深圳大学：《高等数学（理工类）》各章释疑解难_第五章 定积分

问题1下列命题是否正确? (1)定积分/(x)k的几何意义是:介于曲线y=f(x)x轴与x=a,x=b之间的 曲边梯形面积 (2)若[ab][c小,且f(x)在[ab上可积,则必有 ∫(xk (3)若(x)为a上的连续函数,则∫f(OM必为f(x)在(ab)内的一个原函数 答:(1)错误,应为所围曲边梯形在x轴上方和下方部分面积的代数和 (2)错误,考察反例:f(x)=x[]=[-]cd=[ (3)正确,表明连续函数必定可积 问题2下列运算是否正确? (1) a sindh sInx dx ∫=mx= sint 答:(1)错误,因为 d是上限x2的函数,因此它是x的复合函数,所以应 1+cos t 该用复合函数的求导法则,即∫ sint 2xsin x 0 1+cos t 1+cos x 1+cos x 般地 女0)m=[(x(x) d f(odt=-flo(x)bo(x) d roufodt (2)错误,因为在[-1内的x=0处无界,不符合使用牛顿一莱布尼兹公式的条件, 本题不能用牛顿一莱布尼兹公式 问题3判断下列命题是否正确? (1)若」f(x)dx=0,则f(x)必为奇函数 (2)凡连续奇函数的原函数都是偶函数 (3)凡连续偶函数的原函数都是奇函数 (4)凡连续周期函数的原函数都是周期函数 答:(1)不正确,考虑∫(x)=x

67 问题 1 下列命题是否正确？ （1） 定积分 ( ) b a f x dx  的几何意义是：介于曲线 y f x x = ( ), 轴与 x a x b = = , 之间的 曲边梯形面积. （2） 若 a b c d , ,    ，且 f x( ) 在 a b,  上可积，则必有 ( ) ( ) b d a c f x dx f x dx    （3）若 f x( ) 为 a b,  上的连续函数，则 ( ) x a f t dt  必为 f x( ) 在 (a b, ) 内的一个原函数. 答：（1）错误，应为所围曲边梯形在 x 轴上方和下方部分面积的代数和. （2）错误，考察反例：         3 f x x a b c d ( ) , , 1,1 , , 0,1 = = − = （3）正确，表明连续函数必定可积. 问题 2 下列运算是否正确？ （1） 2 2 2 2 2 0 sin sin 1 cos 1 cos d t x x dt dx t x = + +  . （2） 1 1 1 1 | 0 dx In x x − − = =  答：（1）错误，因为 2 2 0 sin 1 cos x t dt + t  是上限 2 x 的函数，因此它是 x 的复合函数，所以应 该用复合函数的求导法则，即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 sin sin 2 sin ( ) 1 cos 1 cos 1 cos d t x x x x dt x dx t x x = =  + + +  一般地   ( ) ( ) ( ) ( ) x a d f t dt f x x dx  =    ，   ( ) ( ) ( ) ( ) a x d f t dt f x x dx  = −    ，     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x d f t dt f x x f x x dx   = −        . （2）错误，因为 1 x 在 −1,1 内的 x = 0 处无界，不符合使用牛顿—莱布尼兹公式的条件， 本题不能用牛顿—莱布尼兹公式. 问题 3 判断下列命题是否正确？ （1）若 ( ) 0 a a f x dx − =  ，则 f x( ) 必为奇函数. （2）凡连续奇函数的原函数都是偶函数. （3）凡连续偶函数的原函数都是奇函数. （4）凡连续周期函数的原函数都是周期函数. 答：（1）不正确，考虑 2 1 ( ) 3 f x x = −

/x=(x2-)dk=13x2-x1=0,但f(x)在[-1!]上不是奇函数 注意:(1)的逆命题是正确的,即f(x)是奇函数,f(x)dr=0,在定积分计算中 应注意利用这个性质,例如 xsIn x -53+cosx (2)正确, 设奇函数f(x)的原函数为F(x)=C, F(-x)=0(Mh+C=丁/(-m)m+C=5ohC=F(x)(n=-) F(x)是偶函数 (3)不正确,仅当C=0时可以成立 (4)不正确, 设F()(0,0其中(x)是周期为的周期函数由于”m=/(0)d的 值与m无关,所以, F(x+D)=「(0=+(Mm=F(x+0 即F(x+D)=F(x)+C,(C=[f(n)dm)因此F(x)不是周期函数 问题4下列运算是否正确?如不正确指出原因: (1)设 -dt dx 从而 0 (3)设=lmx,则[3a=rdh =ingulf=in (4) x是奇函数, dx=o 答:(1)不正确,注意被积函数大于零,可知定积分也应大于零,故运算是错误的错 误的原因在于引进的变换x=在[-1上不连续,故不满足换元法的条件 2)不正确,在[D2x]上,22=12s 正确的是 取式h59+:(-h=45

