《电磁场》课程教学资源_教学教案_第六章 时变电磁场

第六幸时变电磁场前几章：静止电荷→电场各自独立运动电荷（恒定电流）→磁场当p ~p(t)、E(t)、H(t)I ~i(t)、H(t)、E(t)构成交互的电-磁场本章：i.i.1831年，法拉第发现电磁感应定律，即H（t）→E（t）ii.ii.1864年，麦克斯韦提出E（t）-→H（t），麦克斯韦方程iii.iii.时变场边界条件：电磁场能流波印廷定理S=E*Hiv.iv.波动方程（下几章基础）v.v.动态矢量位、标量位（分析简化）86.1法拉第电磁感盛应定律法拉第通过大量实验，发现：回路内磁通变化→感应电流一→说明有感应电动势，其方向由右手螺旋法则确定de80=-5@6.1.1dt负号表明感应电势总是阻止的变化(~0Φ=BS0→补偿减少<0Ldt有感应电势→说明导体内有感应电场Ein.fiaiE=心小dafedi--6.1.2dtC：空间其余部分也有E感产生式6.1.2对磁场任意部分都成立设空间静止电荷产生场Ec则E=Ec+Ein，则：

第六章 时变电磁场 前几章： 静止电荷 → 电场 运动电荷（恒定电流） →磁场 各自独立 当 ～ (t) 、(t) 、(t)  ～ i(t) 、(t) 、(t) 构成交互的电−磁场 本章： i. i.1831 年，法拉第发现电磁感应定律，即 H(t) →E(t) ii. ii.1864 年，麦克斯韦提出 E(t)→H(t) ,麦克斯韦方程 iii. iii.时变场边界条件：电磁场能流波印廷定理 S=E*H iv. iv.波动方程 （下几章基础） v. v.动态矢量位、标量位 （分析简化） §6.1 法拉第电磁感应定律 法拉第通过大量实验，发现：回路内磁通变化→感应 电流→说明有感应电动势，其方向由右手螺旋法则确定 ‥‥负号表明感应电势总是阻止的变化 有感应电势→说明导体内有感应电场 Ein ∵空间其余部分也有 E 感产生 ∴式 6.1.2 对磁场任意部分都成立 设空间静止电荷产生场 Ec , 则 E=Ec+Ein ,则：

:*"心.心d电@6.1.3JEdl-JEw dl +JE.dl -dtc而o=jBasde".Ed-IBas614dt,U1）H随t变化引起变的积分形式法拉第电磁感应定律：2）由回路运动（转）引起设回路不变，则+&&&&?raBdI (VxE)ds =DE-dl=IB-dS=dsdt:at心OB心即VxE+as=0at由于S对任意回路都成立2aB:V×E=6.1.5at例6.1.1一hXw的单匝矩形线圈，放在B=eB,sinot中，开始n与y成α角，求：a.a)静止时的ε,b.b)线圈以o绕X轴旋转的感应电动势。解：a)V= JB.as -e,B, sin(at).Himw=B,wsin(at).cosadg=-oB.hwcos(ot)cosaSm=at

法拉第电磁感应定律： 1）H 随 t 变化引起变的积分形式 2）由回路运动（转）引起 设回路不变，则 由于 S 对任意回路都成立 例 6.1.1 一 h×w 的单匝矩形线圈，放在 B=ey B0 sint 中 ，开始 n 与 y 成  角，求： a. a)静止时的   b. b)线圈以绕 X 轴旋转的感应电动势。 解：a)

b）当旋转时，8in还要随α变化Qα=wt..= Bhwsin(at).cos(at)= B hwsin(2ot)2dp=-B.hwa·cos(2at).6m=dt解法二：aBas+f(x B) at.·4.at静止的s.(1)，同(a)运动的s(2)XXWW(vx B).dlWYXleS2W0B,sineat-n.XE2WwB, sin(at)sin α22= B,hwa sin(at)sin(at. m =-αB,hw[-sin'(at)+ cos (at)]=-wB,hwcos2at

b) 当旋转时，in 还要随变化 解法二： 静止的in (1), 同(a) 运动的in (2)

