南京大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lecture 10 极限理论

1 极限理论

极限理论 1

极限理论 2 口大数定律(laws of large numbers)) 口随机变量序列的均值收敛问题 口中心极限定理(central limit theorems) 口随机变量的和的正态分布

极限理论  大数定律(laws of large numbers) 随机变量序列的均值收敛问题  中心极限定理(central limit theorems) 随机变量的和的正态分布 2

实例 3 测量一个工件，由于测量具有误差，以各 次的平均值作为测量结果，只要仪器准确 且测量的次数足够多，总可以达到要求的 精度。这反映了什么统计规律？ 口数学表达：如果工件的测量值真值为α，第 n次测量值为Xn,则{Xn}就是一个独立同分 布，均值为α的随机变量序列

实例  测量一个工件，由于测量具有误差，以各 次的平均值作为测量结果，只要仪器准确 且测量的次数足够多，总可以达到要求的 精度。这反映了什么统计规律？  数学表达：如果工件的测量值真值为𝒂，第 𝒏次测量值为𝑿𝒏,则{𝑿𝒏}就是一个独立同分 布，均值为𝒂的随机变量序列。 3

实例 4 口测量的经验就是：当n充分大时，n次测量 的平均值 1 =二(X1+X2+…+Xn) n 应该和真值a很接近。 ▣大量测量值的算术平均值具有稳定性，这 就是大数定律的反映

实例  测量的经验就是：当𝒏充分大时，𝒏次测量 的平均值 𝑿ഥ = 𝟏 𝒏 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 应该和真值𝒂很接近。  大量测量值的算术平均值具有稳定性，这 就是大数定律的反映。 4

依概率收敛 5 ▣设Y1,Y2,…,Yn,…是随机变量序列，a是一 个常数，若对任意∈>0，有 lim P(Yn-al<e=1 n→0o 或 lim P(Yn-al≥e}=0 n→0o 则称Y1,Y2,…,Ynw.依概率收敛于a,记为 YnBa ▣注意区别于数列的收敛性

依概率收敛  设𝒀𝟏, 𝒀𝟐,… , 𝒀𝒏, …是随机变量序列，𝒂是一 个常数；若对任意𝝐 > 𝟎，有 lim 𝒏→∞ 𝑷 𝒀𝒏 − 𝒂 < 𝝐 = 𝟏 或 lim 𝒏→∞ 𝑷 𝒀𝒏 − 𝒂 ≥ 𝝐 = 𝟎 则称𝒀𝟏, 𝒀𝟐,… , 𝒀𝒏, …依概率收敛于𝒂，记为 𝒀𝒏 → 𝑷 𝒂  注意区别于数列的收敛性 5

连续映射定理 6 口若Xn号a,函数g)在点a处连续，则 P g(Xn)→g(a) P P 若Xn→a,Yn→b,函数g(,)在点(a,b)处 连续，则 P g(xnYn)→g(a,b) 口例：Xn+Yn→a+b,XYn ab

连续映射定理  若𝑿𝒏 → 𝑷 𝒂，函数𝒈 ⋅ 在点𝒂处连续，则 𝒈(𝑿𝒏) → 𝑷 𝒈(𝒂)  若𝑿𝒏 → 𝑷 𝒂，𝒀𝒏 → 𝑷 𝒃，函数𝒈 ⋅,⋅ 在点(𝒂,𝒃)处 连续，则 𝒈(𝑿𝒏,𝒀𝒏) → 𝑷 𝒈(𝒂,𝒃) 例： 𝑿𝒏 + 𝒀𝒏 → 𝑷 𝒂 + 𝒃, 𝑿𝒏𝒀𝒏 → 𝑷 𝒂𝒃 6

大数定律：定义 7 设X1,…,X,…是随机变量序列，对任意e>0,有 ▣P2x空E,L P2空小-u 或】 即 xΣx n k= n k=l 则称{X,}服从大数定律。 随机变量的平均值依概率趋向于它们数学期望的平均值

大数定律：定义 7 随机变量的平均值依概率趋向于它们数学期望的平均值

马尔可夫大数定律 8 定理： 设随机序列Xn}满足之D(∑k=1Xk)→0(n→oo), 则{Xn}服从大数定律. 证：0sP2x2x2 切比雪夫不等式 -x.-EEx)esDzx)ie D2X)/e2→0. 四P2x之x小-0即得

马尔可夫大数定律 8 定理： 设随机序列{𝑿𝒏}满足 𝟏 𝒏𝟐 𝑫 σ𝒌=𝟏 𝒏 𝑿𝒌 → 𝟎 𝒏 → ∞ ， 则{𝑿𝒏}服从大数定律. 切比雪夫不等式

切比雪夫大数定律 9 定理 设{X}为两两互不相关的随机变量序列，且存在常数 C,使得对每个随机变量Xk,D(Xk)≤C,k=1,2,…, 则{Xn服从大数定律. 不相关 k=1 由马尔可夫大数定律 lim plxE0. 1→c0 k=1

切比雪夫大数定律 9 定理： 设{𝑿𝒏}为两两互不相关的随机变量序列，且存在常数 𝑪,使得对每个随机变量𝑿𝒌,𝑫(𝑿𝒌) ≤ 𝑪,𝒌 = 𝟏,𝟐, … , 则{𝑿𝒏}服从大数定律

独立同分布大数定律 10 定理 设{Xn}为独立同分布的随机变量序列，其E(Xk)= u,D(Xk)=o均存在，则{Xn}服从大数定律，亦即 k=1 注： 口该定理是切比雪夫大数定律的特殊情形。 0 该定理条件D(Xk)=σ2可以省去，即只需期望存 在。（被称为辛钦大数定律）

独立同分布大数定律 注：  该定理是切比雪夫大数定律的特殊情形。  该定理条件𝑫 𝑿𝒌 = 𝝈 𝟐可以省去，即只需期望存 在。（被称为辛钦大数定律） 10 定理： 设{𝑿𝒏}为独立同分布的随机变量序列，其𝑬(𝑿𝒌) = 𝝁,𝑫 𝑿𝒌 = 𝝈 𝟐均存在，则{𝑿𝒏}服从大数定律，亦即 𝟏 𝒏෍𝒌=𝟏 𝒏 𝑿𝒌 → 𝑷 𝝁