《电磁场》课程教学资源_习题解答_典型例题_9-电磁波辐射

例9.1频率f=10MHz的功率源馈送给电偶极子的电流为25A，设电偶极子的长度1=50cm。（1）分别计算赤道平面上离原点50m和10km处的电场强度和磁场强度：（2）计算r=10km处的平均功率密度：（3）计算辐射电阻。分析本题为计算电偶极子在空间给定点的电场和磁场，先判别场点属于近区还是远区，然后应用相应的公式进行计算。解：（1）在自由空间2=二=3x108=30mf10x106S故1=50m的点属近区场，得E,(0=90°)=0IlE。(0 = 90°)=-j4元08025×50×10-2V/m4元×2元×1010°sg×50=-j0.01425×50×10-2IH(0=90°)=0.398x10-3A/m4元24元×502而r=10km的点属远区场，得25×50×10-2Ilx10x102×30×10×10×120元e号E(0=90°)= )21e-1= 7.854×10- e(2.α10'-)-V/mIl- =20.83x10~~(210-)H(0=90°)=jA/m2元rSay-Re[E×H](2）2e[422=e,81.8x10-9W/m2)=80元(50×10-2R, =80元2() = 0.22(3)2Q302例9.2求波源频率f=1MHz，线长1=1m的导线的辐射电阻：

例 9.1 频率 f =10MHz 的功率源馈送给电偶极子的电流为 25A，设电偶极子的长度 l=50cm。（1）分别计算赤道平面上离原点 50m 和 10km 处的电场强度和磁场强度；（2）计算 r=10km 处的平均功率密度；（3）计算辐射电阻。 分析 本题为计算电偶极子在空间给定点的电场和磁场，先判别场点属于近区还是远区， 然后应用相应的公式进行计算。 解：（1）在自由空间 8 6 3 10 30m 10 10 c f   = = =  故 r=50m 的点属近区场，得 0 ( 90 ) 0 E r  = = 0 3 0 ( 90 ) 4 Il E j r    = = − 2 6 3 0 25 50 10 0.014 V/m 4 2 10 10 50 j j    −   = − = −     2 0 3 2 2 25 50 10 ( 90 ) 0.398 10 A/m 4 4 50 Il H r     −   − = = = =   而 r=10km 的点属远区场，得 2 2 3 10 10 0 30 0 3 25 50 10 ( 90 ) 120 2 2 30 10 10 j jkr Il E j e j e r       − −   −   = = =     3 (2.1 10 ) 3 2 7.854 10 V/m j e  −  − − =  3 (2.1 10 ) 0 6 2 ( 90 ) 20.83 10 A/m 2 j jkr Il H j e e r     −  − − − = = =  （2） 1 Re[ ] 2 av  S E H =  3 3 (2.1 10 ) (2.1 10 ) 3 6 2 2 1 Re[ 7.854 10 20.83 10 ] 2 j j e e     −  −  − − − =    e e 9 2 r 81.8 10 W/m − =  e （3） 2 2 2 2 2 50 10 80 ( ) 80 ( ) 0.22 30 r l R    −  = = =  例 9.2 求波源频率 f = 1MHz ，线长 l m =1 的导线的辐射电阻：

（1）设导线是长直的：（2）设导线弯成环形形状。分析比较导线的长度与波长，当导线的长度远小于波长时，可将该长直导线视为电偶极子天线，而弯成环形形状的导线可视为磁偶极子，并利用相应公式计算。解波源的波长几=_3x108300(m)f-106由此可知，导线的线度小于波长，故可将该长直导线视为电偶极子天线，其辐射电阻R,=80元(*) =8.8×10- (2)1对于环形导线可视为磁偶极子天线，其辐射电阻R =HoS"o*_ LH0元a（2元f）46元V6元(3×10*)21一代入上式，得式中a为圆环的半径，由2元α=1于是α=2元R, = 2.44 ×10-8 (2)评注环形天线的辐射电阻远远小于长直天线的辐射电阻，即环形天线的辐射能力远远小于长直天线的辐射能力。例9.3为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上，距离偶极子100km处得到电场强度的有效值大于100uV/m，赫兹偶极子必须至少辐射多大功率？解赫兹偶极子的辐射场为Idlke-ikr singE.=j2Ar08当0=90°，电场强度达到最大值为IdlIdlk[E00 ==12r22r08于是Iadl _ 2r| oel元一n将r=1×10°m、E≥~2×10-V/m代入上式，得

