《电磁场》课程教学资源_习题解答_典型例题_3-静电场分析

例3.1长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为e。。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位：（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E=-V核对。分析直接利用电位的积分公式计算电位β；计算电场时，线电荷元prod-的电场有e和e两个分量，由于电荷关于平分面对称分布，可在对称位置上再取一个线电荷元，两个对称线电荷元的电场只有e分量，而e.分量相互抵消，从而将矢量函数的积分化为标量函数的积分，简化了计算。解（1）建立如例3.1图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为Piodzp(r,0)=-1/2 4元6 /r2 + 2/2= P0 In +(L/2) + L/2Pro-1n(2'+ VrP +224元8-L/24元80Jr2 +(L/2)2 - L/2/r2 +(L/2)* + L/2Pio2元8r（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元Prode'Prorde'dE =e,dE, =e,cose:Prod-在点P的电场为2元80(2 + 2"2)3/22元82+22故长为L的线电荷在点P的电场为Piord-E=[dE2元80(r2 +2'2)3/2LZL/2OI0Pio4元80rJ2+(L/2)2元801Vr2+z2由E=-V求E，有In L/2 + /r2 +(L/2)PiovInE=-V0=--2元80rP% [In(L/2+ F2+(L/2))-In-e2元。d

例 3.1 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l 0 。（1）计算线电荷平分 面上任意点的电位  ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E ，并用 E = − 核对。 分析 直接利用电位的积分公式计算电位  ；计算电场时，线电荷元 0 dl  z  的电场有 z e 和 r e 两个分量，由于电荷关于平分面对称分布，可在对称位置上再取一个线电荷元，两个 对称线电荷元的电场只有 r e 分量，而 z e 分量相互抵消，从而将矢量函数的积分化为标量函 数的积分，简化了计算。 解 （1）建立如例 3.1 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P 的电位为 2 0 2 2 2 0 d ( ,0) 4 L l L z r r z    −  = +   2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 ( 2) 2 ln( ) ln 4 4 ( 2) 2 L l l L r L L z r z r L L     − + + = + + =   + − 2 2 0 0 ( 2) 2 ln 2 l r L L r   + + = （2）根据对称性，可 得两个对称线电荷元 z l d   0 在点 P 的电场为 故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为 2 0 2 2 3 2 0 0 d d 2 ( ) L l r r z r z    = = +    E E e 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 4 ( 2) L l l r r z L r r r z r L      = = +  + e e 由 E = − 求 E ，有 2 2 0 0 2 ( 2) ln 2 l L r L r      + + = − = −        E ( ) 0 2 2 0 d ln 2 ( 2) ln 2 d l r L r L r r     = − + + −     e 0 0 2 2 3 2 2 2 0 0 d d d d cos 2 2 ( ) l l r r r r z r z E r z r z        = = = +  +  E e e e

LDioe4元8rJr2+(L/2)2元60 [L/2 + rP +(L/2)1/r2 +(L/2)2评注由于对称性，线电荷平分面上的电场E只有e分量，因此根据线电荷平分面上的电位β，由E=-Vβ求出线电荷平分面上的电场E。而在其它平面上电场E不仅有e,分量，而且有e.分量，由此仅根据该平面上的电位β，由E=-Vβ不能求出电场E，只能得到E的e,分量。例3.2在无限大真空中，已知电位(n)=一e，求对应的电场强度及电荷分布。4元60分析r=0处是o(r)的奇异点，在该点应有一个点电荷。在r±0处，可由P=-SV求得电荷体密度，而位于r=0处的点电荷，则可应用高斯定律求得。解（1）电场强度为dqe-r1aq1E=-V@=-三d4元4元801（2）在r±0处，电荷体密度为1 d(rE)=VE=0=qld(11er/)er/21= Ir4元r2drrar4元个为了确定r=0处的点电荷，作一个半径为r的球面S。由高斯定律可得到球面s内的总电荷Q为Q=8od,EdS = 4元8r"E=q(1+)e-/球面S内的总体电荷Q为'= J, pdt =-°-e/dr= q(1+)el-/l -q—104元2故r=0处的点电荷g。为 =Q-Q=q评注在给定E或β=分布，可应用p=sV.E或p=-sV求电荷分布。但应注意：在E或β的奇异点处可能有点电荷，而在E的突变面上，可能有面分布的自由电荷

