深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第一节 几何形体上的积分学——多元函数积分学

多元函数积分学

多元函数积分学

多元函数积分可看作定积分推广为多 元函数在不同几何形体上的积分 1.n重积分(多元函数在n维空间中的有界 闭区域上的积分) 2曲线积分(多元函数在有限曲线段上 的积分) 3曲面积分(多元函数在有限曲面片上 的积分)

多元函数积分可看作定积分推广为多 元函数在不同几何形体上的积分。 1. n重积分 (多元函数在n维空间中的有界 闭区域上的积分) 2.曲线积分 （多元函数在有限曲线段上 的积分） 3.曲面积分 （多元函数在有限曲面片上 的积分）

回顾定积分的定义设函数f(x)在[a6上有界, 【分割】将{b]任意分成n个部分,记为x(=12…n) 近似】在每个x上任取一点5,作乘积(5)Ax (Ax也代表该区间的长度) 【求和】作出和∑f(x 取极限】如果当=max{△x}→>O时,和式的极限 im∑f(Ax 存在,则称此极限为(x)在[ab]上的定积分, 记对(x即/(xkx=1∑(5A

回顾 定积分的定义 设函数 在 上有界, f x a b ( )  ,  将a b n x i n , 1,2, 任意分成 个部分，记为 = i ( ) ( ) 1 , n i i f x  = 作出和 i  如果当 =  → max 0  xi  时，和式的极限 ( ) 0 1 lim n i i i f x   → =   存在，则称此极限为f x a b ( )在 , 上的定积分， ( ) , b a f x dx 记为 即 ( ) ( ) 0 1 = lim n b i i a i f x dx f x   → =    【分割】 【近似】 【求和】 【取极限】 在每个  x f x i i i i 上任取一点  , , 作乘积 ( ) i （x也代表该区间的长度）

第一节几何形体积分的概念 将定积分推广到一般几何形体上: 定义设函数(P)在G上有界, 【分割】将G任意分成n个部分,记为Ag(=12,…m) (4g也代表该部分的几何度量) 近似】V∈Ag1,作乘积(p)4x 【求和】作出和∑f()Ng 【取极限】如果当各部分的最大值→时,Iim∑f()g 存在,则称此板限为()在G上的定积分, 记为f(m)kg,即(p)kg=m∑/(p)g

第一节 几何形体积分的概念 设函数f P G ( )在 上有界， 将定积分推广到一般几何形体上： 存在，则称此极限为f p G ( )在 上的定积分， ( ) , G f p dg 记为 ( ) ( ) 0 1 = lim n i i G i f p dg f p g → =   即  将G n g i n 任意分成 个部分，记为 = i ( 1,2, ) i （g 也代表该部分的几何度量） 【分割】 【近似】    p g f p x i i i i , , 作乘积 ( ) ( ) 1 , n i i i f p g = 【求和】 作出和  ( ) 0 1 lim n i i i f p g → = 【取极限】 如果当各部分的最大值 → 0时，   定义

函数f()在几何形体G上的积分 积分号 被积函数 /(D)您一 积分区域 被积表达式

函数f p G ( )在几何形体 上的积分 ( ) G f p dg  被积函数 元素 积分区域 被积表达式 积分号

本课程中G表示的几种几何形体 D)(平面有界→ (空间有界 闭区域 Q 闭区域 闭区间 二重积分 三重积分 (平面有限曲线积分 曲线段 r(空间有限 曲线段) (有限曲 曲面积分 面片)

本课程中G表示的几种几何形体： D 闭区间 [a,b] L  (平面有界 闭区域) （平面有限 曲线段） （有限曲 面片）   (空间有界 闭区域) (空间有限 曲线段) 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分

当G为不同的几何形体时,对应的积 分都给出了固定的名称和符号 当G为平面有界闭区域(常记为D) 时,称为二重积分,记为 f(x,y)do 当G为空间有界闭区域(常记为Ω2) 时,称为三重积分,记为 f(x,v, z)dv

当G为不同的几何形体时，对应的积 分都给出了固定的名称和符号： ▪当G为平面有界闭区域（常记为D） 时，称为二重积分，记为 ( , ) D f x y d  ▪当G为空间有界闭区域（常记为 ） 时，称为三重积分，记为  f x y z dv ( , , )  

当G为平面有限曲线段(常记为L) 或空间有限曲线段(常记为)时, 称为第一型曲线积分(也称为对弧 长的曲线积分),记为 f(x,y)ds或「f(x,y,z)d

 当G为平面有限曲线段（常记为L） 或空间有限曲线段（常记为 ）时， 称为第一型曲线积分（也称为对弧 长的曲线积分），记为 ( , ) ( , , ) L f x y ds f x y z ds    或 

当G为空间有限曲面片(常记为∑)时, 称为第一型曲面积分(也称为 对面积的曲面积分),记为 f(x,y, z)ds

▪ 当G为空间有限曲面片（常记为∑）时， 称为第一型曲面积分（也称为 对面积的曲面积分），记为 f x y z dS ( , , )  

与定积分类似,当八(D)在G上连续时, 积分」f(D)d必定存在。 f(p)dg具有与定积分类似的性质

 与定积分类似，当 在G上连续时， 积分 必定存在。 f p( ) ( ) G f p dg   ( ) 具有与定积分类似的性质。 G f p dg 