（1）设导线是长直的； （2）设导线弯成环形形状。 分析 比较导线的长度与波长，当导线的长度远小于波长时，可将该长直导线视为电偶 极子天线，而弯成环形形状的导线可视为磁偶极子，并利用相应公式计算。 解 波源的波长 ( ) 8 0 6 3 10 300 10 v m f   = = = 由此可知，导线的线度小于波长，故可将该长直导线视为电偶极子天线，其辐射电阻 ( ) 2 2 3 80 ( ) 8.8 10 r dl R   − = =   对于环形导线可视为磁偶极子天线，其辐射电阻 2 4 2 4 4 0 0 2 8 2 0 (2 ) 6 6 (3 10 ) r S a f R v        = =  式中 a 为圆环的半径，由 2 1 a = 于是 1 2 a  = 代入上式，得 ( ) 8 2.44 10 R r − =   评注 环形天线的辐射电阻远远小于长直天线的辐射电阻，即环形天线的辐射能力远远 小于长直天线的辐射能力。 例 9.3 为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上，距离偶极子 100km 处得到电场强度的 有效值大于 100 V/m  ，赫兹偶极子必须至少辐射多大功率？ 解 赫兹偶极子的辐射场为 sin 2 jkr Idl k E j e r     − = 当 0  = 90 ，电场强度达到最大值为 0 90 2 2 Idl k Idl E r r     = = 于是 0 90 Idl 2r E   = 将 5 r = 1 10 m 、 0 4 90 E 2 10 V/m −   代入上式，得

Idl_2×10°×/2×10-4元n而辐射功率P=80元"r()=Idl元-n(32.元有xP>7n得P≥2.22(W)例9.4如例9.4图（a）所示一半波天线，其上电流分布为7LI = I. cos(kz)22Ncos(=cOs)Home-ikn(1)求证：当>>|时，2Asin’2元kg(2)求远区的磁场和电场：(3)求坡印廷矢量；元2元COS(=cosの)(4)已知2do=0.609，求辐射电阻；sin"e0(5)求方向性系数。二H/2I,d-C01=元/2r2C1/2例9.4图（a）

5 4 Idl 2 10 2 10   −     而辐射功率 2 2 2 2 80 ( ) ( ) 3 dl Idl P I      = = 有 5 4 2 10 2 10 2 ( ) 3 P    −     得 P  2.22 W( ) 例 9.4 如例 9.4 图（a）所示一半波天线，其上电流分布为 cos ( ) ( ) 2 2 m l l I I kz z = −   （1） 求证：当 0 r l  时， 0 0 2 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m z I e A kr      − =  ； （2） 求远区的磁场和电场； （3） 求坡印廷矢量； （4） 已知 2 2 0 cos( cos ) 2 0.609 sin d      =  ，求辐射电阻； （5） 求方向性系数。 1 I dz o 2 r 1 r 0 r  l /2 l /2 l =  /2 z 例 9.4 图（a）

分析先由矢量滞后位公式，并利用r>>1的条件计算半波天线在远区的矢量磁位，然1VxA和E=V×H求远区的磁场和电场。后由H=Aojo解（1）沿z方向的电流I.在空间任意一点P(rの)产生的失量磁位为1/2 1.e-jkrA. (,0)=od4元二112假设>>1，则=r-zcoso,r~r+zcos1.11rrr将以上二式代入A（r,①)的表示式得cos(kz)e-jkA. (r,0)= Ho/mos(kz)e4元ro113cos(k=)e-jk(rg-zcos0)cos(kz)e-ik(n+=cos0)Holm4元roroHolm[cos kz(ejkcos +e-ikcos0) /dz4元11/2Holm e-io([2 cos(kz)cos(kz cos0) d4元10Holme-ko(cos[k (1+ cos0)]+ cos[k=(1-cos0)]d?4元10cos0)cOs(Holmsin"e2元kr由此得证。（2）远区的磁场和电场为errosinderoegaaa11H:VxAadasingarooA.rsingArAg而

