深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第四节 几何形体上的积分（第一型曲线积分的计算法——对弧长的曲线积分）

多元函数积分学 几何形体上的积分 重积分曲线积分曲面积分

多元函数积分学 几何形体上的积分 重积分 曲线积分 曲面积分

第四节对弧长的曲线积分 问题求光滑曲线形构件的质量 对弧长的曲线积分的 概念和性质 二、对弧长的曲线积分的计算法

第四节 对弧长的曲线积分 问题 求光滑曲线形构件的质量 一、对弧长的曲线积分的 概念和性质 二、对弧长的曲线积分的计算法

回顾以前所遇到过的质量问题 细直棒的质量M线密度长度 若是匀质的,则质量 若非匀质—线密度是变量(函数) 化整为零(x)≈(5)

回顾以前所遇到过的质量问题 细直棒的质量M 若是匀质的， 线密度 长度 若非匀质—线密度是变量（函数）  ( x) a b x   ( i ) i  则质量 M b a =  −  ( ) 化整为零

将直线棒分为n个小段,每个小 处段近似看作匀质的,分别求出的小 理 段质量之和,它是总质量的近似值, 程|若进行无限累加就得到了非匀质直 线棒质量的精确值. M=|m(5)4c=(x)k 直线棒的质量是对线密度函数的定积分

将直线棒分为n个小段，每个小 段近似看作匀质的，分别求出的小 段质量之和，它是总质量的近似值， 若进行无限累加就得到了非匀质直 线棒质量的精确值. 直线棒的质量是对线密度函数的定积分 处 理 过 程 ( ) ( ) 0 1 lim n b i i a i M x x dx     = = =   =  

光谞曲线形构件的质量线密度为变量 匀质线质量= B L 线密度×线长度 1)分割曲线弧BO 即质量M=A·s.|44 AbA, A,A2, 取(x1,y)∈△ 曲线形构件的质量 质里 tM2≈(x △ 可否借助于求细直棒质量的步驟朱求

光滑曲线形构件的质量 M s =   . 匀质线质量= 线密度×线长度. 即质量 1) 分割曲线弧 0 1 1 2 1 , , , . A A A A A A n n − ( , ) , i i i 取 x y s   o x y A B L 2)近似 ( , ) . 小段质量M x y s i i i i    i s ( , ) i i x y A1 A2 Ai−1 Ai A n−1 AB : 可否借助于求细直棒质量的步骤来求 曲线形构件的质量? ? 线密度为变量 L 可以! A0 A n 0 1 1 2 1 , , , . A A A A A A n n − ( , ) , i i i 取 x y s   ( , ) . 小段质量M x y s i i i i    AB :

1)分封AB△s,(=1,2,…n) 2)近似M1≈1(x,y)△ 3)求和M=∑M≈∑(x,y)△s (近似值) 4)取极限x=max(△s) M=lim2(x,y)△s,(精确值) 2->0

1) 分割  = s i n i , 1,2, ( ) 2)近似 ( , ) . M x y s i i i i    : 1 ( , ) . n i i i i  x y s =     (近似值 ) 4)取极限 0 1 lim ( , ) . n i i i i M x y s   → = =    (精确值 ) max( ). i  = s AB 1n i i M M= 3)求和 = 

1.对弧长的曲线积分定义 定义设L是xOy面内一条光滑曲线狐, 函数f(x,y)在L上有界, 将L任意分成n个小弧段 可求长 41,42…,4141,…,A,A1,长为△s1 在小弧段A,A上任取一点(5,), 作乘积f(,m)△s;

定义 1.对弧长的曲线积分定义 设L是 xoy 面内一条光滑曲线弧, 将L任意分成 n个小弧段: 在小弧段 上任取一点 ( , ), i i   , , 0 1 A A , 1 2 A A , 1 , A A i− i 1 , A A n n − i 1 i A A− 可求长 函数 f x y ( , ) 在L上有界， , i 长为s 作乘积 ( , ) , i i i f s    

并作和式∑f(5,m)△ 如果和式极限 址f(5,A(x=mx{△9}) 存在,则称此极限为函数f(x,y) 在曲线L上的对弧长的曲 或第一类曲线积分

( =  max{ }si ) 0 1 lim ( , ) n i i i i f s    → =   则称此极限为函数 f x y ( , ) 在曲线L上的对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分. 如果和式极限 存在， 1 ( , ) . n i i i i f s   = 并作和式  

记为 被积函数 m∑f(5,n)△s=「f(x,y)s.( 1→>0 M=im>(x,y)△,孤长微元 → 0 可表为 曲线形构件的质量M=(x,y)ls

曲线形构件的质量 ( , ) . L M x y ds =   记为 0 1 lim ( , ) ( , ) . n i i i L i f s f x y ds    → =   =  被积函数 积分和式 积分弧段 弧长微元 0 1 lim ( , ) . n i i i i M x y s   → = =    根据对弧长的曲线积分定义,可表为 (1)

D.(xy)=∑/(5,m),A,面 注1推广户 沿空间曲线r的对弧长曲线积分为 f(,y,2)d=in∑f(5,m,5)△s x→>01i=1 对弧长的曲线积分统一记为 f(p)ds L

0 1 ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i f x y z ds f s      → =  =   曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i L i f x y ds f s    → =  =   平面 推广: 沿空间曲线  的对弧长 注1 对弧长的曲线积分统一记为 ( ) L f P ds 