《电磁场》课程教学资源_习题解答_典型例题_1-矢量分析

RVR=例1.1 已知R=e.(x-x)+e,(y-y)+e(=-=), R=[Rl。求证: (1)R :(2）Vf(R)=-V'f(R)。其中：√是对x、J、z运算，V"是对x、J、="运算。证明（1）将R==/(x-x)+(y-y)+(z-2)代入式梯度的运算公式，得ORte aR+e ORVR=0.0k+g+:0er(x-x)+e,(y-y')+e(z-z)RR/(x-x) +(y-y)* +(z-z2)2（2）由式（1.11），得到af(R)af(R)af(R)Vf(R)=eaxayOzdf(R)aRdf(R) ORd f(R) aR-exeyaxdRdR dRozaydf(R) Rdf(R)VR=dRRdR同理df(R) -e(x-x)-e,(y-y)-e.(=-z2)V(R)- (RV"R=dRdRV(x-x)"+(y-y)"+(z-z)2- df(R) RdR R故得Vf(R)=-V'f(R)评注此式表明，在处理相对坐标的函数的梯度运算时，算子√与算子'可以互换，但必须改变算子前面的正负号。例1.2现有三个矢量A、B、C为A=e,sinocosg+e.cosocosp-e,sinpB=e,? sinp+es-?cosp+e.2rzsingC=e,(3y2 -2x)+e,x? +e.2z（1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

例 1.1 已知 ( ) ( ) ( ) x y z R e e e = − + − + − x x y y z z    ， R = R 。求证：（1） R R  = R ； （2） f (R) = −f (R) 。其中：  是对 x、y、z 运算，  是对 x  、 y  、 z  运算。 证明 （1）将 2 2 2 R x x y y z z = = − + − + − R ( ) ( ) ( )    代入式梯度的运算公式，得 x y z R R R R x y z     = + +    e e e 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x x y y z z x x y y z z R − + − + −    = = − + − + −    e e e R （2）由式（1.11），得到 ( ) ( ) ( ) ( ) x y z f R f R f R f R x y z     = + +    e e e d ( ) d ( ) d ( ) d d d x y z f R R f R R f R R R x R y R z    = + +    e e e df R df R ( ) ( ) R dR dR R =  = R 同理 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z df R df R x x y y z z f R R dR dR x x y y z z − − − − − −     =  =   − + − + −    e e e df R( ) dR R = − R 故得 f (R) = −f (R) 评注 此式表明，在处理相对坐标的函数的梯度运算时，算子  与算子  可以互换， 但必须改变算子前面的正负号。 例 1.2 现有三个矢量 A 、 B 、C 为 sin cos cos cos sin A e e e = + − r        2 2 sin cos 2 sin r z z z rz B e e e = + +     2 2 (3 2 ) 2 x y z C e e e = − + + y x x z （1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度 表示？

（2）求出这些失量的源分布。分析根据失量场的性质，旋度恒为零的矢量可以由一个标量函数的梯度表示，散度恒为零的矢量可以由一个失量函数的旋度表示，矢量的散度和旋度即为该矢量的源分布。解（1）在球坐标系中101aaA.1V.A=(r2A.)-(sin0A.)+r? arrsingaersineag1a1a0L(r? sincosd)+(sincoscos)+-sin@)r2 arrsingaersinoad22sinecosgcOscosd=sincosΦ+-0rsinerrsingrregrsinde.aaa1VxA-ar00adrsinA.rsingA.rA.errsinde.regaa1a=0or00aprsinesincosgrcoscos@-rsinsing故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示：在圆柱坐标系中1 BB.1aV.B=-(rB,)+-0zrorro1aa.10(rz" sind)+(=2 cosg)+(2rzsin@)rorazros2'singpsing+2rsing=2rsingrre,e.re.e.rege.aaaaaa1-=0VxB:OarzaradapTrB,singB.rBerzcoso2rzsing故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中C,+ac.aac.aV.C=(3y2 -2x) +(22)=0X+(xazaxayOzaxdy

（2）求出这些矢量的源分布。 分析 根据矢量场的性质，旋度恒为零的矢量可以由一个标量函数的梯度表示，散度恒 为零的矢量可以由一个矢量函数的旋度表示，矢量的散度和旋度即为该矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r A r A A r r r r            = + +    A 2 2 1 1 1 ( sin cos ) (sin cos cos ) ( sin ) sin sin r r r r r              = + + −    2 cos 2sin cos cos sin cos 0 r r r r sin sin         = + − − = 2 sin 1 sin sin r r r r r r A rA r A               =    e e e A 2 sin 1 0 sin sin cos cos cos sin sin r r r r r r r                = =    − e e e 故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 1 1 ( ) z r B B rB r r r z       + +    B = 1 1 2 2 ( sin ) ( cos ) (2 sin ) rz z rz r r r z        = + +    2 2 sin sin 2 sin 2 sin z z r r r r   = − + =   2 2 1 1 0 sin cos 2 sin r z r z r z r r r r z r r z B rB B z rz rz                = = =       e e e e e e B 故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 2 2 (3 2 ) ( ) (2 ) 0 x y z C C C y x x z x y z x y z        + + = − + + =       C =

exe:e,aaaVxC=e.(2x-6y)axayOz[3y2-2xx22z故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为V.A=0,VxA=0.V.B=2rsing,VxB=0;V.C=0, VxC=e(2x-6y)例 1.3求(1）矢量4=e,x+e,ry+e,24xy=的散度；（2)求VA对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。(x)+a(ry),a(24x*y*=) =2 +2x y+72xy22V.A=axdyOz解(1)（2）V·A对中心在原点的一个单位立方体的积分为1/2 1/2 1/21[V.Adt=T (2x+2x*y+72x'y2-)dxdydz =24-1/2 -1/2 -1/2（3）A对此立方体表面的积分1/21/2dydzAds =('dydz-11(-1/2-1/2 22S-1/2 -1/2/22x2(-"dxd+「「2x(-)dxdz--1/2 -1/2 1/2 1/21/2± 1/21/21/2 24x*y2()dxdy-[ 24xy2(-]1)dxdy=+2242-1/2 -1/2-1/21/21=ΦAdSVAdt=24故有

2 2 (2 6 ) 3 2 2 x y z z x y x y z y x x z     = = −    − e e e C e 故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为  = A 0， = A 0 ；  B = 2 sin r  ， = B 0 ；  = C 0， (2 6 ) z  = − C e x y 例 1.3 求（1）矢量 2 2 2 2 2 3 24 x y z A e e e = + + x x y x y z 的散度；（2）求  A 对中心 在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （1） 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) (24 ) 2 2 72 x x y x y z x x y x y z x y z     = + + = + +    A （2）  A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d (2 2 72 ) d d d 24 x x y x y z x y z   −−−  = + + =     A （3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 d ( ) d d ( ) d d 2 2 S y z y z − − − − = − −      A S 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) d d 2 ( ) d d 2 2 x x z x x z − − − − + − −     1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 24 ( ) d d 24 ( ) d d 2 2 24 x y x y x y x y − − − − − − = ＋     故有 1 d 24   =   A d S =  A S