郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十五章 结构的动力计算 §15-1 动力计算概述 §15-2 单自由度体系的自由振动

第十五章 结构的动力计算

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815-1动力计算概述 、动力计算的特点、目的和内容 1、特点:静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类 荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计,由它所引起的内力和变形都是确定的。 动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷 载对结构产生的惯性力不能忽略,因动力荷载将使结构产生相当大的加速度 由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 与静力计算的对比:两者都是建立平衡方程,但动力计算,利用动静法 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力,考虑的是瞬间平衡,荷 载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。 2、目的和内容 计算结构的动力反应:内力、位移、速度与加速度,使结构在动内力与静内 力共同作用下满足强度和变形的要求

2 §15-1 动力计算概述 一、动力计算的特点、目的和内容 1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类 荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。 “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷 载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度， 由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 2、目的和内容 计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内 力共同作用下满足强度和变形的要求。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷 载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程

动力计算的内容:研究结构在动荷载作用下的动力反应射计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素: 1)确定动力荷载(外部因素,即干扰力); 2)确定结构的动力特性(内部因素,如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等),类似静力学中的s等; 计算动位移及其幅值;计算动内力及其幅值。 二、动力荷载分类按起变化规律及其作用特点可分为: 1)周期荷载:随时间作周期性变化。(转动电机的偏心力) P(t) P 简谐荷载(按正余弦规律变化) 般周期荷载

3 P(t ) t P t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载 动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力） 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值

2)冲击荷载:短时内剧增或剧减。(如爆炸荷载) P(t) tr 3)随机荷载:(非确定性荷载)荷载在将来仼一时刻的数值无法事先确定。 (如地震荷载、风荷载) 三、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的,严格地说来都是无限自由度体系。计算困 难,常作简化如下 1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点,将一个无限自由度的问题简化成有限自 由度问题

4 三、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困 难，常作简化如下： 1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自 由度问题。 3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载） 2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P t P(t ) t tr P tr P

m1+am柱 m>>m梁 2 厂房排架水平振 时的计算简图 单自由度体系 么2个自由度 2个自由度 自由度与质量数不一定相等

2个自由度 5 y2 y1 2个自由度 自由度与质量数不一定相等 m m>>m梁 m +αm梁 I I 2I m+αm柱 厂房排架水平振 时的计算简图 单自由度体系

4个自由度 2个自由度 水平振动时的计算体系 构架式基础顶板简化成刚性块 多自由度体系 6

6 水平振动时的计算体系 多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块 θ(t) v(t) u(t) 4个自由度 m1 m2 m3 2个自由度

m(x 无限自由度体系 y(x,) 2、广义座标法:如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示 y(x,1)=∑a()sin krx 用几条函数曲线来描述体系的振动曲线 y(x,) 就称它是几个自由度体系,其中 0(x)22(x)…,2(x) k SI 是根据边界约束条件选取 的函数,称为形状函数 a()—称广义座标,为一组待定 y(x,1)=∑a9(x) k=1 参数,其个数即为自由度数,用此法可将 无限自由度体系简化为有限自由度体系 y

7 m(x) y(x,t) x 无限自由度体系 2、广义座标法： 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示 = = n k k l k x y x t a t 1 ( , ) ( )sin  用几条函数曲线来描述体系的振动曲线 就称它是几个自由度体系，其中 l kx sin —— 是根据边界约束条件选取 的函数，称为形状函数。 ak (t) ——称广义座标，为一组待定 参数，其个数即为自由度数，用此法可将 无限自由度体系简化为有限自由度体系。 x y x ( ), ( ),......... ( ) 1 2 x x x   n a1， a2，…….. an = = n k k k y x t a x 1 ( , )  ( ) y(x,t)

四、动力计算的方法 动力平衡法(达朗伯尔原理) P(1)=mi(t)P() my(t=l(t 运动方程 改写成P()-miv(t)=0 平衡方程 设其中-miv(t)=(1)I()一惯性力,与加速度成正比,方向相反 虚功原理(拉格朗日方程)都要用到抽象的虚位移概念 哈米顿原理(变分方程) 8

8 四、动力计算的方法 动力平衡法（达朗伯尔原理） P(t) = m  y (t) m P(t) − m  y (t) = 0 …………..运动方程 m 设其中 − m  y (t) = I(t) P(t) ＝I(t) …………..平衡方程 I(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反 P(t) = m  y (t) 改写成 虚功原理（拉格朗日方程） 哈米顿原理（变分方程）  都要用到抽象的虚位移概念 − m  y (t)

§15-2单自由度体系的自由振动 自由振动:体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因:体系在初始时刻(t=0)受到外界的干扰 静平衡位置 m获得初位移 m.获得初速度y 研究单自由度体系的自由振动重要性在于: 1、它代表了许多实际工程问题,如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础,包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括: 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼

9 §15-2 单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 静平衡位置 m获得初位移y m获得初速度  y  自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。 研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼………

运动微分方程的建立 方法:达朗伯尔原理应用条件:微幅振动(线性微分方程) 1、刚度法:研究作用于被隔离的质量上的 力,建立平衡方程。 力学模型 静平衡位置 k y s(t) n 质量m在任一时刻的位移y(1=y 重力W 1(t 弹性力S(1)=-ky()=-k(y1+y)恒与位移反向 惯性力/()=-m(0)=-m(j1+y4) (+a)+k(y1+y)=W 其中=W及=0上式可以简化为 myd+ kyd=0 或 my+ky=0 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式,引用了刚度系数,称刚度法

10 一、运动微分方程的建立 方法：达朗伯尔原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程） 1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的 力，建立平衡方程。 m . . yj . yd 静平衡位置 质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd k 力学模型 . y m m d W S(t) I(t) + 重力 W 弹性力 ( ) ( ) ( ) j d S t = −k y t = −k y + y 恒与位移反向 惯性力 ( ) ( ) ( ) j d I t = −m  y  t = −m  y  +  y  m( y  j +  y  d ) + k( y j + yd ) = W ……………(a) 其中 kyj=W 及  y  j = 0 上式可以简化为 m  y  d + kyd = 0 或 m  y  + k y = 0 ....................................(b) 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法