郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第五章 三铰拱

第五章 三铰拱 拱的实例 三铰拱的特点 三铰拱的类型、基本参数 1→10 曲线形状:抛物线、园、悬链线

第五章 拱的实例 三铰拱的特点 P2 H VA VB P1 H 三铰拱的类型、基本参数 l f =1→10 l f 曲线形状：抛物线、园、悬链线…….. 三 铰 拱

85-1三铰拱的支座反力和内力 支座反力与同跨度同荷载对应简支梁比较 b ∑ M,=0 Pai+ pa HA ,242=02=PP+)v二 ∑x=0H1=H=H P ∑M。=0 C P P VAL-P d-H f=0 C H B MC=H,f=0…H=1

§5-1 三铰拱的支座反力和内力 一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较 P2 HA VA VB P1 HB VA  VB  P1 P2 a1 a2 b1 b2 x x d D VA H P1 d c l1 f y f  M = V = ( + ) = l B 0 A Pb Pb VA VA 1 1 1 2 2   M = V = ( + ) = l A 0 B Pa P a VB VB 1 1 1 2 2   x = 0 HA = HB = H  MC = 0 V l P d H f A  1 − 1  −  = 0 M H f H M f C  C  −  = 0  = l l1 l2 c c

二、内力计算以截面D为例 P 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 a N/A 的力矩相平衡,设使下面的纤维受拉为正。 D ∑M DO H M=VA x-P (x-a,)-Hy o M=M-Hy P Q 0=0 CoS (-H sin o . H N=-Q Sin -Hcos 三、受力特点 (1)在竖向荷载作用下有水平反力H (2)由拱截面弯矩计算式可见,比相应简支梁小得多; (3)拱内有较大的轴向压力N

VA  Q o M o P1 VA H P1 Q o H  M D x y 二、内力计算 以截面D为例 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。 M V x P (x a ) H y = A  −  − −  1 1 M = M − H  y  Ｈ Ｑo   Q = Q − H  cos sin N = −Q − H  sin cos 三、受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 H; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N. x-a1 MD = 0

E 9=2kN. m ↓4 p=8kM 例1、三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方程 myx0=)计算反力并绘 制内力图 7kM H=7. 5KM Ix,=3m 6m (1)计算支座反力 V likE =P2×6×9+8×31kN 12 12=12=262+832=98 (2)内力计算以截面2为例 H=MC=116-2×6×3 7.5kM 4 4f 4×4 3(12-3)=3m 12 M2=M212=(1×3-2×3×15)-75×3 =15kN·m d4/,2x)14×4(,2×3 tg 2 dx x=3 12 Q2=cog2-Hsin2=(1-2×3)×0832 =0667 75×0555=-00025kN≈-0003kN 02=334,sm0.2055c0920832Sm2=Hcos2=(1-2×3)×055 75×0.832=-90l5kN

x q=2kN .m P=8kN 3m x2=3m 7.5kN VA H VB 2 y2 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B 例 1、三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方程 y ( ) f l =  x l − x 4 2 计算反力并绘 制内力图。 （1）计算支座反力 VA =VA = kN   +  =  2 6 9 8 3 12 11 VB =VB = kN   +  =  2 6 3 8 9 12 9 H M f kN C = =  −   =  11 6 2 6 3 4 7.5 （2）内力计算 y ( ) ( ) f l 2 2 x l x 2 m 4 4 4 12 = − = 3 12 3 3   − = tg dy dx f l x l  2 x 3 x 3 4 1 2 4 4 12 1 2 3 12 0 667 = = −       =  −        = = = .  2 = 33 41  2 = 0555  2 = 0832  ,sin . ,cos . M M Hy ( ) kN m 2 2 2 11 3 2 3 15 7 5 3 15 = − =  −   −  =   . . . Q Q H ( ) kN kN 2 2 2 2 11 2 3 0832 7 5 0555 0 0025 0 003 = − = −   −  = −  −  cos sin . . . . .   ( ) k N N Q H 7.5 0.832 9.015 2 2 sin 2 cos 2 11 2 3 0.555 −  = − = −  −  = − −    6m 6m f=4m =11kN = 9kN = 7.5kN 以截面2为例

绘制内力图 q=2kN m p=8kN ↓↓↓4+ p2 y 6m 6m M图 E t kN. ms 图 9 kN N图 kN

x q=2kN .m P=8kN 2 y2 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B 6m 6m 0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000 0.600 0.354 0.003 0.472 1.000 1.421 3.325 3.331 1.060 0.600 M 图 kN.m Q 图 kN N 图 kN 13.300 10.958 9.015 7.749 7.433 11.665 6.796 11.235 11.700 7.500 绘制内力图