$6.2位移电流一变化电场产生磁场考虑交流电源上的电容器，电流为i（t），取回路C包围导线，则$Hodl=i而Hdl=J·dsS1直接截面，且电流=iS2通过电容器中心，若J=0,则i=0麦克斯韦提出，极板间有另一种电流，量值与i相等。S1直接通过旅用，电范-I52通过电容器十心，若=0,期1=0f H-dl=iHodl=JJodsaD位移电流示at图6.2.1麦克斯韦位移电流由S1及S2共同构成的闭合面，有1D"?心??3adg-dspJ.ds =pD.dS=-dtotot?++pJa.ds3+aD.位移电流at：在S1上只有传导电流，在S2上只有位移电流，而S1，S2面元方向相反。[J.ds-J, dsS152

§6.2 位移电流 ——变化电场产生磁场 考虑交流电源上的电容器，电流为 i(t),取回路 C 包围导线， 则 ∮H•dl=i 而 ∮H•dl=∫J•dS S1 直接截面，且电流=i S2 通过电容器中心，若 J=0,则 i≡0 麦克斯韦提出，极板间有另一种电流，量值与 i 相等。 由 S1 及 S2 共同构成的闭合面，有 ∵在 S1 上只有传导电流，在 S2 上只有位移电流 ，而 S1，S2 面元方向相反

因此上述矛盾解决一般来说，空间同时有J和Jd，则心心*x心*心aD6.2.4jH.al - f(G+ja).as -asJ+at八e4·即安培定律的积分形式由斯托克斯定理，有SH.al-/VxH.as.95再由S的任意性，ODVxH=J+?6.2.5at·即安培定律的微分形式位移电流一电流概念的扩充→也有磁效应Da心??&+D--&E+P=80aatat例6.2.1海水的电导率为4S/m,8,=81,f=1MHz，求位移电流与传导电流之比。解：设E=exEmcos(ot)位移电流：":aD:=-eos,s.Esin(ot)Ja=at振幅Jdm=06re0Em=4.5×10"E.传导电流Jc=E振幅Jcm=4Em. Jdm :Jcm =1.125 ×103

因此上述矛盾解决 一般来说，空间同时有 J 和 Jd ,则 ‥‥即安培定律的积分形式 由斯托克斯定理，有 再由 S 的任意性， ‥‥即安培定律的微分形式 位移电流—电流概念的扩充→也有磁效应 例 6.2.1 海水的电导率为 4S/m,r =81,f=1MHz,求位移电流与传导电流之比。 解：设 E=exEmcos(t) 位移电流： 振幅 Jdm=r0Em=4.5×10 -3 Em 传导电流 Jc =E ∴振幅 Jcm=4Em ∴ Jdm :Jcm =1.125 ×10 -3

$6.3麦克斯韦方程一数学上概括电磁现象的基本性质积分形式微分形式"2之aDaDfH.di-.dsVXH=J+J+at2心"心"心raBaBDE.dl-dsVxE=aat"心?fB.as-0V.B=0心?V.D=PD.as=g称为麦克斯韦方程的非限定方程方程的物理意义麦克斯韦第一方程表明：不仅传导电流能产生磁场，而且变化电流也能够产生磁场麦克斯韦第二方程：是推广的电磁感应定律表明变化的磁场也会产生电场。第三个方程：本身是从恒定磁场中得到的，麦克斯韦将其推广到变化的磁场中。第四个方程：是高斯定理，它反映了电荷以发散的方式产生电场。这组方程表明变化的电场和变化的磁场相互激发、相互联系形成统一的电磁场。电流连续方程VxH-J+OD7由Otg+.D-v.y+-Vg×)=07有Vgi+otot上面的麦克斯韦方程仅含有E,D,B,H，没限定相互关系，即非限定形式，适用于任何媒质根据媒质的特性，还可以简化，如：线形各向同性媒质本构关系--E,0EB=HMHJ-E+J

§6.3 麦克斯韦方程 ——数学上概括电磁现象的基本性质 积分形式 微分形式 称为麦克斯韦方程的非限定方程 方程的物理意义 麦克斯韦第一方程表明：不仅传导电流能产生磁场，而且变化电流也能够产生磁场 麦克斯韦第二方程：是推广的电磁感应定律表明变化的磁场也会产生电场。 第三个方程：本身是从恒定磁场中得到的，麦克斯韦将其推广到变化的磁场中。 第四个方程：是高斯定理，它反映了电荷以发散的方式产生电场。 这组方程表明变化的电场和变化的磁场相互激发、相互联系形成统一的电磁场。 电流连续方程 上面的麦克斯韦方程仅含有 E,D,B,H,没限定相互关系，即非限定形式，适用于任何媒质 根据媒质的特性，还可以简化, 如：线形各向同性媒质本构关系