0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 4 [ 2 ( 2) ] ( 2) ( 2) l l r r r L L r L r L r L r r         = − − =     + + + +   e e 评注 由于对称性，线电荷平分面上的电场 E 只有 r e 分量，因此根据线电荷平分面上 的电位  ，由 E = − 求出线电荷平分面上的电场 E 。而在其它平面上电场 E 不仅有 r e 分量，而且有 z e 分量，由此仅根据该平面上的电位  ，由 E = − 不能求出电场 E ，只 能得到 E 的 r e 分量。 例 3. 2 在无限大真空中，已知电位 0 ( ) 4 q r r e r    − = ，求对应的电场强度及电荷分布。 分析 r = 0 处是 ( )r 的奇异点，在该点应有一个点电荷。在 r  0 处，可由 2    = − 0 求得电荷体密度，而位于 r = 0 处的点电荷，则可应用高斯定律求得。 解 （1）电场强度为 2 0 0 d 1 1 ( ) ( ) d 4 4 r r r r q q e e r r r r       − − E e e = − = − = + （2） 在 r  0 处，电荷体密度为 2 0 0 2 1 d ( ) d r E r r    =  = E 2 2 2 2 1 d 1 1 [ ( ) ] 4 d 4 q q r r r e e r r r r r      − − = + = − 为了确定 r = 0 处的点电荷，作一个半径为 r 的球面 S 。由高斯定律可得到球面 S 内的 总电荷 Q 为 2 0 0 d 4 (1 ) r S r Q r E q e     − = = = +  E S 球面 S 内的总体电荷 Q 为 2 0 d d (1 ) 4 r q r r r Q e r q e q r        − −  = = − = + −   故 r = 0 处的点电荷 0 q 为 q = Q −Q = q 0 评注 在给定 E 或  = 分布，可应用   =  E 或 2    = −  求电荷分布。但应注意： 在 E 或  的奇异点处可能有点电荷，而在 E 的突变面上，可能有面分布的自由电荷

例3.3在半径分别为a和b的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度P=P.C/m3。已知外球壳接地，内球壳的电位为U。，如例3.3图所示。求两导体球壳间的电场和电位分布。分析在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由两导体球壳间的电位差确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。解在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。设内球壳的外表面上的感应电荷面密度。根据高斯定律，有4mepr" =4ad'o+(n-α)Pp3(a<r<b)U所以aa?Po(aE(r)=r360GorA例3.3图(a<r<b)aa2aPo(r-E(r)dr)jdr60r23605- a(b-a) + Po,b2 -α?a(b-a)3802bs.b得到cbU.Po(b2 + ab-2a)9=一a(b-a)6a故两导体球壳间的电位分布为aoa+ Po (r-[E(r)dr=)]drp(r)=r360Gorga (b-r)+ Po,b -r_ a(b-n)2brbr360评注此题的要点在于导体的表面上有未知的感应电荷分布，用高斯定律求电场时，必须注意考虑感应电荷产生的电场。例3.4两块无限大接地导体平面分别置于x=0和x=a处，其间在x=x处有一面

例 3.3 在半径分别为 a 和 b 的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度 3   = 0 C m 。已知外球壳接地，内球壳的电位为 U0 ，如例 3.3 图所示。求两导体球壳间 的电场和电位分布。 分析 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称 性，可用高斯定律求解。先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由 两导体球壳间的电位差确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。 解 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称 性，可用高斯定律求解。设内球壳的外表面上的感应 电荷面密度  。根据高斯定律，有 2 2 3 3 0 0 4 4 4 ( ) 3 r E a r a      = + − (a  r  b) 所以 2 3 0 2 2 0 0 ( ) ( ) 3 a a E r r r r     = + − (a  r  b) 2 3 0 0 2 2 0 0 ( )d [ ( )]d 3 b b a a a a U E r r r r r r     = = + −   2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) [ ] 3 2 a b a b a a b a b b     − − − = + − 得到 0 0 0 2 2 ( 2 ) ( ) 6 bU b ab a a b a a    = − + − − 故两导体球壳间的电位分布为 2 3 0 2 2 0 0 ( ) ( )d [ ( )]d 3 b b r r a a r E r r r r r r      = = + −   2 2 2 3 0 0 0 ( ) ( ) [ ] 3 2 a b r b r a b r br br     − − − = + − 评注 此题的要点在于导体的表面上有未知的感应电荷分布，用高斯定律求电场时，必 须注意考虑感应电荷产生的电场。 例 3.4 两块无限大接地导体平面分别置于 x = 0 和 x = a 处，其间在 0 x = x 处有一面 U0 b a 0 例 3.3 图