分析 先由矢量滞后位公式，并利用 0 r l  的条件计算半波天线在远区的矢量磁位，然 后由 0 1  H A =   和 1 j E H =  求远区的磁场和电场。 解 （1）沿 z 方向的电流 z I 在空间任意一点 ( ) 0 P r , 产生的矢量磁位为 ( ) / 2 0 0 / 2 , 4 l jkr z z l I e A r dz r    − − =  假设 0 r l  ，则 1 0 2 0 r r z r r z  −  + cos , cos   1 2 0 1 1 1 r r r   将以上二式代入 ( ) 0 , A r z  的表示式得 ( ) 1 2 / 2 0 0 0 0 / 2 0 0 cos( ) cos( ) , 4 l jkr jkr m z l I kz e kz e A r dz dz r r    − − −         = +                 0 0 / 2 ( cos ) ( cos ) 0 0 0 0 cos( ) cos( ) 4 l jk r z jk r z m I kz e kz e dz r r     − − − +   = +      0 / 2 0 cos cos 0 0 cos ( ) 4 l m jkr jkz jkz I e kz e e dz r     − − = +      ( ) ( ) 0 / 2 0 0 0 2cos cos cos 4 l m jkr I e kz kz dz r    − =       ( ) ( )  0 / 2 0 0 0 cos 1 cos cos 1 cos 4 l m jkr I e kz kz dz r     − = + + −          0 0 2 0 cos( cos ) 2 2 sin m jkr I e kr      − = 由此得证。 （2）远区的磁场和电场为 0 0 2 0 0 0 0 0 0 sin 1 1 1 sin sin r r r r r r A r A r A               =  =    e e e H A 而

A, = A. cos@A.=-A.sinoA, =0得cos①)Ie-jkcos(a1H.=-(rA, sinの)=sineoroOr2元10H,=0,H。=0由麦克斯韦方程1E=VxHjos得元cos(=cosの)No/me-iko2E.=nH.=2元10sineE,=0,E =0由远区场的表示式，可得其方向性函数为cos("cos)f (0)=sine在极坐标系下E面和H面的方向图如例9.4（b）图所示。ELE面方向图H面方向图例9.4图（b）（3）平均坡印廷矢量为S.,=↓Re[ExH"]EH

cos sin 0 r z z A A A A A     = = − = 得 ( ) 0 0 0 0 0 0 cos( cos ) 1 2 sin 2 sin jkr m z I e H r A j r r r        −  = =   0, 0 H H r = = 由麦克斯韦方程 1 j E H =  得 0 0 0 0 cos( cos ) 2 2 sin jkr m I e E H j r         − = =  0, 0 E E r = =  由远区场的表示式，可得其方向性函数为 ( ) cos( cos ) 2 sin f     = 在极坐标系下 E 面和 H 面的方向图如例 9.4（b）图所示。 y E  E 面方向图 H 面方向图 例 9.4 图（b） E y x z  （3）平均坡印廷矢量为 1 1 Re 2 2 av E H    =  =     S E H

cos"-cosの)01212Ee8元／sin2n（4）由总辐射功率cos ("cos①) nl2P=S.ds=r sinOdedg118元sin’02元cos（元cos0)nol1-IRde=4元2sine5故辐射电阻 cos'(F cos 0)元x/2cOs*(=cosの)no2no22R.=do=de2元sing2元sine0由题给条件元-cos0)/2cOs21d0=0.609sin所以R, = ×0.609 = 73(2)元（5）理想无方向性天线的辐射功率[EmP =4元|s|=4元r2noTolme-ihonola1=4元2n2元2元则Po11D== 1.64P元0.609cos0)#/2COs2desine用分贝表示D=10loglo1.64 =2.15(dB)评注半波天线是线形天线的基本形式，也是构成其它天线的基本单元。除上述应用矢量位来分析计算辐射场外，也可以由电偶极子的远区辐射场的叠加而得到半波天线的辐射