85-2三铰拱的压力线 拱与受弯结构不同,在竖向荷载作用下,它不仅产生弯矩和 剪力,还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结 构体系。 因嘭拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料 如砖石、素砼)建造,以保证其良好的经济性。 下面我们研究拱截面的受力情况。 M R 拱截面一般承受三种内力:M、Q、N 若用合力R代替截面所有内力,则其偏心距为e=MN,显 然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点

若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为e = M/N，显 然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。 §5-2 三铰拱的压力线 拱与受弯结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和 剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结 构体系。 拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。 M Q N e R 因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料 （如砖石、素砼）建造，以保证其良好的经济性。 下面我们研究拱截面的受力情况

P P 2 (1)确定各截面合力的 大小和方向: 作用线 G23 H 数解R,R k2 C 绘力多边形 D k k3 射线 AAA B 2)确定各截面合 力的作用线 R R MD=R12×F RB素多边形合力多边形 压力多边形压力线 大小和方向o P1C=R2X如ma0如果是分布荷载,压力线 NpxD是集中荷载,压力线呈多边形, 呈曲线,称为压力曲线;如果 R 称压力多边形。 压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力R若都沿拱轴切线方向作用是最 理想的情况,此时各截面内只有均匀分布的正应力,拱处于轴心受压状态,如果 在拱的设计中能获得上述结果,拱的经济效果将最好

P1 P2 P3 P1 P2 P3 RA RB 23 A B C 1 k 2 k 3 k F G H （1）确定各截面合力的 大小和方向： 数解 RA RB 绘力多边形 D 射线 （2）确定各截面合 力的作用线 索多边形 合力多边形 压力多边形 压力线 大小和方向 作用线 RA RB o D r 如果是分布荷载，压力线 呈曲线，称为压力曲线；如果 是集中荷载，压力线呈多边形， 称压力多边形。 压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力R若都沿拱轴切线方向作用是最 理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果 在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。 D D M = R r 12 QD R  D = 12 sin ND R  D cos = 12   D

§5-3拱的合理轴线 在固定荷载作用下,使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理」 轴线。由上述可知,按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发,寻找合理轴线即拱结构的优化选型。 对拱结构而言,任意截面上弯矩计算式子为: CM=M-H 它是由两项组成,第一项是简支梁的弯矩,而后一项与拱轴形状 有关。令 M=M°-=0 VrEs 在竖向荷载作用下,三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例

§5-3 拱的合理轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 M = M − Hy  它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状 有关。令 M = M − Hy = 0  在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。( ) ( ) H M x y x  = 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。 对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：

例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载,求其合理轴线。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ f ↓↓↓↓↓↓↓444 B B A 2 12 解1由式1(+)M(x) 先列出简支梁的弯矩方程 H M(x)2=9x(-x) 注意 拱的推力为 合理轴线对应的是 f &f 一组固定荷载; 所以拱的合理轴线方程为: 合理轴线是一组。 x)=9x0-x)×8f=4x(-x)

例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。 y x x q A B q f l/2 l/2 A B C ql 2 ql 2 [解] 由式 ( ) ( ) y x M x H =  先列出简支梁的弯矩方程 M (x) ( ) q x l x  = − 2 拱的推力为： H M f ql f C = =  2 8 所以拱的合理轴线方程为： y(x) ( ) ( ) q x l x f ql f l = −  = x l − x 2 8 4 2 2 注 意 *合理轴线对应的是 一组固定荷载； *合理轴线是一组

例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力,试证明其合理轴线是园弧曲线。 证明]设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态,然后由平衡条件推导轴线方程。 N E D R dS=R·d ∑M=0ND·R-N2(R+dR)=0 doo ND=NE=N 这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时,截面的轴力为一常数。 ∑y=0a-dS+2N·s、d0=0q:Rly+Ndo=0 N N=-gR R=- 因N为常数,q也为一常数,所以任一点的曲率半径R也是常数,即拱轴为园弧

例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。 [证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。 q dS = Rd  =  − ( + ) = = = M N R N R dR N N N D E D E 0 0 0 这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。 0 0 2  = 0  + 2 sin =   +   =  q Rd N d d y q dS N 因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。 q N N = −qR R = − D E