密度为。。C/m2的均匀电荷分布，如例3.4图所示。求两导体板之间的电场和电位。分析在两块无限大接地导体平面之间，除x=x。处有均匀面电荷分布外，其余地方均无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程。再根据导体平面上以及x=x。处的边界条件，即可求出电位分布。解在两块无限大接地导体平面之间，除x=x。。处有均匀面电荷分布外，其余地方均无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程d'o(α) =0(0<x<x)dx?d'g,(x)=0 (x<x<a)dx?由此可解得9(x)=Cx+ D(0<x<x)P2(x)=C2x+ D,(x<x<ap(x)(x)p(x)和g(x)满足的边界条件为09(0) = 0,P(a)= 0Xo(x)=(x),op2(x)_g(x)例3.4图00axaxx=X60于是有[D, = 0C,a+D, =0Cixo +D, =C2xo +D2C,-C, =-060由此得到C, =-0(% -a) ,D,=0SoaC, =-Coo'D, =CoaSoa60所以0(a)=0(α-0) x(0≤x≤x)Goa

密度为 2  0 C m 的均匀电荷分布，如例 3.4 图所示。求两导体板之间的电场和电位。 分析 在两块无限大接地导体平面之间，除 0 x = x 处有均匀面电荷分布外，其余地方均 无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程。再根据导体平面上以及 0 x = x 处的边界条件， 即可求出电位分布。 解 在两块无限大接地导体平面之间，除 0 x = x 处有均匀面电荷分布外，其余地方均 无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程 2 1 2 0 d ( ) 0 (0 ) d x x x x  =   2 2 2 0 d ( ) 0 ( ) d x x x a x  =   由此可解得 1 1 1 0  ( ) (0 ) x C x D x x = +   2 2 2 0  ( ) ( ) x C x D x x a = +   1  ( ) x 和 2  ( ) x 满足的边界条件为 1  (0) 0, = 2  ( ) 0 a = 1 0 2 0   ( ) ( ) x x = ， 2 1 0 0 0 ( ) ( ) [ ] x x x x x x       − = −   = 于是有 1 2 2 1 0 1 2 0 2 0 2 1 0 0 0 D C a D C x D C x D C C    =  + =    + = +   − = −  由此得到 0 0 1 0 ( ) x a C a   − = − ， D1 = 0 0 0 2 0 x C a   = − ， 0 0 2 0 x D   = 所以 0 0 1 0 ( ) ( ) a x x x a    − = 0 (0 )  x x x 0 x y  0 a o 1  ( ) x 2  ( ) x 例 3.4 图

