《电磁场》课程教学资源_教学教案_第五章 恒定磁场分析

第五章恒定磁场分析本章内容可以按电磁场对应导出，结构与第三章一一对应S5.1恒定磁场分析的基本量恒定磁场源J(电场为标量p)磁通量Φ场变量1ddB（磁感应强度）磁通密度ds场变量2：磁场密度H(A/m)一表示磁场对电流或永久磁铁作用能力无界空间安培力（实验）→电流元ldl产生磁场对电流元I,dl,的作用力：1 (1,dl,×R2dFi2=(12de2)x()x...5.1.1Ri24元其中=,为磁介质的磁导率。同一平面调节两个实验电流元方位互相平行dFf,=(dFia)=ull,dl,dd4元R,2(dFz)nmx =1IdexRI,de,定义: H, =即单位电流元受到最大磁力除以磁导率uH=4元Rμl,dl,4元R2idexR1H任意闭合回路产生的磁场强度：R34元从而安培力表示式可改写为：d..= IdexB= IdxμH.....5.1.5基本关系B()=μH D=6,E真空中的本构关系

第五章 恒定磁场分析 本章内容可以按电磁场对应导出,结构与第三章一一对应 §5.1 恒定磁场分析的基本量 恒定磁场源 J (电场为标量 ρ) 场变量 1 磁通量 Ф 磁通密度 场变量 2:磁场密度 H(A/m)—表示磁场对电流或永久磁铁作用能力 ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 12 12 2 2 0 3 12 0 1 5.1.1 4 r r I d I d I d R dF I d R       →    =       = 无界空间安培力（实验） 电流元 产生磁场对电流元 的作用力： 其中 ，为磁介质的磁导率。 调节两个实验电流元方位 同一平面 互相平行 ( ) ( 12 )max 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 12 m 12 2 a 2 x 3 2 1 4 1 4 4 dF I d H I d I I d d d dF Id H R R R R F      =   = = = = 定义： 即单位电流元受到最大磁力除以磁导率 任意闭合回路产生的磁场强度： 3 1 4 c I R H R d   =  从而安培力表示式可改写为： ( ) 0 0 5.1.5 m dF Id B Id B r H E H D    =  =  基本关系 =  = 真空中的本构关系

s5.2真空中磁场的基本eq任意闭合面通量：@=f B.ds=Φgldex ds_连键可双$4oldi.sexdsR24元R24元dHoldixnds4元RdHoldi1VxV-dtVx.Adr=ixAds4元R=0..Φ BdS=0..5.2.1即V.Bdt=0→任意..V-B=0...5.2.2磁通处处连续—--磁感应线总是闭合曲线，无孤立磁荷/磁单极。Note：曾经（80°s）有报导在宇宙射线中发现过但未能证实。磁场的环流：dexde.efHde-2.5.3R?4元cc如图：分析沿任意c的环流特性p为C上的一个场点沿c起d→dQp-→C'=Q这与P不动，沿回路平程dl形成的dQ相同-(dexde)面积改变ds=Φ-(dixdi即立体角：-dQ=dR-(dexde)p点沿C走—周-Q=[dQ=.5.2.4R?对比2.5.3/4有：fo不套连ISHdl=A214元套连·4元=114元

§5.2 真空中磁场的基本 eq 任意闭合面通量： 0 0 2 2 0 0 4 4 1 4 1 4 5.2.1 5.2 0 0 . 0 .2 r r s s c c s s s c Ad n AdS c Id e e dS Id B dS dS R R Id ndS R Id B Bd B d dS R                →  =     =  = ⎯⎯⎯⎯→    =  −      ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→     =   =    =             连续可积 任意 即 磁通处处连续-磁感应线总是闭合曲线，无孤立磁荷/磁单极。 Note: 曾经(80's) 有报导在宇宙射线中发现过但未能证实。 磁场的环流： c d c p C d p C ⎯⎯⎯⎯→  → =   沿 起 如图：分析沿任意 的环流特性 为 上的一个场点 这与 p 不动，沿回路平移-dl 形成的 dΩ相同 ( ) ( ) ( ) 2 2 : 5.2.4 2.5.3/ 4 0 4 4 4 r c c r c c d d dS d d d e R d d p C d e R I Hd I   I   −   = −  −  =  −   −  =  =   =   =         面积改变 即立体角 点沿 走一周 对比 有： 不套连 套连

