南京大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lecture 05 条件期望、方差

1 条件期望

条件期望 1

条件期望 2 类似于条件概率，常需要在某事件发生的条件下， 对随机变量进行分析 ▣在事件A的条件下，随机变量X的条件期望可定义 为 EXIA=∑ xP(X xlA) X 其中，求和是对X所有可能取值而言。这里， P(X=x|A)被称为事件A的条件下的X的条件分布 律

条件期望  类似于条件概率，常需要在某事件发生的条件下， 对随机变量进行分析  在事件𝑨的条件下，随机变量𝑿的条件期望可定义 为 𝑬[𝑿 | 𝑨] = ෍ 𝒙 𝒙𝑷 𝑿 = 𝒙 𝑨) 其中，求和是对𝑿所有可能取值而言。这里， 𝑷 𝑿 = 𝒙 𝑨)被称为事件𝑨的条件下的𝑿的条件分布 律。 2

条件期望 3 口特别地， EXIY==∑xP(X=xIY=y) 例：随机抛骰子两次。X1:第一个点数；X2:第二个点数；X:点 数和 4 E[K1K=5]= x=1 p=1x=)=∑京 8 KX=习x==2)-∑，后号 11 X=3

条件期望  特别地， 𝑬[𝑿 | 𝒀 = 𝒚] = ෍𝒙 𝒙𝑷 𝑿 = 𝒙 𝒀 = 𝒚)  例：随机抛骰子两次。𝑿𝟏:第一个点数；𝑿𝟐:第二个点数；𝑿: 点 数和 𝑬 𝑿𝟏 𝑿 = 𝟓 = ෍ 𝒙=𝟏 𝟒 𝒙𝑷 𝑿𝟏 = 𝒙 𝑿 = 𝟓) = ෍𝒊=𝟏 𝟒 𝒙 𝟏 𝟒 = 𝟓 𝟐 𝑬 𝑿 𝑿𝟏 = 𝟐 = ෍ 𝒙=𝟑 𝟖 𝒙𝑷 𝑿 = 𝒙 𝑿𝟏 = 𝟐 = ෍𝒙=𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟔 = 𝟏𝟏 𝟐 3

全期望公式 4 类似于全概率公式，我们有 口对于随机变量X和Y, E[X=∑P(Y=y)ExIY=yI y 这里假设所有的期望均存在。 证明：基于条件概率和条件期望的定义即可

全期望公式 类似于全概率公式，我们有  对于随机变量𝑿和𝒀, 𝑬 𝑿 = ෍ 𝒚 𝑷 𝒀 = 𝒚 𝑬[𝑿 | 𝒀 = 𝒚] 这里假设所有的期望均存在。 证明：基于条件概率和条件期望的定义即可。 4

例：几何分布的期望 5 口设XG(p),利用全期望公式证明E(X) 口X:重复伯努利试验直至事件A发生的次数 思路：根据第一次试验中事件A是否发生分情况讨 论 Y= 1第一次试验中A发生 o 否则

例：几何分布的期望  设𝑿~𝑮(𝒑)，利用全期望公式证明𝑬 𝑿 = 𝟏 𝒑 .  𝑿: 重复伯努利试验直至事件𝑨发生的次数  思路：根据第一次试验中事件𝑨是否发生分情况讨 论 𝒀 = ቊ 𝟏 第一次试验中𝑨发生 𝟎 否则 5

例：几何分布的期望 根据全期望公式 E[X]=P(Y=0)EXY=0]+PY=1)E XY=1 口Y=1意味着X=1,所以E[XIY=1]=1 口Y=0条件下，假设还需要Z次试验，则 E[XY=0]=E[Z+1]=E[Z☑+1 由几何分布的无记忆性，X和Z同分布，E[X)]=E[Z] 因此，E[X=(1-p)(E[X]+1)+p,解得E[X=1 利用条件期望是计算期望的一种有效手段， 尤其是结合几何分布的无记忆性