(x≤x≤a)P(x) = 00 (aα- x)Soadp,(x)_(0<x<xo)-e Co(a-x)E, =-Vq(x)=-edxSoado() =e, (x<x<a)E, =-V2(x)=-exdxGoa评注对于这种具有面分布电荷的问题，以电荷所在的曲面为边界划分求解区域，把电荷面密度归结到边界条件中，求出各区的电位通解后，再由边界条件确定系数，这是一种常用的处理方法；此外，由于电场分布具有平面对称性，此题也可用高斯定律求解。例3.5球形电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，其间填充介电常数分别为，和s，的两种均匀介质，如例3.5图所示。设内球带电荷为q，外球壳接地，求：（1）两S球壳间的电场和电位分布；（2）极化电荷分布：（3）导体表面上的自由电荷面密度。分析由于电场方向沿径向，所以在介质1与介质2的分界面上，电场与分界面平行，即为切向分量。根据边界条件可知E=E，但D,D,，故在半径为r(a<r<b)的球面上E相等，仍可用高斯定律求电场。解（1）由高斯定律，有(a<r<b)ΦD-dS=2元(D +D,)=qs由D,=6E、D,=6,E,以及E,=E,=E，可得两球壳间的电场和电位分别为q(a<r<b)E(r)=e, 2(6) +6)q门dr=p(r)=2元(6+82)g(b-r)(a<r<b)2元(6) +8,)br（2）介质中的极化强度(6 -60)qP =(6g -50)E,=l, 2元(6 +6,)(82 -80)gP,=(6,-50)E,=l, 2(6) +8)例3.5图故介质题内的极化电荷体密度

0 0 2 0 ( ) ( ) x x a x a    = − 0 ( ) x x a   1 0 0 1 1 0 d ( ) ( ) ( ) d x x x a x x x a     − E e e = − = − = − 0 (0 )  x x 2 0 0 2 2 0 d ( ) ( ) d x x x x x x a     E e e = − = − = 0 ( ) x x a   评注 对于这种具有面分布电荷的问题，以电荷所在的曲面为边界划分求解区域，把电 荷面密度归结到边界条件中，求出各区的电位通解后，再由边界条件确定系数，这是一种常 用的处理方法；此外，由于电场分布具有平面对称性，此题也可用高斯定律求解。 例 3.5 球形电容器的内导体半径为 a ，外导体内半径为 b ，其间填充介电常数分别为 1  和 2  的两种均匀介质，如例 3.5 图所示。设内球带电荷为 q ，外球壳接地，求：（1）两 球壳间的电场和电位分布；（2）极化电荷分布；（3）导体表面上的自由电荷面密度。 分析 由于电场方向沿径向，所以在介质 1 与介质 2 的分界面上，电场与分界面平行， 即为切向分量。根据边界条件可知 E1 = E2 ，但 D1  D2 ，故在半径为 r(a  r  b) 的球面 上 E 相等，仍可用高斯定律求电场。 解 （1）由高斯定律，有 2 1 2 d 2 ( ) S = + = r D D q  D S (a  r  b) 由 D E 1 1 1 =  、 D E 2 2 2 =  以及 E1 = E2 = E ，可得两球壳间的电场和电位分别为 2 1 2 ( ) 2 ( ) r q r    r = + E e (a  r  b) 2 1 2 1 ( ) d 2 ( ) b r q r r r     = = +  1 2 ( ) 2 ( ) q b r    br − + (a  r  b) （2）介质中的极化强度 1 0 1 1 0 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) r q r        − = − = + P E e 2 0 2 2 0 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) r q r        − = − = + P E e 故介质题内的极化电荷体密度 1  a b 例 3.5 图 2 

(6)-8)q 1 d(r2 1-)=0Ppl =-V.P=-2元(8+6,)(5-0)919(1)Pp2 =-VP =--)=02元(+6)2d介质的内表面上极化电荷面密度为(6)-60)qO pal =-e,Plra =--2元(+8,)a(6, -80)qO pa2 = -e, P,/r-a = -2元(6, +82)a介质的外表面上极化电荷面密度为(6) -80)q0m=,P[l= 2 (6+)6(62 -60)qO pb2 =e,Plrb = 22元(6,+8,)b2两种介质的分界面上p12=eg(P-P)= 0（3）内导体表面上自由电荷面密度为0a=8e,E]“2n(6)+8)a6292 =8,e,Er = 22元(6, +8,)a外导体的内表面上自由电荷面密度为60m = -6,e, E[1= - 2 (5, +6,)b629n2 =-82e,E]=2元(6+8,)6评注当存在介质分界面时，有两种情况可用高斯定律求解：一是在介质分界面上电场只有法向分量，另一是在介质分界面上电场只有切向分量。前一种情况D成对称分布，后一种情况E成对称分布。应用高斯定律求解后一种问题的关键在于将D,=6;E、D,=82E2以及E=Ez=E代入高斯定律Φ,D-dS=q中。例3.6电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为p.C/m3，两圆柱面半径分