起点A→终点B时△Q=2元-（-2元）=4元显然Hd=Z5.2.7.安培环路定理A由C的任意性→S任意Hdi-V×Has=I=JJasB:VxH=J5.2.8安培环路定理的微分形式磁场的基本方程fD.s-qBas=0Hde:fE.di=01VxH=JD=EVoD=pVOB=OVxE=0H =B/μ天量位方程对安培定理位分形式两边求微分运算：有：V-VVxH-H)-石V?H--VXJ磁场矢量方程->理论上可用来解H，但多用间接法。例5.2.1半径为a的无限长直导线通电流I求H解：如图的导体园柱，显然场与,z无关..Hdl-H,rdp=H,r-2元.@Hdl-1注意：环路定理任何时候都成立如ΦDdS=q但能否有效运用在于你是否可选出(等H和等D)的面，否则无法从积分中提出

2 2 4 ( ) 5.2.7 5.2.8 c c s s A B Hd I C S Hd HdS I JdS H J →  = − − =    = →  =   = =   =       起点 终点 时 显然 安培环路定理 由 的任意性 任意 安培环路定理的微分形式 磁场的基本方程 ×H=J •D= •B=0 ×E=0 H =B/ D=E 矢量位方程 对安培定理位分形式两边求微分运算： 磁场矢量方程->理论上可用来解 H，但多用间接法。 例 5.2.1 半径为 a 的无限长直导线通电流 I 求 H 解： 如图的导体园柱，显然场与 ,z 无关 2 : ( ) , c c c Hd I Hd H rd H r DdS q H D  =  = =      =    注意 环路定理任何时候都成立如  但能否有效运用在于你是否可选出 等 和等 的面 否则无法从积分中提出. A B

G:2元rH=ISTaaI(r≥a)1JL2元a.H.2.5.10112元例5.2.2如图求证相交部分场等效于等值反向圆柱的送加aCO8中心没电流图5。2。5通有方向相反电流的两相交园柱裁面自身反向电流1=电流密度：由上题：元a?A,=E, Ha=e.-号2JJH,=0-Ha=-2an2--2.2JH=H,+H,=e.x(i-).20.x=n例5.2.3环形表面电流管内磁场，表面电流密度J=éK,求H

例 5.2.2 如图求证相交部分场等效于等值反向圆柱的迭加    中心没电流 自身反向电流 ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 z z z z I J a J H e H e r J J H e H e r e r J J H H H e r r e c       = =  =   =  = − = −   = + =  −  =  电流密度： 由上题： 例 5.2.3 环形表面电流管内磁场，表面电流密度 , s J e K H =   求

工业管式电炉模型：000000000环形象面电源孩构可完全等放成一报空气解：根据对称性配象-一→片仅有艺分量可设H(r)=e,H. (r)且图5.2.6/7环形表面电流管内的磁场V×H=J内=03H.(r)×e,-0: V×[,H. (r)] -ay：dH,()-0 = H,()- C(常数)dzfHdl=J(e,H,Yedz)+ [Hal= J,Azt(acd) abbo+de. H,Az= J,4Z= K..H,=K磁感应强度B=MH-e，MK磁通量Φ=B,m=μgraK

S5.3矢量磁位一简化计算引入推导方法与标量电位完全相同[%~对应(V-(V×A+C)=0)D-→H:V.B=0关系E→B..B-VxA为保证唯一性，令VA=0（库仑规范）BVXA由V×H=J(安培环路定理）有：V×=VxHoo..V×V×A=μJ-V(V.A)-VA失量泊松eq:VA=-J无源区拉普拉斯eq:VA=0直角坐标系下e都为常失量即(eA)=(V)A+(VA)e=(A)(VA,=-μo],↓A, =-oJ,[V?A, = -μoJ.他们的表达式与电位泊松eg相同，解形式也相同A=格Adt+c,i=x,y,z4元JR再合并成失量有：A=edt+c4元R

