南京大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lecture 13 群伦导引

1 群伦导引

群伦导引 1

回顾 2 口1：等价关系与等价类 等价关系：自反、对称、传递；等价关系将元素分成等 价类；所有等价类的集合为商集，商集即划分 口2：偏序关系、偏序集及其特殊元素、偏序格 口偏序关系：自反、反对称、传递；偏序集；哈斯图 口偏序集中的特殊元素：最大元、最小元、极小元、极大 元；上届、上确界、下届、下确界 口偏序格：任意两个元素均有上下确界；对偶原理

回顾  1：等价关系与等价类  等价关系：自反、对称、传递；等价关系将元素分成等 价类；所有等价类的集合为商集，商集即划分  2：偏序关系、偏序集及其特殊元素、偏序格  偏序关系：自反、反对称、传递；偏序集；哈斯图  偏序集中的特殊元素：最大元、最小元、极小元、极大 元；上届、上确界、下届、下确界  偏序格：任意两个元素均有上下确界；对偶原理 2

本节提要 3 口问题1：什么是代数系统？ ▣问题2：代数系统相关性质？ 口问题3：什么是群？ ▣问题4：群具有哪些性质？

本节提要  问题1：什么是代数系统？  问题2：代数系统相关性质？  问题3：什么是群？  问题4：群具有哪些性质？ 3

引言 口代数系统一般称为“抽象代数(abstract algebra)”或“近世代数”，20世纪初被 命名，但其研究的主要内容却于19世纪便 已开展 口代数系统研究的主要内容：代数结构、群、 环、域、模、向量空间、格、布尔代数、 李代数等等

 代数系统一般称为“抽象代数（abstract algebra）”或“近世代数”，20世纪初被 命名，但其研究的主要内容却于19世纪便 已开展  代数系统研究的主要内容：代数结构、群、 环、域、模、向量空间、格、布尔代数、 李代数等等 4 引言

运算的函数定义 口函数f:An→B称为（从A到B的）n元运算 口以下主要讨论二元运算 口例如：利用普通四则运算定义实数集上的一个 新运算“*”： X*y=X+y一Xy 则：2*3=-1；0.5*0.7=0.85

 函数𝑓:𝐴 𝑛 → 𝐵称为(从𝐴到𝐵的) 𝒏元运算 以下主要讨论二元运算 例如：利用普通四则运算定义实数集上的一个 新运算“∗”： 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒙 + 𝒚 − 𝒙𝒚 则：2 ∗ 3 = −1；0.5 ∗ 0.7 = 0.85 5 运算的函数定义

运算表 通常用于定义有限集合（一般元素很少）上的一 元或二元运算（如在集合{a,b,c,d上定义如下的运算*） a b d 米 a 1 ⑧ M b & 6 K M 7 6 0 口 d G

 通常用于定义有限集合(一般元素很少)上的一 元或二元运算 (如在集合{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}上定义如下的运算∗) * a b c d a 1   M b & 6 K M c 7 6 Q 0 d G # ~  6 运算表

运算的封闭性 口对于运算f:An→B,若B二A,则称该运算在集 合A上封闭(closeness) 口例： 口加法在自然数集上封闭，但减法在自然数集上不封闭 口减法在整数集上封闭，但除法在整数集上不封闭 口对集合A={1,2,3,…,10},gcd运算封闭，1cm则否

 对于运算𝑓:𝐴 𝑛 → 𝐵 ，若𝑩 ⊆ 𝑨，则称该运算在集 合𝐴上封闭（closeness）  例：  加法在自然数集上封闭，但减法在自然数集上不封闭  减法在整数集上封闭，但除法在整数集上不封闭  对集合𝐴 = {1,2,3, ⋯ , 10}，gcd运算封闭，lcm则否 7 运算的封闭性

例：证明运算封闭 普通加法在正整数集之子集A={n9|21n}上 封闭 口证明： ▣设x,y是A中任意元素，存在卫，q∈Z+,满足： 21x=9p,21y=9q,则21(x+y)=9(p+q), 由于p+q∈Z+,故9|21(x+y),即x+yEA.口

 普通加法在正整数集之子集𝑨 = 𝒏 𝟗|𝟐𝟏𝒏 上 封闭  证明： 设𝑥, 𝑦是𝐴中任意元素，存在𝑝, 𝑞 ∈ ℤ +，满足： 21𝑥 = 9𝑝，21𝑦 = 9𝑞，则21 𝑥 + 𝑦 = 9(𝑝 + 𝑞)， 由于𝑝 + 𝑞 ∈ ℤ +，故9|21(𝑥 + 𝑦)，即𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴. □ 8 例：证明运算封闭

代数系统（简称代数） 口定义（代数系统)： 口给定1个非空集合（其元素可以是任何对象)； 口给定1个或者若干个运算（以下主要讨论存在1个 二元运算的情况)； 口运算对上述集合封闭. 口记法：(S,) 口例子： 口整数集与普通加法：（亿，+〉构成代数系统

代数系统（简称代数）  定义（代数系统）： 给定1个非空集合（其元素可以是任何对象）； 给定1个或者若干个运算（以下主要讨论存在1个 二元运算的情况）； 运算对上述集合封闭.  记法： 𝑺, ∘  例子： 整数集与普通加法： ℤ, + 构成代数系统 9

例：一个较复杂的代数系统 ▣设集合S=R一{0,1}，定义S上的6个函数如下： ▣f1(x)=X, f2(x)=(1-x)-1 ▣f3(x)=x-1(x-1),f4(x)=x-1 ▣f5(x)=x(x-1)-1,f6(x)=1-x ▣则({f,f2,f3,f4,f5,f6},〉是代数系统，其中o是函数的 复合运算 只需考虑运算的封闭性。例如：f2of3=f1,∫4f5=f2 f3°f6=f4等

 设集合𝑆 = ℝ − {0,1} ，定义𝑆上的6个函数如下：  𝑓1 𝑥 = 𝑥, 𝑓2 𝑥 = 1 − 𝑥 −1  𝑓3 𝑥 = 𝑥 −1 𝑥 − 1 , 𝑓4 𝑥 = 𝑥 −1  𝑓5 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 −1 , 𝑓6 𝑥 = 1 − 𝑥  则 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , ∘ 是代数系统，其中∘是函数的 复合运算 只需考虑运算的封闭性。例如：𝒇𝟐 ∘ 𝒇𝟑 = 𝒇𝟏 , 𝒇𝟒 ∘ 𝒇𝟓 = 𝒇𝟐 , 𝒇𝟑 ∘ 𝒇𝟔 = 𝒇𝟒等 10 例：一个较复杂的代数系统