1 0 2 1 1 2 2 1 2 ( ) 1 d 1 ( ) 0 2 ( ) d p q r r r       − = − = − = + P 2 0 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 d 1 ( ) 0 2 ( ) d p q r r r       − = − = − = + P 介质的内表面上极化电荷面密度为 1 0 1 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) pa r r a q a       = − = − = − + e P 2 0 2 2 2 1 2 ( ) 2 ( ) pa r r a q a       = − = − = − + e P 介质的外表面上极化电荷面密度为 1 0 1 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) pb r r b q b       = − = = + e P 2 0 2 2 2 1 2 ( ) 2 ( ) pb r r b q b       = − = = + e P 两种介质的分界面上 12 1 2 ( ) 0  p = − =  e P P （3）内导体表面上自由电荷面密度为 1 1 1 2 1 2 2 ( ) a r r a q a       = = = + e E 2 2 2 2 1 2 2 ( ) a r r a q a       = = = + e E 外导体的内表面上自由电荷面密度为 1 1 1 2 1 2 2 ( ) b r r b q b       = − = − = + e E 2 2 2 2 1 2 2 ( ) b r r b q b       = − = = + e E 评注 当存在介质分界面时，有两种情况可用高斯定律求解：一是在介质分界面上电场 只有法向分量，另一是在介质分界面上电场只有切向分量。前一种情况 D 成对称分布，后 一种情况 E 成对称分布。应用高斯定律求解后一种问题的关键在于将 D1 1E1 =  、D2 2E2 =  以及 E1 = E2 = E 代入高斯定律 d S = q  D S 中。 例 3.6 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 3 0 C m , 两圆柱面半径分

别为a和b，轴线相距为c(cb区域中，由高斯定律，*5,E-dS=号，可求得大、小圆柱中的正、负电荷60在点P产生的电场分别为rb'po_ Pob"rE, =e,2元0r260rPoa'r'-元apoE'=260r'22元8r点P处总的电场为bra'r'pE=E,+E'-r2r12260例3.6图（b）在rα区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为TrpprE, =e2元8r280pa'r'E, =e'-nd'p.280r'22元80r

别为 a 和 b ，轴线相距为 c (c  b − a) ，如例 3.6 图 ( ) a 所示。 求空间各部分的电场。 分析 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用 高斯定律求解。但可把半径为 a 的小圆柱面内看作同时具有体密 度分别为 0 的两种电荷分布，这样在半径为 b 的整个圆柱体内 具有体密度为 0 的均匀电荷分布，而在半径为 a 的整个圆柱体 内则具有体密度为 −0 的均匀电荷分布，如例 3.6 图 ( ) b 所示。 空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 解 在 r  b 区域中，由高斯定律 0 d S q  =  E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷 在点 P 产生的电场分别为 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r b b r r      = = r E e 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r a a r r      −    = = −   r E e 点 P 处总的电场为 2 2 1 1 2 2 0 ( ) 2 b a r r    = + = −   r r E E E 例 3.6 图( ) b a ＝ ＋ b c 0 a b c 0 a b c −0 在 r  b 且 r   a 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分 别为 2 2 0 0 2 2 r r r      = = r E e 2 2 2 2 0 0 2 2 r a a r r      −    = = −   r E e a b c 0 例 3.6 图( ) a

点P处总的电场为a'rE=E, +E, =P(r2280在r<α的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为rr'po-PorE,=e,22元0280E,=e "p--Pr2元80r260点P处总的电场为E=E,+E,=P%(r-r)=P%c260260评注对于这种看似不对称的问题，有时可用叠加原理将其化为几个对称问题，再用高斯定理求解，关键在于怎样才能够将不对称电荷分布化为对称电荷分布的叠加。本题这种补偿叠加的方法是一种巧妙方法，应认真加以体会。例3.7一个半径为R介质球，介电常数为6，球内的极化强度K，其中为P=e,rr一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度：（2）计算自由电荷密度：（3）计算球内、外的电场和电位分布。分析由于已知极化强度P，根据p,=-V.p和。，=nP，即可求出极化电荷分布，再利用D=6E+P和p=V.D求出自由电荷体密度。解（1）介质球内的束缚电荷体密度为()--P,=-V.P-r2drr2r在r=R的球面上，束缚电荷面密度为KO,= nPl-RER=e,·Plr-R（2）由于D=6E+P，所以V.D=.V.E+V.P-EOV.D+V.P8即(1- E)V.D=V.P8由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