68 1 1 2 3 1 1 1 1 ( ) ( 1) 0 3 1 f x dx x dx x x − −   = − = − =     −   ，但 f x( ) 在 −1,1 上不是奇函数. 注意：（1）的逆命题是正确的，即 f x( ) 是奇函数， ( ) 0 a a f x dx − =  ，在定积分计算中 应注意利用这个性质，例如 2 5 5 sin 0 3 cos x x dx x − = +  . （2）正确， 设奇函数 f x( ) 的原函数为 F x C ( ) = ， 0 0 ( ) ( ) ( ) x x F x f t dt C f u du C − − = + = − − +   0 ( ) ( ) x = + = f u du C F x  ( ) u t = − F x( ) 是偶函数. （3）不正确，仅当 C = 0 时可以成立. （4）不正确， 设 0 ( ) ( ) , x F x f t dt =  其中 f x( ) 是周期为 l 的周期函数，由于 ( ) 0 ( ) m l l m f t dt f t dt + =   的 值与 m 无关，所以， 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x l x x l l a a x F x l f t dt f t dt f t dt F x f t dt + + + = = + = +     即 F x l F x C ( ) ( ) + = + ， 0 ( ( ) ) l C f t dt =  因此 F x( ) 不是周期函数. 问题 4 下列运算是否正确？如不正确指出原因： （1）设 1 x t = ，则 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1( ) 1 1 1 1 dx dt d x t t t − − − − = = + + +    ，从而 1 2 1 0 1 dx x − = +  . （2） 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos 2cos 2 cos 2 2 sin | 0 2 2 2 x x x xdx dx dx     + = = = =    . （3）设 u Inx = ，则 3 3 3 2 2 2 3 | 2 dx du In u In xInx u = = =   . （4） 2 1 x + x 是奇函数， 2 0 1 x dx x + −  = +  . 答：（1）不正确，注意被积函数大于零，可知定积分也应大于零，故运算是错误的.错 误的原因在于引进的变换 1 x t = 在 −1,1 上不连续，故不满足换元法的条件. （2）不正确，在 0,2  上， 2 2cos 2 cos 2 cos 2 2 2 x x x =  . 正确的是： 原式 2 2 0 0 2 cos 2 cos 2 cos 4 2 2 2 2 x x x dx dx dx       = = + − =       

(3)不正确,错在换元后没有改变积分限 正确的是:「 dx du =In u lm2=In[/n31-In//n (4)不正确,原因是滥用了定积分的对称性而造成错误对于反常积分。(x)d,当 ∫f(x利「f(x2(c为任意常数)都收敛时才称」f(x)收敛 正确的解法是: dx(c为任意实数) 1+x 1+x - dx= lim dx= lim-In(1+x)Ie 1+x 1+ ∞1+、2dx发散,故原反常积分发散

69 （3）不正确，错在换元后没有改变积分限. 正确的是： 3 3 3 2 2 2 | 3 2 In In In In dx du In u In In In In xInx u = = = −   . （4）不正确，原因是滥用了定积分的对称性而造成错误.对于反常积分 f x dx ( ) , + − 当 ( ) ( ) c c f x dx f x dx +   − 和 （ c 为任意常数）都收敛时才称 f x dx ( ) + − 收敛. 正确的解法是： 2 2 2 1 1 1 c c x x x dx dx dx x x x + + − − = + + + +    （ c 为任意实数） 2 2 2 2 2 1 lim lim (1 ) | 1 1 2 1 1 (1 ) lim (1 ) 2 2 c c c a a a a a x x dx dx In x x x In c In a − →− →− →− = = + + + = + − + = −   即 2 1 c x dx x − +  发散，故原反常积分发散