2 2 2 0 2 2 2 0 0 cos ( cos ) 1 2 2 8 sin m I E r        = =  （4）由总辐射功率 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 cos ( cos ) 2 d sin 8 sin m av s I P r d d r           = =     S S 2 2 0 2 0 cos ( cos ) 1 2 4 sin 2 m m r I d I R        = =  故辐射电阻 2 2 / 2 0 0 0 0 cos ( cos ) cos ( cos ) 2 2 2 2 sin 2 sin R d d r               = =   由题给条件 2 / 2 0 cos ( cos ) 2 0.609 sin d      =  所以 ( ) 0 0.609 73 R r   =  =  （5）理想无方向性天线的辐射功率 2 2 2 max 0 0 0 0 4 4 2 E P r r    = = S 0 2 2 2 0 0 0 0 0 1 4 2 2 2 jkr m m I e I r j r       − = = 则 0 2 / 2 0 1 1 1.64 0.609 cos ( cos ) 2 sin P D P d      = = = =  用分贝表示 ( ) 10 D = = 10log 1.64 2.15 dB 评注 半波天线是线形天线的基本形式，也是构成其它天线的基本单元。除上述应用矢 量位来分析计算辐射场外，也可以由电偶极子的远区辐射场的叠加而得到半波天线的辐射

场。例9.5五单元边射阵，天线元间距为各天线元上的电流按1：2：3：2：1，分布，2试确定阵因子和归一化方向图。dcosd0天线阵轴线23A例9.5图(a)解如例9.5图（a)，设天线1在考察点P的辐射场为E，，由于天线2上的电流I,=21,e（=kdcosΦ)，则天线2在P点的辐射场E，=2E,e，同理天线3、4、5在P点的辐射场分别为3E,ej2"2E,ej3",E,ej4"，于是P点的总辐射场E=E,(1+2ej*+3ej2W+2ej34+ej4)则五元锥形阵的归一化阵因子为[F(Y)=1+2e/+3e/2* +2e/3*+e/41sin(34 /2)-ejysin ( /2)11114将=kdcos中代入上式，得3sin(二元cos)[F()3sin(=元cos0)2由此可画出五元锥形阵的方向图如例9.5图（b）

场。 例 9.5 五单元边射阵，天线元间距为 2  ，各天线元上的电流按 1：2：3：2：1，分布， 试确定阵因子和归一化方向图。 P 天线阵轴线  d cos  /2  /2  /2  /2 例 9.5 图(a) 1 2 3 4 5 解 如例 9.5 图(a)，设天线 1 在考察点 P 的辐射场为 E1 ，由于天线 2 上的电流 2 1 2 ( cos ) j I I e kd  = =   ，则天线 2 在 P 点的辐射场 2 1 2 j e  E E = ，同理天线 3、4、5 在 P 点的辐射场分别为 2 3 4 1 1 1 3 ,2 , j j j e e e    E E E ，于是 P 点的总辐射场 2 3 4 1 (1 2 3 2 ) j j j j e e e e     E E= + + + + 则五元锥形阵的归一化阵因子为 ( ) 1 2 3 4 1 2 3 2 9 j j j j F e e e e      = + + + + 2 3 1 1 1 sin (3 2) 9 1 9 sin ( 2) j j e e     − = = − 将   = kd cos 代入上式，得 ( ) 2 3 sin( cos ) 2 1 3sin( cos ) 2 F      = 由此可画出五元锥形阵的方向图如例 9.5 图(b)

-0=001例9.5图（b)

0  = 0 例 9.5 图(b)