深圳大学：《高等数学（理工类）》补充教材（多元积分）第二节 二重积分的计算法

第二节二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 S/(x,y)do 面积元素dO=axah 利用几何意义计算二重积分(求曲顶柱体的体积)

第二节 二重积分的计算法 ( , ) D f x y d  一 利用直角坐标计算二重积分 利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。 面积元素 d dxdy  = x y

积分区域 Ⅹ型区域 y型区域 D:a(x)ys(x) assad:w()≤xsv(y)csy≤d y x=v) D D ot a b x x y x=y2 D v1() D O x

积分区域 0 a b x ( ) ( ) 1 2 y x D y x   = = y 0 a b x ( ) y (x) D y x 2 1   = = y D x y x a x b : ,   1 2 ( )     ( ) X-型区域 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) y O x D d c c d 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) O x y D D y x y c y d : ,   1 2 ( )     ( ) Y-型区域 0 a b x ( ) ( ) 1 2 y x D y x   = = y c d 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) O x y D c d 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) O x y D 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) y O x D d c 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) y O x D d c

设D(X型):m(x)≤y≤仍2(x),a≤x≤b 利用平行截面面积已知,求立体体积的方法: 取∈[b],则有曲边梯形4(x) 二=f(x,y) q2(x0 1(x0 将x换成x,得 A(xo y=2(x) b =4(x) y=pI b 卯2 f(r, y)ay q1( ∫(xyh=af(x,y(先对后x积分) D

z f x y = ( , ) 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) x y z a x0 b 0 A x( ) O 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y dxdy dx f x y dy   =    设D（X型）：   1 2 ( x y x )   ( ), a x b   ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) 1 0 0 0 , x x A x f x y dy   =  取x a b A x 0 0  , : ，则有曲边梯形 ( ) (先对y后x积分) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 0 , b a b x a x x x V A x dx f x y dy dx   =   =        将 换成 ，得 利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:

若D(X型):m(x)≤y≤仍2(x),a≤x≤b 则f(xn)db=m,(xy(先y后x积分) 若D为(Y型):v1(y)≤x≤v2(y),c≤y≤d 则(x,y)b=」-(x,yx(先对x后y积分) 求二重积分的方法: 将二重积分化为两个定积分(二次积分)来计算

若D为（Y型）：   1 2 ( y x y )   ( ), c y d   2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y dxdy dy f x y dx   = 则    (先对x后y积分) 求二重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) b x a x D f x y dxdy dx f x y dy y x   = 则   先 后 积分 若D（X型）：   1 2 ( x y x )   ( ), a x b  

若D不是X型(或Y型),则将D分为几个区域, 使它们为X型(或Y型),几个区域上的积分之和 就是所给二重积分的值。 ∫(xy=(x,y+』(x,yo D=D,+D

若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域， 使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和 就是所给二重积分的值。 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , D D D f x y d f x y d f x y d D D D    = + = +    D1 D2

例1计算∫xyda,其中D是由直线y=1x=2, D 及y=x所围区域。 y 解法1把D看成X型域,贝 y D D:1≤y≤x,1≤x≤2, y=1 Xao xy d 2 x·]ax odx c、 4

例1 计算 ，其中D是由直线y=1,x=2, 及y=x所围区域。  D xyd 解法 1 把D看成X型域，则 2 1 1 2 3 2 2 1 1 1 4 2 2 1 [ ] [ ] ( ) 2 2 2 9 [ ] 8 4 8 x D x xyd xydy dx y x x x dx dx x x  = =  = − = − =      D x y O y x = y = 1 1 x 2 D y x x :1 ,1 2,    

解法2把D看成Y型域,则 xydx ]dy xX 2 D x=2 (2y-y Iy2-2

解法 2 把D看成Y型域，则 2 2 1 2 2 2 1 3 2 1 4 2 2 1 [ ] [ ] 2 (2 ) 2 9 [ ] 8 8 y y xydx dy x y dy y y dy y y = =  = − = − =     D xyd  D O y x 1 2 y x = 2 x y =

例2计算∫xd,其中D是由抛物线y=x 及直线y=x-2所围成的区域。 解把D看作Y型域D:y2≤xsy+2,-1≤y≤2 2 y D y+2 O

例2 计算 ，其中D是由抛物线 及直线 所围成的区域 。 D xyd  2 y x= 解 把D看作Y型域 y −1 2 2 x y = D x y = + 2 y x = − 2 2 D y x y y : 2, 1 2,   + −   (4,2) y O x (1, 1) −

则 ∫o=∫小y y+2 2,cy+2 xydx]dy x 1y+2 dy 2 (y(y+2)2-y5)d 4 [+y2+2y 2-43 6 5 8

则 D xyd  2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 5 1 4 6 3 2 2 1 [ ] [ ] 2 ( ( 2) ) 1 4 [ 2 ] 2 4 3 6 5 5 8 y y y y x xydx dy y dy y y y dy y y y y + + − − − − = =  = + − = + + − =     2 2 2 1 y y dy xydx + − =  

把D看作Ⅹ型域 由于在[0,1和[1,4]上下边界的表达式不同,所以 要用直线x=1将D分成两个区域D1和D 它们分别用以下不等式表示: (4,2) y D:√x≤y≤√x20≤x≤1 D2:x-2≤y≤√x,1≤x≤4 D: D xydo= xydo+xydo y-√x (1,-1) =Ck~

把D看作X型域 由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以 要用直线x=1将D分成两个区域 D1 和 D2 2 D x y x : 2 , −   1 4  x D x y x 1 : , −   0 1  x y O x D D 1 2 x 1 (1, 1) − (4,2) y x = − y x = 4 y x = − 2 x 1 4 0 1 2 [ ] [ ] x x x x xydy dx xydy dx − − = +     D  xyd  D D 1 2 = + xyd xyd     它们分别用以下不等式表示：