南京大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lecture 15 循环群与群同构

1 循环群与群同构

循环群与群同构 1

回顾 2 问题1：什么叫做群的子群，如何判别之？ 口非空子集+封闭、结合律、单位元、逆元 口判定：根据定义或三个判定定理 问题2：子群一定存在么，若存在则满足什么 性质？ 口一定存在平凡子群 ▣子群H的所有陪集构成母群G的一个划分 口拉格朗日定理及其推论：有限群的子群阶是母群阶 的因子、有限质数阶群没有非平凡子群、有限质数 阶群一定是循环群

回顾  问题1：什么叫做群的子群，如何判别之？  非空子集 + 封闭、结合律、单位元、逆元  判定：根据定义或三个判定定理  问题2：子群一定存在么，若存在则满足什么 性质？  一定存在平凡子群  子群H的所有陪集构成母群G的一个划分  拉格朗日定理及其推论：有限群的子群阶是母群阶 的因子、有限质数阶群没有非平凡子群、有限质数 阶群一定是循环群 2

本节提要 3 ▣问题1：什么是循环群？ 口问题2：循环群的子群是否存在、如何构造？ 口问题3：循环群是否存在统一的规律性？

本节提要  问题1：什么是循环群？  问题2：循环群的子群是否存在、如何构造？  问题3：循环群是否存在统一的规律性？ 3

循环群与生成元 4 定义（循环群）： 设(G,*)为循环群(cyclic group)指： (3a∈G)(G=(a) 这里，(a〉={a|n∈Z,a称为G之生成元 (generator)

4  循环群与生成元

循环群与生成元（续) 5 定义（有限循环群)：若循环群G的生成元a 的阶为n,则称G为有限循环群， 即n阶循环 群：G={a°，al,a2,…,an-1,其中a°为么 定义（无限循环群）：若循环群G的生成元α 为无限阶元，则称G为无限循环群：G= {a0,a1,at2,…},其中a0为么

5  循环群与生成元（续）

例 6 例1：无限循环群亿，+) (亿，+〉是循环群，恰有2个生成元：1和一1 :n为Z之生成元台Z=(n)台(3k∈Z)nk= 1台(3k∈Z)(k·n=1)台n∈{1，-1 “.1和一1均是其生成元

6  例

例 。例2：有限循环群 模6剩余加群(Z6,⊕6)是循环群，恰有2个生成 元：1和5 50=0,51=5,52=4, 53=3,54=2,55=1

7  例

例 8 例3：非循环群 Klein四元群(V,*)不是循环群，因为对任何 x∈V,(x）={e,x}: 米 e a b e e a b c a a e b b b C e a c b a e

8  例

无限循环群的生成元 9 8命题：若a是无限循环群的生成元，则a-1也 是该无限循环群的生成元 >设群G=(a）={aka∈G,k∈Z,ak= (a-1)-k,令p=-k,则G={(a-1)Plp∈Z ,故G=(a-1〉

9  无限循环群的生成元

无限循环群的生成元（续） 10 命题：无限循环群有且只有2个生成元 ●：设群G=(a）={ak|a∈G,k∈Z,若b亦为G的 生成元，则：(3m,t∈Z)(am=b∧bt=a),故 a=bt=(am)t=amt,由消去律，amt-1=e a是无限阶元∴.mt-1=0→(m=t=1)V (m=t=-1),故有b=a或者b=a-1

10  无限循环群的生成元（续）