深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第六节 几何形体上积分的应用

第六节几何形体上积分的应用 几何应用 ∫dx=b-a∫e=G的度量 平面区域D的面积

第六节 几何形体上积分的应用 一 几何应用 b a dx b a = −  ▪ 平面区域 D 的面积 D   = d  的度量 G dg G= 

空间区域Ω的体积 ∫da 平面或空间曲线段L或r的弧长 或 空间曲面片的面积 s=ldS

▪ 空间区域 的体积 V d  =   ▪ 平面或空间曲线段L或  的弧长 L s ds s ds  = =   或 ▪ 空间曲面片的面积 S dS  = 

物理应用 以平面薄片为例,推出质量,重心,转动 惯量,引力等公式。其他几何形体类似。 1.平面薄片的质量 如前所说,平面薄片的质量为 M=llp(x, y)de

二 物理应用 以平面薄片为例，推出质量，重心，转动 惯量，引力等公式。其他几何形体类似。 1. 平面薄片的质量 如前所说，平面薄片的质量为 ( , ) D M x y d =   

2.平面薄片的重心 薄片对y轴和对ⅹ轴的静力矩是 xp(x, yido yp(x, y)de 平面薄片的重心坐标为 xp(x, y)do yp(x, y)de M∫/0x,y)do p(x, y)de

2. 平面薄片的重心 薄片对 y 轴和对 x 轴的静力矩是 ( , ) y D M x x y d =    ( , ) x D M y x y d =    平面薄片的重心坐标为 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) y D D x D D x x y d y x y d M M x y M M x y d x y d         = = = =    

特别地,当薄片是均匀密度时,重心坐标为 xdo y (o为D的面积) 这时重心也称为形心

特别地，当薄片是均匀密度时，重心坐标为 , D D xd yd x y      = =   （ 为D的面积） 这时重心也称为形心

3.平面薄片地转动惯量 平面薄片对x轴和对y轴地转动惯量为 (x,y) 和 x p(x, yido

3. 平面薄片地转动惯量 平面薄片对x轴和对y轴地转动惯量为 2 ( , ) x D I y x y d =    2 ( , ) y D I x x y d =    和

4.平面薄片对质点的引力 平面薄片对质点的引力的三个分力是 F=G xp(x,y)do x+y+z F=GII yp(x, y) (x2+y2+2) F=-aG O(X +1-+ 3、√

4. 平面薄片对质点的引力 平面薄片对质点的引力的三个分力是 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) D y D z D x x y F G d x y z y x y F G d x y z x y F aG d x y z       = + + = + + = − + +    x

读者应从本节的学习中领悟用元素法建 立简单的几何量和物理量的积分表达式的 方法

读者应从本节的学习中领悟用元素法建 立简单的几何量和物理量的积分表达式的 方法