深圳大学数学与计算科学学院：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源_课件（3/4，数项级数、函数列与函数项级数、幂级数、Fourier级数）

数学分析(3) Mathematical Analysis

数学分析（3） Mathematical Analysis Mathematical Analysis Mathematical Analysis Mathematical Analysis

第十二章数项级数 §1级数的收敛性 §2正项级数 §3一般项级数

第十二章 数项级数 §1 级数的收敛性 §2 正项级数 §3 一般项级数

§1级数的收敛性 级数:∑n=4 刀=1 通项 部分和:S=∑4=4+h+… k=1

§1 级数的收敛性 ∑ = + +⋯+ +⋯ ∞ = n n n u u u u 1 2 1 级数： , 1 2 1 n n k Sn =∑uk = u +u + +u = 部分和： ⋯ 通项：u n

§1级数的收敛性 ∑vn收敛:{Sn收敛 刀=1 ∑vn发散:{S}发散 刀=1 例讨论下列级数的收敛性: (1)+23+…+ n(n+1 (2)a+my+my2+…+my"+…(a≠0)

§1 级数的收敛性 (2) ( 0) (1) . 2 ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 + + + + + ≠ + + + + ⋅ ⋅ + a aq aq aq a n n n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 例讨论下列级数的收敛性： { } . { } 1 1 发散： 发散 收敛： 收敛； n n n n n n u S u S ∑ ∑ ∞ = ∞ =

§1级数的收敛性 Cwch准则 ∑o收敛台E>03M>0,当m>M时, =1 对任意自然数pm+m2+…+m<E 任意的“片段”足够小 ∑收敛→lmn=0 例讨论级数∑与∑是的敛散性

§1 级数的收敛性 . 0, 0, 1 2 1 ε ε + + + ∃ > > + + + ∞ =∑ m m m p n n p u u u u N m N Cauchy 对任意自然数 ， ⋯ 收敛 当 时， 准则： 2. lim 0. 1. ⇒ = ∑ →∞ n n un收敛 u 任意的“片段”足够小； 注： . . 2 例 讨论级数∑1 n与∑n 1 的敛散性

§1级数的收敛性 性质定理: 级数∑∑收敛→∑(cn+如)=mn+公△ 2去掉增加 级数的 敛散性及其和 3对收敛 项任意加括号 级数的敛散性 及其和

§1 级数的收敛性 . 3. . 2. , 1. ( ) . 及其和 对收敛 项任意加括号 级数的敛散性 敛散性及其和 去掉 增加 级数的 级数 ， 收敛 性质定理： ∑ n ∑ n ⇒ ∑ n + n = ∑ n + ∑ n u v cu dv c u d v

§2正项级数 正项级数:∑v,(n>0) 正项级数∑么收敛台{}有上界 比较判别法 正项级数∑与∑满足:n≤(m≥M),则 ∑收敛→∑v收敛;∑发散→∑v发散 例讨论级数∑的收敛性

§2 正项级数 . ( ), 0 收敛 收敛； 发散 发散 正项级数 与 满足： 则 比较判别法： ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⇒ ⇒ ≤ ≥ n n n n n n n n v u u v u v u v n N ∑ ( > 0) 正项级数： u n u n 正项级数 收敛 { }有上界. ∑u n ⇔ S n . . 1 1 例 讨论级数∑ n 2 +n+ 的收敛性

§2正项级数 比较判别法的极限形式: 正项级数∑n与∑v满足:im2=C,则 (1)0<<+时,∑v与∑同敛散; (2)C=0时,∑v收敛→∑v收敛 (3)C=+∞时,∑发散→∑1发散 例讨论∑12与∑sin的收敛性

§2 正项级数 (3) . (2) 0 ; (1)0 lim , 时， 发散 发散 时， 收敛 收敛 时， 与 同敛散 ； 正项级数 与 满足： 则 比较判别法的极限形式 比较判别法的极限形式 比较判别法的极限形式 比较判别法的极限形式 ： ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = +∞ ⇒ = ⇒ < < +∞ = →∞ n n n n n n n n n n n v u v u u v v u u v ℓ ℓ ℓ ℓ . sin . 1 2 例讨论 ∑ n 1 −n 与∑ n的收敛性

§2正项级数 应用之一:比式判别法 正项级数∑n,3M,g∈(0),则 ≤y(nM)→∑vn收敛 m21(m≥M)→∑发散

§2 正项级数 1 ( ) . ( ) ; , (0,1), 0 1 0 1 0 发散 收敛 正项级数 ， 则 应用之一：比式判别法 应用之一：比式判别法 应用之一：比式判别法 应用之一：比式判别法 ∑ ∑ ∑ ≥ ≥ ⇒ ≤ ≥ ⇒ ∃ ∈ + + n n n n n n n n N u u u q n N u u u u N q

§2正项级数 正项级数∑满足:im11=9,则 (1)90

§2 正项级数 (2) 1 . (1) 1 ; lim 1 或 时， 发散 时， 收敛 正项级数 满足： ，则 ∑ ∑ ∑ > = +∞ + + + + + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ nx x n n 例 ⋯ ⋯ ⋯ n ⋯