了为非电性源（化学源）J"=0时，麦克斯韦方程的限定形式DE?"VXH=E+8"ot4oHVXE=uotXVHO(u)XV0(cE=非线形也成立，时定介质，时定场一静态场

J ’为非电性源（化学源） J’=0 时，麦克斯韦方程的限定形式 非线形也成立，时定介质， 时定场→静态场

66.4时变场的边界务件1.切向条件一沿表面做回路分析环流A.磁场f3.as+aD(Hi singHa sing,)Al- limatLL2AaDANAI即H-HalimAatAI..H1t-H2t=Js即n× (H1-H2)=Jsn为媒质2指向媒质1OBB电场：Et-E2=-lim4h=0Ah->0at?即nx(E,-E2)=0OB电场的切向分量总是连续的，虽然有t的源存在，边界条件与静态场是一样的。2.法向边界：作闭合面与静态场完全相同n(B1-B2)=0n-(D1-D2)=o3.特例a）无耗媒质（一般无自由电荷和面电流）：G=0，Is=0则切向、法向场量全部连续，即：E1t=E2t，D1n=D2n，H1t=H2t,B1t=B2tb）理想介质（1=0）—理想导体（2→0）（内部：E2=0，B2=0，H2=0)

§6.4 时变场的边界条件 1. 切向条件 — 沿表面做回路分析环流 ∴H1t-H2t=Js 即 n×(H1-H2)=Js n 为媒质 2 指向媒质 1 电场的切向分量总是连续的，虽然有 的源存在，边界 条件与静态场是一样的。 2. 法向边界：作闭合面与静态场完全相同 n · (B1-B2)=0 n · (D1-D2)= 3. 特例 a) 无耗媒质(一般无自由电荷和面电流):  =0，Is=0 则切向、法向场量全部连续，即：E1t=E2t , D1n=D2n , H1t=H2t , B1t = B2t b) 理想介质（1=0）—理想导体（２→） （ 内部：E2=0, B2=0, H2=0）

表面出现面电流Js和面电荷E1t=E2t=0，Bln= B2n =0,Hlt= Js ，Dln=α可视为实际问题的近似一金属表面几乎全反射，进入的少量场可用表面源（Js和α）代替，从而简化计算。表6.4.1给出了所有场的源及边界条件关系：记住通式(1) ;则利用概念有（2）（α=0，Js=0）(3)（2=oo→E2,B2,H2=0)例6.4.1两导体板(z=0和z=d)之间，空气传播的电磁极心心元k,x)E=e,eosincos(ot-)Z(d求H及导体表面的电流密度Js解：1):aH由V×E=-atee2aaaOEEaH+es=-ex=-μoacayazazat"ax100E,将E按上式求偏微分即得解2)心"&元+4J,-nxH-e,xHl-0/-a=ejEsin(ot-k,x)"ouod

表面出现面电流 Js 和面电荷  E1t=E2t=0 , B1n= B2n =0, H1t= Js , D1n=  可视为实际问题的近似→金属表面几乎全反射，进入的 少量场可用表面源（ Js 和 ）代替，从而简化计算。 表 6.4.1 给出了所有场的源及边界条件关系： 记住通式 （1）； 则利用概念有（2）(  =0 ， Js =0 ) （3）( ２= →E2, B2, H2=0) 例 6.4.1 两导体板(z=0 和 z=d)之间，空气传播的电磁极 求 H 及导体表面的电流密度 Js 解：1） 将 E 按上式求偏微分即得解 2）

S6.5嫂印建定理和被师建夫量时变场→电磁能量的流动电场能量密度随E变，磁场能量密度随H变→能量流动能流矢量=垂直能流/单位时间（坡印廷矢量）某点的功率密度-&8XOBaD分析H.(V×E)-]=-HE.E.VxHJ+ataα??a(11uH+-yE2V.(ExH)6.5.1=α/223单位体积内能量减少率焦耳热取体积分：IV.(ExHT=S(ExHuta(+ )E'dtdt+dt(2T心心id即-(ExH).dS=(w.+Wm)+ P,dt5焦耳热进入体积的功率每秒能量的增加w/m2定义S=EXHS分析空间能量的流动情况

§6.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 时变场→电磁能量的流动 电场能量密度随 E 变，磁场能量密度随 H 变→能量流动 能流矢量 = 垂直能流／单位时间 某点的功率密度 （坡印廷矢量） 单位体积内能量 减少率 焦耳热 取体积分： 进入体积的功率 每秒能量的增加 焦耳热 定义 S=E×H w/m2 S 分析空间能量的流动情况