南京大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lecture 02 几何概型、条件概率与独立性

1 几何概型

几何概型 1

几何概型 2 口早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑 有限个等可能样本点的古典方法是不够的。 ▣把等可能推广到无限个样本点场合，人们引入 了几何概型，由此形成了确定概率的另一方法： 几何方法

几何概型  早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑 有限个等可能样本点的古典方法是不够的。  把等可能推广到无限个样本点场合，人们引入 了几何概型，由此形成了确定概率的另一方法： 几何方法。 2

几何概型定义 3 设有一个可度量区域2（可以是1维，2维或3维区 域)，向2内任意投点M,M落于2内任一点等可 能，且落在Ω内任何子区域A内上的可能性与A的 测度成正比，而与A的位置和形状无关，则称该 试验为几何概型试验，定义M落在A中的概率为 P(A)= A的几何测度 (A) Ω的几何测度 u(2) 口特点 ▣无限性：样本空间无限 口等可能性：每个样本点发生的可能性相同

几何概型定义  设有一个可度量区域𝛀(可以是1维，2维或3维区 域)，向𝛀内任意投点𝑴，𝑴落于𝛀内任一点等可 能，且落在𝛀内任何子区域𝑨内上的可能性与𝑨的 测度成正比，而与𝑨的位置和形状无关，则称该 试验为几何概型试验，定义𝑴落在𝑨中的概率为 𝑷 𝑨 = 𝑨的几何测度 𝛀的几何测度 = 𝝁(𝑨) 𝝁(𝛀)  特点  无限性：样本空间无限  等可能性：每个样本点发生的可能性相同 3

例：约会问题 4 甲乙约定在6到7点间随机到达某地会面，并约定先到者 应等候另一个人一刻钟，过时离去，求两人能会面的概率。 解：以x,y分别表示甲乙两人在该小时内到达的分钟数，则 两人能会面的充要条件是：|x-y川≤15 (x,y)所有可能结果是 60 边长为60的正方形， y-x=15 图中阴影表示可会面 的区域。 设A:两人能会面 x-y=15 602-452 15 P(A) (A) u(2) 602 015 60 X

例：约会问题  甲乙约定在6到7点间随机到达某地会面，并约定先到者 应等候另一个人一刻钟，过时离去，求两人能会面的概率。 解：以𝒙,𝒚分别表示甲乙两人在该小时内到达的分钟数，则 两人能会面的充要条件是： 𝒙 − 𝒚 ≤ 𝟏𝟓 4 0 15 15 60 60 y x  (𝒙, 𝒚)所有可能结果是 边长为60的正方形， 图中阴影表示可会面 的区域。  设𝑨:两人能会面 𝑷 𝑨 = 𝝁(𝑨) 𝝁(𝛀) = 𝟔𝟎 𝟐 − 𝟒𝟓 𝟐 𝟔𝟎 𝟐

例：取数问题 5 在区间[0,1]内任取两个数，求事件A:两个数乘 积小于1/4的概率。 解：设任取的两数为X,y,则 2={(x,y)I0≤x,y≤1，A={(x,y)川xy<1/4 xy=1/4 u(2)=1 1 u(A)= 1/4 P(A)= (A) u(2) =4 2n2 1/4

例：取数问题  在区间[𝟎, 𝟏]内任取两个数，求事件𝑨:两个数乘 积小于1/4的概率。 解：设任取的两数为𝒙, 𝒚,则 𝛀 = 𝐱, 𝐲 𝟎 ≤ 𝒙, 𝒚 ≤ 𝟏 , 𝑨 = {(𝒙, 𝒚)|𝒙𝒚 < 𝟏/𝟒} 5 xy=1/4 1 1 A 1/4 𝝁 𝛀 = 𝟏 𝝁 𝑨 = 𝟏 𝟒 + න 𝟏/𝟒 𝟏 𝟏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟐 ln 𝟐 ∴ 𝑷 𝑨 = 𝝁(𝑨) 𝝁(𝛀) = 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟐 ln 𝟐

例：蒲丰投针(1777) 6 在平面上有等距离的平行线，平行线间的距离 为2a(a>0),在该平面任意投掷一枚长为2l (L<α)的针，求该针与任一平行线相交的概率

例:蒲丰投针（1777）  在平面上有等距离的平行线，平行线间的距离 为𝟐𝒂 (𝒂 > 𝟎),在该平面任意投掷一枚长为𝟐𝒍 （𝒍 < 𝒂)的针，求该针与任一平行线相交的概率. 6

例：蒲丰投针 0 解：设M为针的中点，x表示M到最近平行线的 距离，0为针与此直线的夹角，则有 2={0≤X≤a,0≤0≤π} 21 针与最近的一条平行线 相交的充要条件是 20 M x≤lsin0 X

例:蒲丰投针  解：设M为针的中点，𝒙表示M到最近平行线的 距离，𝜽为针与此直线的夹角，则有 𝛀 = {𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅} 7 • 2a  x M 2l 针与最近的一条平行线 相交的充要条件是 𝑥 ≤ 𝑙 sin𝜃

例：蒲丰投针 8 口2={0≤x≤a,0≤0≤π} A={x≤Isin0} a x=Isin0 x≤lsinθ 所求概率为 元 P(A)= (A) Isinede 21 二 u(2) πa 元

例:蒲丰投针  𝛀 = 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅 𝑨 = {𝒙 ≤ 𝒍 sin𝜽} 所求概率为 𝑷 𝑨 = 𝝁(𝑨) 𝝁(𝛀) = ��׬ 𝝅 𝒍 sin𝜽 𝒅𝜽 𝝅𝒂 = 𝟐𝒍 𝝅𝒂 8 x a  x l = sin  𝒙 ≤ 𝒍 sin𝜽

例：蒲丰投针 9 如果l和a已知，则以π值代入上式可以求出p= P(A). ▣反之，可用上式求π的近似值：以试验频率近似 概率。 ▣投针N次，其中针与平行线相交n次，以频率n/N 作为概率卫的近似值，代入上式有： 2IN π≈ an

例:蒲丰投针  如果𝒍和𝒂已知，则以𝝅值代入上式可以求出𝒑 = 𝑷 𝑨 .  反之，可用上式求𝝅的近似值：以试验频率近似 概率。  投针N次，其中针与平行线相交𝒏次，以频率𝒏/𝑵 作为概率𝒑的近似值，代入上式有： 𝝅 ≈ 𝟐𝒍𝑵 𝒂𝒏 9

例：蒲丰投针（历史实验） 10 2IN π≈ an 试验者 针长L 投掷次数N 相交次数n π近似值 Wolf1850年 0.8 5000 2532 3.1596 Smith1855年 0.6 3204 1219 3.1554 De Morgan1860年 1.0 600 383 3.137 Lazzerini1901年 0.83 3408 1808 3.141592 统计模拟方法：蒙特卡洛(Monte Carlo)法

例:蒲丰投针(历史实验） 10 𝝅 ≈ 𝟐𝒍𝑵 𝒂𝒏 试验者 针长l 投掷次数N 相交次数n π近似值 Wolf 1850年 0.8 5000 2532 3.1596 Smith 1855年 0.6 3204 1219 3.1554 De Morgan 1860年 1.0 600 383 3.137 Lazzerini 1901年 0.83 3408 1808 3.141592 统计模拟方法：蒙特卡洛(Monte Carlo)法