深圳大学：《高等数学（理工类）》各章释疑解难_第十二章 微分方程

释疑解难微分方程 问题1什么是微分方程的解?它的通解和特解之间有何关系? 答:微分方程的解是满足该方程的函数。若解中含有与方程阶数相同个数的相互独立 的任意常数,则称之为微分方程的通解:如果利用初始条件将通解中的常数确定后,不含有 常数的解称为特解。例如,函数y=c1sinx+c2COSx和y=3sinx-4cosx都是二阶微分 方程y+y=0的解,前者是方程的通解而后者是方程的特解 问题2微分方程的通解是否包含它所有的解? 答:微分方程的通解不一定包含它所有的解。例如方程y2-4y=0有通解 y=(x+c),但它不包含方程的解y=0 问题3是否所有的微分方程都存在通解? 答:不是所有的微分方程都存在通解。例如方程y2+1=0不存在实函数解,而方程 y2+y2=0只有零解y=0。如果微分方程的解中含有任意常数的个数与它的阶数相同, 那么这个解称为通解,以上二个方程有的没有实函数解,有的有解,但解中不含有任意常数 所以上述两个方程都不存在通解。 问题4求微分方程的通解时,写任意常数应注意什么问题? 答:我们知道,有的微分方程的通解不能包含它的所有解,有的则能包含它所有的解 因此,在求解微分方程的通解时,一定要注意正确写为任意常数。例如解一阶线性微分方程 根据一阶线性微分方程通解公式:y=e O(x) dx+cl 得通解为: l(2) 注意下面解法的错误出在那里? 用分离变量法来求解方程(1,分离变量后,得如=2xa 1+y 两边积分,得m(1+y)=x2+c 从而有y=ee-1(4) 比较(2)式与(4)式,e>0,而C为任意常数,因此(4)只是表达了方程(1)的 部分解,(2)中c≤0时的那一部分解,未能表达出来。问题在于两边积分时,(3)式中 m(1+y)的真数少了绝对值符号。事实上,(3)式应为my=x2+c,从而有 +y=ee2或 C=±e,得出通解y=c

释疑解难 微分方程 问题 1 什么是微分方程的解？它的通解和特解之间有何关系？ 答：微分方程的解是满足该方程的函数。若解中含有与方程阶数相同个数的相互独立 的任意常数，则称之为微分方程的通解；如果利用初始条件将通解中的常数确定后，不含有 常数的解称为特解。例如，函数 1 2 y c x c x = + sin cos 和 y x x = − 3sin 4cos 都是二阶微分 方程 y y  + = 0 的解，前者是方程的通解而后者是方程的特解。 问题 2 微分方程的通解是否包含它所有的解？ 答：微 分方 程的 通解 不一 定包 含它 所有 的解 。例 如方 程 2 y y  − = 4 0 有通解 ( ) 2 y x c = + ，但它不包含方程的解 y = 0。 问题 3 是否所有的微分方程都存在通解？ 答：不是所有的微分方程都存在通解。例如方程 2 y  + =1 0 不存在实函数解，而方程 2 2 y y  + = 0 只有零解 y = 0 。如果微分方程的解中含有任意常数的个数与它的阶数相同， 那么这个解称为通解，以上二个方程有的没有实函数解，有的有解，但解中不含有任意常数， 所以上述两个方程都不存在通解。 问题 4 求微分方程的通解时，写任意常数应注意什么问题？ 答：我们知道，有的微分方程的通解不能包含它的所有解，有的则能包含它所有的解。 因此，在求解微分方程的通解时，一定要注意正确写为任意常数。例如解一阶线性微分方程 y xy x  − = 2 2 （1） 根据一阶线性微分方程通解公式： ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx y e Q x e dx c −     = +      ， 得通解为： 2 1 x y ce = + （2） 注意下面解法的错误出在那里？ 用分离变量法来求解方程（1），分离变量后，得 2 1 dy xdx y = + 两边积分，得 ( ) 2 1 In y x c 1+ = + （3） 从而有 2 1 1 c x y e e = − （4） 比较（2）式与（4）式， 1 0 c e  ，而 c 为任意常数，因此（4）只是表达了方程（1）的一 部分解，（2）中 c  0 时的那一部分解，未能表达出来。问题在于两边积分时，（3）式中 In y (1 ) + 的真数少了绝对值符号。事实上，（3）式应为 2 In y x c 1+ = + ，从而有 1 2 1 c + = y e e 或 2 1 c x y e e =  ，令 1 c c e =  ，得出通解 2 1 x y ce = +

还有一种易犯的错误,就是求不定积分时,任意常数放在最后一步加,于是在解本题 时,不但真数不加绝对值,而且不及时加任意常数,使解成为 In(1+y)=x, y=e+c 从而通解为y=e-1+c1=e+c,这是错误的。 由此可见,在解微分方程的过程中,如果积分出的对数的真数不加绝对值符号或把任 意常数写成Mmc(应些为ml)它的变化就要受到限制,那么就回产生错误出现,所以 如果真数可正可负时,必须要注意加绝对值符号。 问题5从微分方程的通解能否得到这个微分方程吗? 答:可以。事实上将通解求导数,n阶方程就依次求n阶导数,得到包括通解在内的关 于任意常数的表达式,从其中n个方程求出任意常数的表达式,代入第n+1个方程中就可 得到所求的微分方程。 例如求x2-y2=2ax所满足的微分方程 解:求导,得2x-2yy=2a(1) 由x2-y2=2ax,得2 ,代入(1),得2x2-2xy=x2-y2 即所求微分方程为2xy=x2+y2。 又例某微分方程为 写出该微分方程 问题6给出n阶线性齐次微分方程的n个线性无关的特解,问能否写出这个方程及其 通解? 答:可以。因为设y1y2…y为n个线性无关的特解,根据线性微分方程解的结构,n 阶线性齐次微分方程的通解为y=Ciy+C2y2+…+cnyn,其中C,C2,…Cn为任意常数。 求出微分方程的方法参见问题5。 如果给出的是n阶常系数线性齐次方程的n个线性无关的特解,那么可以用以下方法求 出方程: 因为n阶常系数线性齐次微分方程的特征方程是n次代数方程,它的根可以是n个不同 的实根,也可以全是重根,或既有单根,又有重根:或既有实根,又有共轭复根:还可以是 重共轭复根,不论是哪种情况,应对于这些根的特解我们是知道的,所以,可以根据给出的 n个线性无关的特解,先写出特征方程的根,然后再写出特征方程,从而就可以写出所求的 微分方程。 例已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的四个线性无关的特解为 片=e,y2=xe,y3=cos2x,y4=3sin2x,求这个四阶微分方程及其通解 解:由y与y2可知,它们对应的特征根为二重根2=1:由y3与y知,它们对应的 特征根为共轭复根r4=±2i,所以特征方程为

