复旦大学：《卫生统计学》课程教学资源（PPT课件讲稿）06 常用概率分布——Poisson分布

常用概率分布 Poisson分布

1 常用概率分布 ---Poisson分布

Poisson分布的概念 口描述某罕见事件发生次数的概率 口罕见事件:z=mn很大,而x很小,z→0 细分 格子数n→>∞ 有限格子中有 细菌 L水 每个格子的大小恰丌 好容纳一个细菌

2 Poisson分布的概念  描述某罕见事件发生次数的概率  罕见事件: ,n很大,而x很小, x n  =  →0 每个格子的大小恰 好容纳一个细菌 1L水 细分 格子数 n → 有限格子 中有 细菌  0   = → 

Poisson分布的概念 口如果随机变量x的分布规律服从 元 P(x=e 称x服从参数为的 Poisson分布,x~m(4) 式中x为观察单位内罕见事件发生次数 X=0.12 λ为 Poisson分布的总体均数 递推公式P(x+1)=P()-x x+1

3  如果随机变量x的分布规律服从 称x服从参数为 的Poisson分布， 式中x为观察单位内罕见事件发生次数 x=0,1,2…… 为Poisson分布的总体均数 递推公式  ( ) ! x P x e x −  = Poisson分布的概念  x ~ ( )   ( 1) ( ) 1 P x P x x  + = +

Poisson分布的条件 口与二项分布相似 口平稳性(随机分布性):x的取值与观察单 位的位置无关,与观察单位的大小有关 口独立增量性:在某个观察单位上ⅹ的取值与 前面各观察单位上x的取值无关 口普通性:观察单位可以小到只有1个事件发 生,发生概率不变

4  与二项分布相似  平稳性（随机分布性）：x的取值与观察单 位的位置无关，与观察单位的大小有关  独立增量性：在某个观察单位上x的取值与 前面各观察单位上x的取值无关  普通性：观察单位可以小到只有1个事件发 生，发生概率不变 Poisson分布的条件

Poisson分布的概念 口服从 Poisson分布的罕见事件: ■均匀液体中的细菌分布 ■放射性物质单位时间内的放射次数 ■粉尘在观察容积内的分布 ■非传染性罕见疾病在人群中的分布

5 Poisson分布的概念  服从Poisson分布的罕见事件: ◼ 均匀液体中的细菌分布 ◼ 放射性物质单位时间内的放射次数 ◼ 粉尘在观察容积内的分布 ◼ 非传染性罕见疾病在人群中的分布

Poisson分布的形态 P(x P(X 04 04 03 0.2 02 0.1 0 0246810121416182022 024681012141618202 X 图43A取不同值时的 Poisson分布图

6 Poisson分布的形态

Poisson分布的形态 P(x) P(x 04 04 0.3 0.3 0.2 0.2 叶lu 0246810121416182022024681012141618202 X 图43A取不同值时的 Poisson分布图

7 Poisson分布的形态

Poisson分布的特点 形 离散分布 ■只取决于,元很小时分布很偏,当增加 时,逐渐趋于对称。 ■在x=λ和x=λ-1处达到峰值,且有 P(x=A)=P(x=2-1) 口 Poisson分布的总体均数与总体方差相等

8  形态： ◼ 离散分布 ◼ 只取决于 ， 很小时分布很偏，当 增加 时，逐渐趋于对称。 ◼ 在 和 处达到峰值，且有  Poisson分布的总体均数与总体方差相等， Poisson分布的特点    x =  x = −  1 P x P x ( ) ( 1) = = = −   

Poisson分布的特点 口 Poisson分布的观察结果具有可加性:如果 x1x,x相互独立,且分别服从以4,2,为 参数的 Poisson分布,则x+x+…+x也服从总 体参数为λ+2+…+的 Poisson分布 例:放射性物质平均每分钟放射记数为5,测 量3次,xx,x均服从Ⅲ(5),则(x1+x2+x)~∏(15) 即3分钟的放射记数服从∏15)

9  Poisson分布的观察结果具有可加性：如果 相互独立，且分别服从以 为 参数的Poisson分布，则 也服从总 体参数为 的Poisson分布 例：放射性物质平均每分钟放射记数为5，测 量3次， 均服从 ，则 即3分钟的放射记数服从 Poisson分布的特点 1 2 , ,... n x x x 1 2 , ,...   n 1 2 ... n x x x + + + 1 2 ...    + + + n 1 2 3 x x x , , (5) 1 2 3 ( ) ~ (15) x x x + +  (15)

二项分布的 Poisson近似 口设x~B(nx),当n→>∞,m>c常数时,此时 的极限分布是以c为参数的 Poisson分布。 越小,近似越好 口例:某地食管癌的发病率z=8/1000,在当 地随即抽查500人,患者至少为6人的概率。 P(x≥6)=1-P(x<6 P(x)-(=500×008=04)

10 二项分布的Poisson近似  设 ，当 ， 常数时，此时 的极限分布是以c为参数的Poisson分布。 越小，近似越好  例：某地食管癌的发病率 =8/10000，在当 地随即抽查500人，患者至少为6人的概率。 ~ ( , ) i x B n  n → n c  → i x  P x P x ( 6) 1 ( 6)  = −   P x( ) ( 500 0.0008 0.4)   =  =