点 P 处总的电场为 2 0 2 2 2 0 ( ) 2 a r    = + = −   r E E E r 在 r   a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r      = = r E e 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r      −     = = −  r E e 点 P 处总的电场为 ( ) 0 0 3 3 0 0 2 2     E E E r r c = + = − =   评注 对于这种看似不对称的问题，有时可用叠加原理将其化为几个对称问题，再用高 斯定理求解，关键在于怎样才能够将不对称电荷分布化为对称电荷分布的叠加。本题这种补 偿叠加的方法是一种巧妙方法，应认真加以体会。 例 3.7 一个半径为 R 介质球，介电常数为  ，球内的极化强度 r K r P e = ，其中 K 为 一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外 的电场和电位分布。 分析 由于已知极化强度 P ，根据  p = − P 和  p = n P ，即可求出极化电荷分布， 再利用 0 D E P = +  和  =  D 求出自由电荷体密度。 解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 2 2 2 1 d ( ) d p K K r r r r r  = − = − = − P 在 r R = 的球面上，束缚电荷面密度为 p r r R r R K R  = = = = = n P e P （2）由于 0 D E P = +  ，所以 0 0     =  +  =  +  D E P D P 即 0 (1 )   −  =  D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

eK6p=V.D-V.P(6-80)r6-606-80总的自由电荷量4元r~d=4元RKGKpdt=6-6-60（3）介质球内、外的电场强度分别为KP(rR)9E,=er=e4元6060(5-80)r2介质球内、外的电位分别为["E·dl =E,dr++,E,drPI=ERKK-dr+diJR 8(8-80)r2(5-60)rKnR+ K(r≤R)(8-0)"60(8-80)eRK(r≥ R)="E,dr=eRK2dr= 80(8-80)r26(8-0)r评注虽然介质是均匀的，但极化强度P不是常失量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质体内有自由电荷分布，但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷。例3.8两种电介质的相对介电常数分别为,=2和s,，=3，其分界面为==0平面。如果已知介质1中的电场的E,=e,2y-e,3x+e.(5+2)那么对于介质2中的E，和D，，我们可得到什么结果？分析在两种电介质的分界面上，不存在面分布的自由电荷。根据静电场的边界条件，在两种电介质分界面≥=0处，有e.×(E,-E2)=0、e.(D-D)=0，由此可求出介质2中的E，和D,在分界面==0处的表达式。解设在介质2中E,(x,y,0)=e,E2r(x,y,O)+e,E2,(x,y,O)+e.E2.(x,y,0)D,=806,E, =38E

2 0 0 0 ( ) p K r            =  =  = − = − − − D P 总的自由电荷量 2 2 0 0 0 1 4 d 4 d K RK R q r r r           = = = − −   （3）介质球内、外的电场强度分别为 1 0 0 ( ) r K     r = = − − P E e ( ) r R  2 2 2 0 0 0 4 ( ) r r q RK r r      = = − E e e ( ) r R  介质球内、外的电位分别为 1 1 2 d d d R r r R  E r E r   = = +    E l 2 0 0 0 d d ( ) ( ) R r R K RK r r r r        = + − −   0 0 0 ln ( ) ( ) K R K r       = + − − ( ) r R  2 2 2 0 0 d d ( ) r r RK E r r r        = = = −   0 0 ( ) RK r     − ( ) r R  评注 虽然介质是均匀的，但极化强度 P 不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。 因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质体内有自由电荷分布，但介质表面上通常 不存在面分布的自由电荷。 例 3.8 两种电介质的相对介电常数分别为 r1  =2 和 r 2  =3，其分界面为 z =0 平面。如 果已知介质 1 中的电场的 1 2 3 (5 ) x y z E e e e = − + + y x z 那么对于介质 2 中的 E2 和 D2 ，我们可得到什么结果？ 分析 在两种电介质的分界面上，不存在面分布的自由电荷。根据静电场的边界条件， 在两种电介质分界面 z = 0 处，有 1 2 e E E z  − = ( ) 0 、 1 2 ( ) 0 e D D z − = ，由此可求出介 质 2 中的 E2 和 D2 在分界面 z =0 处的表达式。 解 设在介质 2 中 2 2 2 2 ( , ,0) ( , ,0) ( , ,0) ( , ,0) x x y y z z E e e e x y E x y E x y E x y = + + 2 0 2 2 0 2 3 r D E E = =   

