:n2 + n则透射波的电场为2n2EmEt =(e, + je,)n+n"e-ip:入射波与透射波均为沿+z轴方向传播的左旋圆极化波，而反射波沿一z轴方向传播，故为右旋圆极化波。评注圆极化波垂直入射到介质分界面时，由于反射波的传播方向与入射波的传播方向相反，反射波的旋向发生改变，称为旋向反转。例7.10均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质（参数为8、Ho）平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，介质平面上为驻波电场的最小值点，求介质的介电常数。分析根据已知的驻波比和介质平面上为驻波电场的最小值点，可以确定反射系数的

评注 对于沿任意方向传播的均匀平面波，关键点在于确定波矢量，同时还应注意条件 0 k E = 0 和 0 k H = 0。 例 7.9 一圆极化波垂直投射于一介质板上，入射电场为 ( ) j z E j e m x y −  E e e = + ，求反 射波与透射波的电场，它们的极化又如何？ 分析 本题涉及均匀平面波在理想介质分界面上的垂直入射，直接利用相关公式求解。 解：入射电场 ( ) 2 ( ) j z j z j z E j e E e E e m x y x m y m     − − + − − E e e e e = + = + 则 2 1 2 1 E E E E xm ym m m      − − − = = = + 2 2 2 2 1 2 E E E E xm ym m m     + + = = = + 故反射波的电场为 2 1 2 1 ( ) j z x x y y x y m E E j E e      − − − − = + = + + E e e e e 则透射波的电场为 2 2 2 1 2 ( ) x y m j E    + = + + E e e 2 j z e −  入射波与透射波均为沿 +z 轴方向传播的左旋圆极化波，而反射波沿 −z 轴方向传播， 故为右旋圆极化波。 评注 圆极化波垂直入射到介质分界面时，由于反射波的传播方向与入射波的传播方向 相反， 反射波的旋向发生改变，称为旋向反转。 例 7.10 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质（参数为  、 0 ）平面时，在自由 空间形成驻波。设驻波比为 2.7，介质平面上为驻波电场的最小值点，求介质的介电常数。 分析 根据已知的驻波比和介质平面上为驻波电场的最小值点，可以确定反射系数的