例：几何分布的期望  根据全期望公式 𝑬[𝑿] = 𝑷 𝒀 = 𝟎 𝑬 𝑿 𝒀 = 𝟎] + 𝑷 𝒀 = 𝟏 𝑬 𝑿 𝒀 = 𝟏]  𝒀 = 𝟏意味着𝑿 = 𝟏,所以𝑬 𝑿 𝒀 = 𝟏] =1  𝒀 = 𝟎条件下，假设还需要𝒁次试验，则 𝑬 𝑿 𝒀 = 𝟎] = 𝑬 𝒁 + 𝟏 = 𝑬 𝒁 + 𝟏 由几何分布的无记忆性，𝑿和𝒁同分布，𝑬 𝑿 = 𝑬 𝒁 . 因此，𝑬 𝑿 = 𝟏 − 𝒑 𝑬 𝑿 + 𝟏 + 𝒑,解得𝑬 𝑿 = 𝟏 𝒑 . 6 利用条件期望是计算期望的一种有效手段， 尤其是结合几何分布的无记忆性

条件期望的线性性质 对于有限个离散随机变量X1,X2,…,Xn,以及常 数C1,C2,…,Cn有 E1cXIY=y=∑cEIX:IY= i=1

条件期望的线性性质  对于有限个离散随机变量𝑿𝟏,𝑿𝟐,… ,𝑿𝒏，以及常 数𝒄𝟏, 𝒄𝟐,…, 𝒄𝒏,有 𝑬 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝒄𝒊𝑿𝒊 𝒀 = 𝒚 = ෍ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒄𝒊𝑬 𝑿𝒊 𝒀 = 𝒚]. 7

条件期望定义的随机变量 8 EXIY=y=∑xP(X=xY=y) X EX Y 将事件Y=y映射成E[XY=y]的随机变量 E[X|Y]是一个随机变量f(Y),且当Y=y时， f(Y)取值为EXIY=y]

条件期望定义的随机变量 𝑬 𝑿 𝒀 = 𝒚 = ෍ 𝒙 𝒙𝑷(𝑿 = 𝒙|𝒀 = 𝒚) 8 𝑬[𝑿|𝒀] 将事件𝒀 = 𝒚映射成𝑬 𝑿 𝒀 = 𝒚 的随机变量 𝑬 𝑿 𝒀 是一个随机变量𝑓(𝑌)，且当𝑌 = 𝑦时， 𝑓(𝑌)取值为𝑬 𝑿 𝒀 = 𝒚

例 9 随机抛骰子两次。X1:第一个点数；X2:第二个 点数；X:点数和 ExIx1=∑ xP(X=xlX1) 1父 X1+6 1 6=X1+2 x=X1+1 Exx=EX+引=7 EX

例  随机抛骰子两次。𝑿𝟏:第一个点数；𝑿𝟐:第二个 点数；𝑿: 点数和 𝑬 𝑿 𝑿𝟏 = ෍𝒙 𝒙𝑷(𝑿 = 𝒙|𝑿𝟏) = ෍ 𝒙=𝑿𝟏+𝟏 𝑿𝟏+𝟔 𝒙 𝟏 𝟔 = 𝑿𝟏 + 𝟕 𝟐 9 𝑬 𝑬 𝑿 𝑿𝟏 = 𝑬 𝑿𝟏 + 𝟕 𝟐 = 𝟕 = 𝑬[𝑿]

E[X|Y门的性质 10 定理：EE[XIY]=E[X] o证明：记E[X|Y]=f(Y) E[X IY]1=∑f)P(Y=) =∑EXIY=yPY=D=ELN刈

𝑬 𝑿 𝒀]的性质  证明：记𝑬 𝑿 𝒀] = 𝒇 𝒀 𝑬[𝑬 𝑿 𝒀]] = ෍ 𝒚 𝒇 𝒚 𝑷 𝒀 = 𝒚 = ෍ 𝒚 𝑬 𝑿 𝒀 = 𝒚]𝑷(𝒀 = 𝒚) = 𝑬[𝑿] 10 定理：𝐸 𝐸 𝑋 𝑌 = 𝐸 𝑋