深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第八节 对坐标的曲面积分

第八节对坐标的曲面积分 对坐标曲线积分的概念 二、对坐标的曲面积分的计算

一、对坐标曲线积分的概念 第八节 对坐标的曲面积分 二、对坐标的曲面积分的计算

关于曲面 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧

2 关于曲面 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

曲面的分类双侧曲面:2单侧曲面 典型双侧曲面 0.5 2 2 2 2 3

3 n  曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面

典型单侧曲面:莫比乌斯带 「播放

4 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放

曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题 在有向曲面∑上取一小块曲面△Ss △S在xoy面上的投影(△S)为 (△a) 当c0sy>0时 xy (△S)x={-(△a)当cosy<0时 当cosy=0时 其中(△a)表示投影区域的面积 5

决定了侧的曲面称为有向曲面. 5 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 曲面的投影问题: S xoy 在 面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 上的投影(S) xy为 曲面 S

、对坐标的曲面积分概念 实例:流向曲面一侧的流量 1.流速场为常向量v,有向平面区域A, 求单位时间流过A的流体的质量Φ (假定密度为1) ′斜柱体的体积 流量 n ①= Av cos A4v·n=p.A 6

6 一、对坐标的曲面积分概念 实例: 流向曲面一侧的流量. 1.流速场为常向量 v  ,有向平面区域 A, 求单位时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v  0 n   A Av n v A Av      =  =   = 0 cos 流量 斜柱体的体积

2.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y,3)=P(x,y,)+Q(x,y,z)j+R(x,y,x)k 给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量Φ 7

7 2.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 ) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给 出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量. x y z o 

在曲面∑上取一小块dS,其上任一点 (x,y,z)处,∑指向指定一侧的单位法向量: 0 cosa. cos B,cosy),a,B,y是方向角 (x,y,)看作不变, ds n (x, y, 2) dS看作小块平面 则过S流向指定 侧的流量: 西=(节·n)dS

x y z o  • dS v ( , , ) x y z n dS看作小块平面 在曲面Σ上取一小块 dS, ( x y z , , )处，指向指定一侧的单位法向量： 其上任一点 ( ) 0 0 n n = cos ,cos ,cos , , ,      是 的方向角 v x y z ( , , )看作不变， 则过dS流向指定 一侧的流量： ( ) 0 d v n dS  = 

西=(v.n)dS (Pcos a+2 B+Rcosy)as 故流体流向Σ指定一侧的流量为 ①=』(Pcoa+cos+Rcsy)s 记为另一种形式 Φ= Prydz+Qddx+Rxd 称为对坐标的曲面积分

故流体流向Σ指定一侧的流量为 = + + ( P Q R dS cos cos cos    ) ( ) 0 d v n dS  = ( P Q R dS cos cos cos    )   = + +  记为另一种形式 Pdydz Qdzdx Rdxdy   = + +  称为对坐标的曲面积分

对坐标曲面积分的定义 定义设∑为光滑的有向曲面函数在 ∑上有界,a,B,y是Σ上(x,,x)处 沿指定一侧的法向量的方向角, 如果积分∫(Pc0sa+Qc0sB+ CosY)s 存在,则记它为 Pdydz+odzdx rdxdy

对坐标曲面积分的定义 定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在   上有界，   , , 是 上( x y z , , )处 沿指定一侧的法向量的方向角， 如果积分 ( P Q R dS cos cos cos    )  + +  存在，则记它为 Pdydz Qdzdx Rdxdy  + + 