《理论力学 Theoretical Mechanics》课程PPT教学课件（动力学）第十五章 虚位移原理

第十五章虚位移原理 约束、虚位移、虚功 虚位移原理 虚位移原理的应用

第十五章 虚位移原理 约束、虚位移、虚功 虚位移原理 虚位移原理的应用

§15-1约束、虚位移、虚功 约束 约束:对质点自由运动的限制条件 约束方程:限制条件的数学表达式 图示曲柄连杆机构: 铰链O的约束方程为: 0 0 滑道B的约束为:yB=0 A AB杆的约束为: B(x1-xn)+(y-yn)=12 O

§15-1 约束、虚位移、虚功 一、约束 约束：对质点自由运动的限制条件 约束方程：限制条件的数学表达式 φ ω A B x y O l β 图示曲柄连杆机构： 铰链 O 的约束方程为： = 0, = 0 O O x y 滑道 B 的约束为： yB = 0 AB 杆的约束为 ： ( ) ( ) 2 2 2 x x y y l A − B + A − B =

约束一物体运动所受到的限制 约束可进一步区分为: 双面约束与单面约束 2y2=0双面约束 纺还是双面约束? y2≥0(单面约束

双面约束与单面约束 约 束－物体运动所受到的限制 单面约束还是双面约束？ 约束方程？ = 0(双面约束) B y  0(单面约束) B y B B y x O y x O 约束可进一步区分为：

引言 分析动力学的基本概念 双面约束与单面约束 O 单面束是面约束? A 2+y2=12(双面约束) x2+y2≤12(单面约束)

y x O 引 言 分析动力学的基本概念 双面约束与单面约束 单面约束还是双面约束？ 约束方程？ ( ) x 2 + y 2 = l 2 双面约束 ( ) x 2 + y 2  l 2 单面约束 y x O A A A0 l A0 l

约束一物体运动所受到的限制 定常约束与非定常约束 定常约束(稳定约束)一约束方程中不显含时间的约束: f()=0,i=1,2;…,m(质点数;j=1,2;…,S(约束数) 非定常约束(不稳定约束)一约束方程中显含时间的约束: f(,t)=0,i=1,2;…;n(质点数);j=1,2…,s(约束数)

定常约束与非定常约束 定常约束（稳定约束）－约束方程中不显含时间的约束： f (r ) 0,i 1,2, , n(质点数)；j 1,2, ,s(约束数) j i = =  =   约 束－物体运动所受到的限制 非定常约束（不稳定约束）－约束方程中显含时间的约束： f (r ，t) 0,i 1,2, , n(质点数)；j 1,2, ,s(约束数) j i = =  =  

完整约束与非完整约束 完整约束—约束方程不包含质点速度 f(7)=0, i=12,…,n(质点数;j=1,2;…,s(约束数) 非完整约束—约束方程包含质点速度 f(7,)=0, i=1,2…,m(质点数);j=1,2;…,s(约束数) 稳定的完整约束约束方程不包含时间t以及质 点速度

完整约束与非完整约束 完整约束 —— 约束方程不包含质点速度。 非完整约束—— 约束方程包含质点速度 1 2 ( ) 1,2, , ( ) ( ) 0, i , , ,n 质点数 ；j s 约束数 f r j i =  =  =  i , , ,n j s ) f r r j i i 质点数 ； 约束数 ， 1 2 ( ) 1,2, , ( ( ) 0, =  =  =    稳定的完整约束—— 约束方程不包含时间 t 以及质 点速度

虚位移(可能位移) 1、定义在满足约束条件的前提下,质点系所可能发 生的任何微小位移 图示曲柄连杆机构: A点的位移C B op 6B点的位移d OA杆的转角O 都是虚位移

二、虚位移（可能位移） 1、定义 在满足约束条件的前提下，质点系所可能发 生的任何微小位移。 图示曲柄连杆机构： A点的位移 A r   B点的位移 B r   OA杆的转角   都是虚位移。 A r   B r     φ A B x y O l

虚位移和实位移的区别 实位移:在载荷作用下,质点系所发生的实际位移。 实位移:由载荷和约束共同决定, 具有确定的大小和方向 用:c,dx,dhv,d,表示 虚位移:仅为可能发生,实际不一定发生的位移。 仅由约束条件确定,与载荷无关, 具有任意性。 用:F,Ox26y,q,表示。 B d(rO 现以图示曲柄连杆机 构的情况说明之

2、虚位移和实位移的区别 实位移： 在载荷作用下，质点系所发生的实际位移。 实位移：由载荷和约束共同决定， 具有确定的大小和方向 虚位移： 仅为可能发生，实际不一定发生的位移。 仅由约束条件确定，与载荷无关， 具有任意性。 φ A B x y O l 现以图示曲柄连杆机 构的情况说明之。 用： dr, dx, dy, d,  表示。 用：  r,  x,  y, ,  表示

虚功 虚功:质点或质点系所受的力在虚位移上所做的功 虚功的计算方法与实功相似 例如:力户在虚位移OF,所做的虚功为: OW=F·6F 由于虚位移是假想的,所以,虚功也是假想的。 四、理想约束 定义:在质点系的虚位移中,约束反力的虚功等于 零,该约束称为理想约束 理想约∑W=∑F,O7=0

三、虚功 虚功： 质点或质点系所受的力在虚位移上所做的功 虚功的计算方法与实功相似 W F r    =  例如：力 F 在虚位移 ，所做的虚功为：  r   由于虚位移是假想的， 所以，虚功也是假想的。 四、理想约束 定义： 在质点系的虚位移中，约束反力的虚功等于 零，该约束称为理想约束 理想约束 的条件：  =  i = 0 N Ni W F r    

§15-2虚位移原理 原理的叙述 对于具有理想约束的质点系,其平衡的充要条件为: 作用在质点系上所有的主动力在任何虚位移上所作的虚功 的和等于零。 数学表达式为:∑W=∑F,O元=0 Fm,成∑(20x+F8y+2)=0 式中:作用在质点系上的主动力 Sr 6第i个质点的虚位移

§15-2 虚位移原理 一、原理的叙述 对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件为： 作用在质点系上所有的主动力在任何虚位移上所作的虚功 的和等于零。 数学表达式为：  =   = 0 i i W F r     或： (Fxi xi + Fyi yi + Fzi zi ) = 0 式中： Fi  作用在质点系上的主动力 i r   第 i 个质点的虚位移 mi FN i  i r   Fi 