还有一种易犯的错误，就是求不定积分时，任意常数放在最后一步加，于是在解本题 时，不但真数不加绝对值，而且不及时加任意常数，使解成为 ( ) 2 In y x 1+ = ， 2 x y e c = + 从而通解为 2 2 1 1 x x y e c e c = − + = + ，这是错误的。 由此可见，在解微分方程的过程中，如果积分出的对数的真数不加绝对值符号或把任 意常数写成 Inc （应些为 In c ）它的变化就要受到限制，那么就回产生错误出现，所以， 如果真数可正可负时，必须要注意加绝对值符号。 问题 5 从微分方程的通解能否得到这个微分方程吗？ 答：可以。事实上将通解求导数， n 阶方程就依次求 n 阶导数，得到包括通解在内的关 于任意常数的表达式，从其中 n 个方程求出任意常数的表达式，代入第 n+1 个方程中就可 得到所求的微分方程。 例如求 2 2 x y ax − = 2 所满足的微分方程 解：求导，得 2 2 2 x yy a − =  （1） 由 2 2 x y ax − = 2 ，得 2 2 2 x y a x − = ，代入（1），得 2 2 2 2 2 x xyy x y − = −  即所求微分方程为 2 2 2xyy x y  = + 。 又例某微分方程为 写出该微分方程。 问题 6 给出 n 阶线性齐次微分方程的 n 个线性无关的特解，问能否写出这个方程及其 通解？ 答：可以。因为设 1 2 , , n y y y 为 n 个线性无关的特解，根据线性微分方程解的结构， n 阶线性齐次微分方程的通解为 1 1 2 2 n n y c y c y c y = + + + ，其中 1 2 , , n c c c 为任意常数。 求出微分方程的方法参见问题 5。 如果给出的是 n 阶常系数线性齐次方程的 n 个线性无关的特解，那么可以用以下方法求 出方程： 因为 n 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程是 n 次代数方程，它的根可以是 n 个不同 的实根，也可以全是重根，或既有单根，又有重根；或既有实根，又有共轭复根；还可以是 重共轭复根，不论是哪种情况，应对于这些根的特解我们是知道的，所以，可以根据给出的 n 个线性无关的特解，先写出特征方程的根，然后再写出特征方程，从而就可以写出所求的 微分方程。 例 已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的四个线性无关的特解为： 1 x y e = ， 2 x y xe = ， 3 y x = cos 2 ， 4 y x = 3sin 2 ，求这个四阶微分方程及其通解。 解：由 1 y 与 2 y 可知，它们对应的特征根为二重根 1,2 r = 1 ；由 3 y 与 4 y 知，它们对应的 特征根为共轭复根 3,4 r i = 2 ，所以特征方程为

(r-)(+4)=0或r2-2r2+512-8+4=0 它们对应的微分方程为y4-2y+5y-8y+4y=0 其通解为y=(c1+c2x)e+c3cos2x+c;sin2x 问题7形如方程f(x)=c2+(0-xJ5/(0(f(x)连续)问怎样求这种 类型方程中的未知函数f(x)? 答:解这种(积分)方程的思想是将其通过求导化为微分方程,再求解 两边对x求导,得 f'(x)=e+xf(x)-xf(x)f(t)dt 即f(x)=e2-f()d 两边再求导,得f"(x)=e-f(x) ∫"(x)+f(x)=e且f(0)=1,f'(0)= 转化为二阶微分方程的初值问题 易求得其特解为f(x)=(0sx+sx+e)

( ) ( ) 2 2 r r − + = 1 4 0 或 4 3 2 r r r r − + − + = 2 5 8 4 0 它们对应的微分方程为 (4) y y y y y − + − + = 2 5 8 4 0    其通解为 ( 1 2 3 4 ) cos2 sin 2 x y c c x e c x c x = + + + 。 问题 7 形如方程 0 0 ( ) ( ) ( ) x x x f x e tf t dt x f t dt = + −   （ f x( ) 连续）问怎样求这种 类型方程中的未知函数 f x( ) ？ 答：解这种（积分）方程的思想是将其通过求导化为微分方程，再求解。 两边对 x 求导，得 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x e xf x xf x f t dt  = + − −  即 0 ( ) ( ) x x f x e f t dt  = −  两边再求导，得 ( ) ( ) x f x e f x  = − 即 ( ) ( ) x f x f x e  + = 且 f (0) 1 = ， f (0) 1 = 转化为二阶微分方程的初值问题。 易求得其特解为 ( ) 1 ( ) cos sin 2 x f x x x e = + +