深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第三节 三重积分的应用

第三节三重积分的计算法 三重积分∫9(0y,2)b可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算 其方法都是将三重积分化为三次积分

第三节 三重积分的计算法 三重积分 可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分. f x y z dv ( , , )  

利用直角坐标计算三重积分 体积元素dhv=ddvz f(x,y, z)dv=llf(x,y, z)dxdydz

一 利用直角坐标计算三重积分 体积元素 dv dxdydz = f x y z dv f x y z dxdydz ( , , ) ( , , )   =  

设Ω如图将Ω向xoy面投影, z=2(x,y) 得D,以Dn的边界为 准线母线平行于z轴 的柱面把g分为下上 两个边界: 21 z=Z(x,y) z=21(x1y) z=22(x,y y=y yDy (1, y)vy=y2(x) V(x,y)∈D3z从z1(x,y)变到2(x,y

得 ,以 的边界为 准线母线平行于z轴 的柱面把 分为下上 两个边界： D xy ( ) ( ) 1 2 , , z z x y z z x y = = 设  如图,将  向xoy面投影，  D xy x O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) x O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) x O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , )   ( x y D z z x y z x y , , , , , ) xy 从 1 2 ( )变到 ( )

于是,积分区域可表示为 g2:z1(x,y)≤x≤2(x,y)(x,y)∈Dy 则 f(x,y,)h(先一后二) z2(x,y) x,y,)dz ]didi 1(x,y)

2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) [ ( , , ) ] xy z x y z x y D f x y z dv f x y z dz dxdy  =    则 ( ) ( ) ( ) 1 2 : , , , , xy     z x y z z x y x y D 于是，积分区域可表示为 (先一后二）

∫∫(x,y,2h=』 z2(x,y) f(x, y, z)dzjdxdy GI(x,y) 根据D是X型域或Y型域确定二重积分的 积分限,就得到三重积分公式 若D为X型域,则有 ∫9 df吗2(x) (x,y) y~∫(x,y,x)d q1(x) (x,y) 这是先对z,次对y,最后对x的三次积分

根据D是X型域或Y型域确定二重积分的 积分限，就得到三重积分公式. 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) b x z x y a x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz    =     若D为X型域，则有 这是先对z，次对y，最后对x的三次积分 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) [ ( , , ) ] xy z x y z x y D f x y z dv f x y z dz dxdy  =   

例1计算∫∫xh其中Ω为三个坐标面 及平面x+2y+x=1所围成的区域。 x-2y C(0,0,1) 解g2在xoy面上的投影为D B(0,,0) g20≤2≤1-x-2y(x,y)∈D 若D,看成X型域,则 A(1,0,0) X 2 g2:0≤z≤1-x-2(x,y)∈D3

xdv  例  1 计算 ,其中 为三个坐标面 及平面x＋2y＋z＝1所围成的区域。  x y z O C(0,0,1) 1 (0, ,0) 2 B A(1,0,0) D xy :0 1 2 , , ( ) xy    − −  z x y x y D :0 1 2 , , ( ) xy    − −  z x y x y D 解  在xoy面上的投影为 D xy D xy 若 D xy 看成X型域，则 1 2 x y − = z x y = − − 1 2 ( x y, )

X 0≤1≤ C2:0≤z≤1-x-2y,Dy: 2 0<x<1 1-x-2y xdv= ddv raz 0 D 1-x-2y raz 0 xdx 2(1 -x-2y)dy 0 (x-2x+x')d3 48

1 2 3 0 1 1 ( 2 ) 4 48 = − + = x x x dx  1 0 : 0 1 2 , : 2 0 1 xy x y z x y D x  −       − −      1 2 0 x y D xdv dxdy xdz − −  =    1 1 1 2 2 0 0 0 x x y dx dy xdz − − − =    1 1 2 0 0 (1 2 ) x xdx x y dy − = − −  

例2将(xyh化为直角坐标系下的 Q 三次积分,其中Ω是由平面x+y+z=1, x+y=1,x=0,y=0,z=1围成的区域 解g的投影D是x+y=1,y xy x=0,y=0围成的三角形域, x+y=1 c的下底是x+y+z=1, 上底是z=1, X

例2 将 化为直角坐标系下的 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 f x y z dv ( , , )    的下底是x＋y＋z＝1， 上底是z＝1，  0 x y x y + =1 D xy 1 解 的投影 是x+y=1， x=0，y=0围成的三角形域，  D xy

0≤y≤1-x C2:1-x-y≤zs1,D 0<x≤1 f(x, v, z)di ∫Jf(x,y,2)hz X D dx dy. f(x,y, z)da 0

1 1 ( , , ) ( , , ) xy x y D f x y z dv dxdy f x y z dz  − − =    1 1 1 0 0 1 ( , , ) x x y dx dy f x y z dz − − − =    0 1 :1 1, : 0 1 xy y x x y z D x    −  − −      

1)投影法(先一后二) /(xy,2)h=订∫ (x2y) f(x,y, z)dz]dxc x,y D 2)截面法(先二后一) 计算三重积分时,先求一个二重积 分,再求一个定积分的方法

2）截面法（先二后一） 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) [ ( , , ) ] z x y z x y D f x y z dv f x y z dz dxdy  =    1）投影法（先一后二） 计算三重积分时，先求一个二重积 分，再求一个定积分的方法