§5.3 矢量磁位-简化计算引入 推导方法与标量电位完全相同   ( ) 0 1 0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 ( ) 0 ( 0 , 0 , x y z B A C D H E B B A B A H J J A J A A eq A J eq A e e e e A        →    =   +  →    →   =       =  =  =      = =    −   = −  =    = 对应 关系 为保证唯一性， 由 安培环路定理）有： 矢量泊松 ： 无 令 源区拉普拉斯 ： 直角坐标系下 都为常矢量即 （库仑规范） ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) x x x x x x x x x x y y z z A e A A e A e A J A J A J    =  +  =   = −   = −   = − 他们的表达式与电位泊松 eq 相同，解形式也相同

类似有：dsuoμoJ0dA面元J,dsR4元4元RIde线元1dlpldeudAA4元RR4元(37（优点）注意dA与源的方向平行aB即JdAdBdB故引入A可简化计算另一方面，根据A的特点，可引入标量函数，将A的eq转化成标量eq。因为A与源方向同，如取坐标系同源方向一致，则得一维标量。得到A求B，求偏微分即可。例5.3.1求无限长直线的A和B1-4元不1/2r.o.z)不z1/2d-47(2-2)3-V图5。3。1直线电流产生的磁场解：先求有限长的A：dA=e6!4元

类似有： 注意 dA 与源的方向平行 故引入 A 可简化计算 另一方面，根据 A 的特点，可引入标量函数，将 A 的 eq 转化成标量 eq。 因为 A 与源方向 同，如取坐标系同源方向一致，则得一维标量。 得到 A 求 B，求偏微分即可。 例 5.3.1 求无限长直线的 A 和 B 解：先求有限长的 A：

dz'A=e.Hol4元lMonA=e.42元积分再令10有：m：A+常失B不变。C=克2元1lnL.:.A2元FaA,ifo1=B=VxA=-ear2r与直接积分法(或安培环路定理)结果相同例5.3.2双传输线导线的A及BHolToroA=e.In12元(r,0.0)1121o2feln2元r图5·3·2双传输导线的器场（久量拉）g2 +r +2ar cos (5.3.11)1o1=e.In4元a?+r?-2ar cosg

积分再令 l  有： 与直接积分法(或安培环路定理)结果相同 例 5.3.2 双传输线导线的 A 及 B

e, /re.e,/rlaaaB=VxAardo&00AugIa(α?singaA.B.agnrr2Yμ,Ia (r2cosgOA.B.arnn'rB,=0利周放分方接法来解522的报服情况：设圆柱腔有表面电流Js=Kcosopez根据A的特点，此时A仅有Azez分量: V'A(r0)-19(r24)+184.rarlara由分离变量法有通式[r" (ku sin (np)+Eu cos(np))A.(r,p)=2[+r-" (c sin (ng)+d, cos(ng))-1对r>的域[→有界：只能取正项l：方向边界αcos:n=111.即A (r,)=D cos对r<a的区域,r→8有界只能取正项2... A2(r,0)= rE, cos (0

利利用用微微分分方方程程法法求求解解55. .22. .22的的极极限限情情况况： 设圆柱腔有表面电流 Js=Kcosez 根据 A 的特点，此时 A 仅有 Azez 分量

则:,/r可airaaaB=VxA=arazae00AD sing]+,([D cos gB =eB, =E sing(-)-E, sing=e,(E确定DE，可沿表面做小回路abcd: da,bc-0: JHdl = Je, Hdl 0而JeHpad+ JeH,(-adg)-二[(- cos g)adp-cosadguoL=-Kcosp(adp)ABI+D-HoKa再由磁通连续定理：fB.ds=B,AS-BAS=0.. B1 = By21即Esin=Dsinga

再由磁通连续定理：