在z=0处，由e,x(E,-E,)=0和e.:(D-D)=0，可得e,2y-e,3x=e,E,r(x,y,0)+e,E2,(x,y,0)[2×58=38,E2(x,y,0)于是得到E2(x,y,0)=2y, E2,(x,y,0)=-3x,E2(x,y,0)=10/3故得到介质2中的E,和D,在z=0处的表达式分别为E,(x,y,0)=e,2y-e,3x+e.(10/3)D,(x,y,0)=6o(e,6y-e,9x+e.10)评注：边界条件给出的是边界面上的场失量之间的关系。一般情况下，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。如果介质中的场是均匀的，则边界面上的电场与介质中的电场相同。在本题中，由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。例3.9厚度为1、介电常数为ε=46。的无限大介质板，放置于均匀电场E。中，板与E成角e，如例3.9图所示。求：（1）使e,=元/4的e值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。分析当无限大介质板放入均匀电场中时，介质表面上有均匀分布的极化电荷，极化电荷在介质内产生均匀电场，而在介质外产生的电场为零，故介质外的电场不变。根据静电场的边界条件，即可求得e,以及介质板表面的极化电荷密度。解（1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有tan_0tang,Eo0由此得到Re2, = tan-E, tan e,-11n-I E0 = tan=14:tan460E0（2)设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有6Eon=8E,即例3.9图E,cose, =E,所以E,-EocoseEcos142介质板左表面的束缚电荷面密度

在 z = 0 处，由 1 2 ( ) 0 e E E z  − = 和 1 2 ( ) 0 e D D z − = ，可得 2 2 0 0 2 2 3 ( , ,0) ( , ,0) 2 5 3 ( , ,0) x y x x y y z y x E x y E x y   E x y  − = +    = e e e e 于是得到 2 2 2 ( , ,0) 2 , ( , ,0) 3 , ( , ,0) 10 3 E x y y E x y x E x y x y z = = − = 故得到介质 2 中的 E2 和 D2 在 z = 0 处的表达式分别为 2 2 0 ( , ,0) 2 3 (10 3) ( , ,0) ( 6 9 10) x y z x y z x y y x x y y x  = − + = − + E e e e D e e e 评注：边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况下，介质中任意点的 电场与边界面上的电场是不相同的。如果介质中的场是均匀的，则边界面上的电场与介质中 的电场相同。在本题中，由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同 的。 例 3.9 厚度为 t 、介电常数为 0   = 4 的无限大介质板，放置于均匀电场 E0 中，板与 E0 成角 1 ，如例 3.9 图所示。求：（1）使 2   = 4 的 1 值；（2）介质板两表面的极化电 荷密度。 分析 当无限大介质板放入均匀电场中时，介质表面上有均匀分布的极化电荷，极化电 荷在介质内产生均匀电场，而在介质外产生的电场为零，故介质外的电场不变。根据静电场 的边界条件，即可求得 1 以及介质板表面的极化电荷密度。 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 1 0 2 tan tan     = 由此得到 1 1 1 0 2 0 1 tan 1 tan tan tan 14 4       − − − = = = = （2）设介质板中的电场为 E ，根据分界面上的边界条件，有 0 0 E E n n   = ， 即 0 0 1 cos E E n    = 所以 0 0 1 0 1 cos cos14 4 E E E n    = = 介质板左表面的束缚电荷面密度 例 3.9 图 E0 0 E0  E  2 1