深圳大学：《高等数学（理工类）》课程PPT（习题课）第四章 不定积分

第四章习题课 不定积分

第四章 习题课 不定积分

基本要求 1.理解原函数与不定积分的概念和性质,明 确不定积分法是微分法的逆运算 2.熟记不定积分的基本公式表并熟练掌握. 3积分法 1)直接积分法:通过恒等变形化为基本积 分法积分公式中的形式 2)换元积分法:第一类(凑微分法);第二类 (三角代换;倒代换;根代换等) 3分部积分法:注意选择mv

1.理解原函数与不定积分的概念和性质,明 确不定积分法是微分法的逆运算. 2.熟记不定积分的基本公式表并熟练掌握. 3.积分法 1)直接积分法:通过恒等变形化为基本积 分法 积分公式中的形式. 2)换元积分法:第一类(凑微分法);第二类 (三角 代换;倒代换;根代换等). 3)分部积分法：注意选择 u,dv. 一 基本要求

例题分析 1.判断正误: 1)(∫f(x)t)y=(x a=e2+ x≥0 le"dx e dx e+c x<0

二.例题分析 1.判断正误: 1) 2)   ( f (x)dx) = f (x)dx.        = − +  = +  = − − , 0 , 0 2 1 e dx e c x e dx e c x e dx x x x x x

解1)错,由不定积分的定义,∫f(x)x=f(x)+C 而由不定积分性质(f(x))y=(x) )错,由于原函数可导必是连续的,所 以必须保证lmh(x)=limh(x)=F() x->0 即G+1=C2-1只有在C2=C+2 时,上述运算才正确。即 e+c x≥0 dx e+C1+2x<0

解 1)错,由不定积分的定义, 而由不定积分性质 2)错,由于原函数可导必是连续的，所 以必须保证 即 只有在 时，上述运算才正确。即  f (x)dx = f (x) +C,  ( f (x)dx) = f (x) ( ) ( ) (0) lim 0 lim 0 F x F x F x x = = → + → − 1 1 C1 + =C2 − C2 =C1 + 2     − + +  +  = − 2 0 0 1 1 e C x e C x e dx x x x

2求不定积分 1) dx (1--2)x√xdx X sIn xcos x J1+tan x 解1)(1-y Xxx= XIX x Vx√xahx x4dx r3h4? +4x4+C

2.求不定积分 1） 解1) x dx x dx x x C x x dx x x x dx x x dx x = − = + + − = − − −      4 1 4 7 5 4 4 3 2 2 4 7 4 1 ) 1 (1  x x dx 2 2 sin cos 2)  + x dx 1 tan 3) x x dx x ) 1 (1  2 −

sin x+cos x dx SIn xcos x sIn xcos X tan x-cotx+c cos-X·SmX dx cOSX-SIn x - dx + )dx 1+tanx jsin x+ x cOSx+sin x d(cos x+sin x)1 x+ (x+In cos x+sin x)+c cOSx+sin x

( ln cos sin ) . 2 1 cos sin (cos sin ) 2 1 ) cos sin cos sin (1 2 1 sin cos cos 1 tan 3) tan cot cos sin sin cos sin cos sin cos 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x C x x d x x x dx x x x x dx x x x x dx x x c x dx x dx dx x x x x x x dx = + + +       + + = + + − = + + = + = + = − + + =        

3求不定积分 xdx cos X teox dx dx 4 2+x sIn x 4) arcsin√x dx sinx+2 cos x 解1原式=Ja x l, ho tc 2)原式(x)+1 c+sls ○+ astoN6

3.求不定积分 解1)原式 2)原式 ( ) . sin 2cos ; 5) 1 arcsin 4) ; sin cos ; 3) 2 ; 2) 1 1) 2 2 3 4 1 2      − + + x x dx dx x x x dx x x x xdx a dx x x . ln 1 1 1 1 C a a x a d x x  = − +      = − ) ( ) ( . 2 arctan 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 C x x dx x dx + = + = + =  

2 cOS x cos X sIn x dx= sinx dx √Slnx √Snx √Slnx sinx sin2xdx=2vsinx-=sin2 x+C sInx 4) arcsin √x arcsine √x √x arcsin xx 1-x x arcsin vxd arcsin Ivx=(a arcsin +c dx sin x +2 cosx J cosx tan x +2 d tanx tanx arctan +c 2+tan x

( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 sin 3) sin sin sin sin sin 2 sin 2 sin sin . sin 5 arcsin arcsin 4) 2 2 arcsin 1 1 1 2 arcsin arcsin arcsin . 1 1 5) sin 2cos cos tan 2 tan x x x dx d x dx x x x d x xdx x x C x x x d x d x x x x x x xd x x C dx dx x x x x d x − = = = − = − + = = − − − = = + = + + =            2 1 tan arctan . 2 tan 2 2 x C x = + + 

以上所用的“凑微分法”是求不定积分 常用方法, 它的基本思想是:利用微分形式不变性,将 所给被积函数中的一部分送入微分中,使 所给积分化为积分公式形式

◼ 以上所用的“凑微分法”是求不定积分 常用方法, ◼ 它的基本思想是:利用微分形式不变性,将 所给被积函数中的一部分送入微分中,使 所给积分化为积分公式形式

常用凑微分形式如下: dx==d(ax+6): x dx= d(ar +b) m+la 次=21次= d arcsin.=d arctan x √x 1+x dx dx = d tanx e dx= d e COS X x f'r). rdf(r) f(r)Jf() Inf(x)+c

常用凑微分形式如下: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 ; ; 1 2 ; arcsin ; arctan ; 1 1 tan ; ; ln ; cos ln . m m x x d ax b dx d ax b x dx a m a dx dx dx d x d x d x x x x dx dx d x e dx de d x x x f x df x dx f x c f x f x + + = + = + = = = − + = = =  = = +  