合肥工业大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 动量矩定理

第十二章动量矩定理

第十二章 动量矩定理

§1动量矩的概念 B 质点的动量矩 回顾:力对点的矩 M(F)=r×F MO(F)O 若rxi+yf+zk F=Xi+rj+zk 大小:|M(F)|=2S △OAB 方向:按右手螺旋规则定

§1 动量矩的概念 一、质点的动量矩 回顾： Mo(F)= r×F x o z y F r m MO(F) 若 r=xi+yj+zk F=Xi+Yj+Zk 则 大小：│Mo(F) │ =2S△OAB 方向：按右手螺旋规则定。 B A 力对点的矩 F r m MO(F) F r m MO(F) F r m MO(F)

质点A的动量对固定点O的矩 F B Mo(mv)=r×m my Mo(mv) A B A (mv)xy 大小= mursing=2S△oAB 动量对固定轴z的矩: 方位:过O且⊥△OAB;[M(m)]2=M(m) 指向:按右手螺旋规则定。 ±2S △OA"B

Mo(mv)= r×mv A' (mv)xy x o z y mv r B B' F 大小= mv·rsinφ=2S△OAB 动量对固定轴z的矩： 方位：过O且⊥△OAB； 指向：按右手螺旋规则定。 φ [Mo(mv)]z = M z(mv) =±2S△OA'B' 质点A的动量对固定点O的矩： MO(mv) A' (mv)xy mv r B' F φ MO(mv) A' (mv)xy mv r B' F φ MO(mv) F mv r MO(mv) A' (mv)xy B' A

结论: ·质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩 M(mν)=r×mv 矢量 质点的动量m在Ox平面内的投影(m)对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影,等于质点 对z轴的动量矩,即 Mo(mv)lz m,(mv) 代数量 动量矩的量刚为ML2T1(kgm2/S)

• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。 [Mo(mv)]z = M z(mv) • 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg·m2 /S） 代数量 矢量 • 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即 • 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。 Mo（mv）= r×mv 结论：

二、质点系的动量矩 质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和(即质点系动量对点O 的主矩): 对定点 矢量 质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同 轴z的动量矩的代数和,即 对定轴 代数量

二、质点系的动量矩 质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）： 质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即 对定点 对定轴 矢量 代数量

例12-1已知均质杆质量为m,长为l,绕轴以匀角速度o 作圆锥摆动,圆锥顶角为2θ。求该杆对z轴的动量矩 解:沿杆轴线取坐标轴x 则微元体 n 得 o sin e 解毕

例12-1 已知均质杆质量为m，长为l，绕z轴以匀角速度ω 作圆锥摆动，圆锥顶角为2。求该杆对z轴的动量矩。 解：沿杆轴线取坐标轴x。 则微元体 得 解毕

质点系的动量矩矢Lo在直角坐标系Oxyz 中的投影为: 即 质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩

质点系的动量矩矢Lo在直角坐标系Oxyz 中的投影为： 质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。 即

问题: 质点系的动量p=∑mv1=Mve 质点系的动量矩L0=M。(Mv 例12-1已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球,系统绕 水平0轴以角速度ω转动,求系统对0轴的动量矩 A B 系统对O轴的动量矩为: 从本例可以知道,系统质心的速度虽然为零,系统对O 轴的动量矩并不等于零。计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩

O A B 问题： • 质点系的动量 p =∑mivi • 质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？ l l ω 例12-1 已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统绕 水平O轴以角速度ω转动，求系统对O轴的动量矩。 系统对O轴的动量矩为： = Mvc vA vB = ·l = ·l 从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O 轴的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩

例12-2已知均质杆m,l,0,则杆的动量为 p= mv=mol/2 杆对0轴的动量矩为 Lo=MoVe) =(mo2)(l2 m0124 A 如何计算0A杆对0轴的动量矩? ③按照定轴转动刚体的动量矩计算方法

A 例12-2 ω vC O 已知均质杆m，l，ω， p = mvc = mωl/2 杆对O轴的动量矩为 Lo = M o(Mvc) = (mωl/2)·(l/2) = mωl2 /4 C ？ 则杆的动量为 ω vC C  如何计算OA杆对O轴的动量矩？  按照定轴转动刚体的动量矩计算方法

特例:定轴转动刚体的动量矩 iy 令 mn 7.7 L 2-J 刚体对z轴的转动惯量

特例：定轴转动刚体的动量矩 令 ω mivi z ∴ L 刚体对z轴的转动惯量 z =Jzω ri mivi mi