复旦大学：《卫生统计学》课程教学资源（PPT课件讲稿）13 Poisson分布资料的统计检验分析

Poisson分布的统计分 析

Poisson分布的统计分 析

Poisson分布的概念 口描述所观察到的某事件发生次数x的概率 对于观察单位充分小的情况下某事件发生是非常罕见的 口罕见事件:x二μn很大,而4不大,兀→>0 细分 格子数n→>∞ 有限格子2中有 细菌 L水 每个格子的大小恰x、儿x→>0 好能容纳一个细菌

2 Poisson分布的概念  描述所观察到的某事件发生次数x的概率  对于观察单位充分小的情况下某事件发生是非常罕见的  罕见事件: ,n很大,而 不大, x n   =  →0 每个格子的大小恰 好能容纳一个细菌 1L水 细分 格子数 n → 有限格子 中有 细菌  x 0 x n   = →  x

什么是 Poisson分布 口 Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间) 中某种事件发生数的概率分布 放射性物质在单位时间内的放射次数 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数 野外单位空间中的某种昆虫数 显然, Poisson分布也是一种离散型随机变量的 分布

3 什么是Poisson分布  Poisson分布主要用于描述在单位时间（空间） 中某种事件发生数的概率分布 ◼ 放射性物质在单位时间内的放射次数 ◼ 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数 ◼ 野外单位空间中的某种昆虫数  显然，Poisson分布也是一种离散型随机变量的 分布

什么是 Poisson分布 口可以认为满足以下三个条件的随机变量服从 Poisson分布: ■平稳性:Ⅹ的取值与观察单位的位置无关,只与观察单 位的大小有关 独立性:在某个观察单位上X的取值与前面各观察单位 上X的取值独立(无关) 普通性:在充分小的观察单位上X的取值最多为1 口实际上可以看作是在二项分布要求上更进了一步

4 什么是Poisson分布  可以认为满足以下三个条件的随机变量服从 Poisson分布： ◼ 平稳性：X的取值与观察单位的位置无关，只与观察单 位的大小有关 ◼ 独立性：在某个观察单位上X的取值与前面各观察单位 上X的取值独立（无关） ◼ 普通性：在充分小的观察单位上X的取值最多为1  实际上可以看作是在二项分布要求上更进了一步

什么是 Poisson分布 口 Poisson分布的概率分布规律 ⅩX取值范围为非负整数,即0,1灬…: 其相应取值概率为 P(X=k)=e k! 式中e:自然对数的底,e≈2.7182;是大于0的常数。 X服从以μ为参数(Ⅹ的总体均数)的 Poisson分布可记 为X~P(μ)

5 什么是Poisson分布  Poisson分布的概率分布规律 ◼ X取值范围为非负整数，即0,1,…； ◼ 其相应取值概率为 ◼ 式中e：自然对数的底，e≈2.7182；是大于0的常数。 ◼ X服从以为参数（X的总体均数）的Poisson分布可记 为X～P() ( )  − = = e k P X k k !

Poisson分布的特性 口 Poisson分布的均数与方差 由 Poisson分布计算概率公式可见 Poisson分布只有一个参数μ。这个参数 就是 Poisson分布的总体均数。不同的总 体均数对应于不同的 Poisson分布 总体方差也等于此参数μu 口这是 Poisson分布的特性

6 Poisson分布的特性  Poisson分布的均数与方差 ◼由Poisson分布计算概率公式可见 Poisson分布只有一个参数 。这个参数 就是Poisson分布的总体均数。不同的总 体均数对应于不同的Poisson分布 ◼总体方差也等于此参数 这是Poisson分布的特性

Poisson分布的特性 Poisson分布的可加性 如果×1,X2,…,Xk相互独立,且它们分别服从 Poisson分布,则T=X1+X2+.+×也服从 Poisson 分布,其参数为原各参数之和μ1+μ2+..+出k 口正态分布与 Poisson分布的关系 只取决于均数,均数很小时分布很偏,当均数增加时, 逐渐趋于对称 ■当均数μ越来越大时, Poisson分布逐渐逼近于均数为μ, 方差为μ的正态分布。据此性质,均数较大的 Poisson 分布可按正态分布近似计算

7 Poisson分布的特性  Poisson分布的可加性 ◼ 如果X1 , X 2 , …, X k相互独立，且它们分别服从 Poisson分布，则T= X1+ X2+…+ Xk也服从Poisson 分布，其参数为原各参数之和1+ 2+…+ k  正态分布与Poisson分布的关系 ◼ 只取决于均数，均数很小时分布很偏，当均数增加时， 逐渐趋于对称 ◼ 当均数越来越大时，Poisson分布逐渐逼近于均数为， 方差为的正态分布。据此性质，均数较大的Poisson 分布可按正态分布近似计算

0.25 0.20 0.20 0.15 0.15 概率 概 0.10 0.10 0.05 0.05 0.00 5 15 15 μ 0.15 0.10 0.08 0.10 0.06 概 概率 0.04 0.00., 1,· 520 26 101520253035 u=10 u=20

8 ＝3 ＝5 ＝10 ＝20

Poisson分布的特性 口 Poisson分布与二项分布的关系 设X~B(n,π),则当n→o且nπ保持不变时,可以 证明X的极限分布是以nπ为参数的 Poisson分布 由以上性质可得,当n很大,π很小时,二项分布近似 Poisson分布。当n很大时,二项分布概率的计算量相 当大。因此可以利用二项分布的 Poisson近似这一性质, 当n很大且π很小时,可以用 Poisson分布概率计算替代 二项分布的概率计算

9 Poisson分布的特性  Poisson分布与二项分布的关系 ◼ 设X～B (n ,  )，则当n→∞且n保持不变时，可以 证明X的极限分布是以n 为参数的Poisson分布 ◼ 由以上性质可得，当n很大，很小时，二项分布近似 Poisson分布。当n很大时，二项分布概率的计算量相 当大。因此可以利用二项分布的Poisson近似这一性质， 当n很大且很小时，可以用Poisson分布概率计算替代 二项分布的概率计算

Poisson分布总体均数 的估计

Poisson分布总体均数 的估计