深圳大学数学与计算科学学院：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源_课件（1/4）

01前言 第一大课、最重要的基础课 从微积分 Calculus到数学分析 (Mathematical Analysis) 极限为工具,函数为研究对象 逻辑性很强,细致,深刻 练习、思考、总结 作用

0.1 前言 • 第一大课、最重要的基础课 • 从微积分(Calculus)到数学分析 (Mathematical Analysis) • 极限为工具,函数为研究对象 • 逻辑性很强, 细致, 深刻 • 练习、思考、总结 • 作用

0.1前言 BB函

0.1 前言

1.1实教的表达与性质 M={0,1,2;} Z={0,±1,±2,…} Q={p≠0,p,q∈}; Q的优点与缺点 g→>R

1.1 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 {0,1, 2, }; {0, 1, 2, }; { | 0, , }; q p N Z Q p p q Z Q = = ± ± = ≠ ∈ ⋯ ⋯ 的优点与缺点 Q R →

1.1实教的表达与性质 R=oug ={有限小数}∪{无限循环小数}∪{无限不循环小数} 无限小数} 例 2=1.999 2.01=2.00999 0=0.000· 6=-5.999

1.1 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 { } { } { } { } R Q Q = ∪ = ∪ ∪ = 有限小数 无限循环小数 无限不循环小数 无限小数 2 1.999 2.01 2.00999 0 0.000 6 5.999 = = = − = − ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 例

1.1实教的表达与性质 定义设x,y为非负实数 y=b.么 x>y3C,a=b,=0,12…但是a x=y:a=b,=0,12 x=4,444…4(n位不足近似) x=14…(a+1(m位过剩近似)

1.1 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 0 1 2 3 0 1 2 3 , . , . n n x y x a a a a a y b b b b b = = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 设 为 非 负 实 数 则 定义 1 1 0 1 2 3 0 1 2 3 : , . , 0,1,2, , , . : , 0,1,2, . ( . 1 ( k k k k n n n n x y st a b k a b x y a b k x a a a a a n x a a a a a n > ∃ = = > + + = = = = = + ℓ ℓ ℓ ⋯ ℓ ⋯ ⋯ ⋯ 但 是 位 不 足 近 似 ） （ ） 位 过 剩 近 似 ）

1.1实数的表达与性质 定理设x=,4丛4…n…;=h,的的…b x>y彐n≥0,stx>y 例设xv∈尼x<则r∈旦.t.x< 练设xν∈饣x<则彐s∈gstx<s<

1.1 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 实数的表达与性质 0 1 2 3 0 1 2 3 . , . 0, s.t. . , , , s.t. . , , , s.t. . n n n n x a a a a a y b b b b b x y n x y x y R x y r Q x r y x y R x y s Q x s y = = > ⇔ ∃ ≥ > ∈ < ∃ ∈ < < ∈ < ∃ ∈ < < 定 理 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 例 设 则 设 ， 则 练 设 ， 则

1.2确界原狸 定义设SCR则 S有上界:彐M∈Rstx∈S→x≤M S有下界:L∈Pstx∈S→x≥L; S有界:S既有上界又有下界 S无界:S非有界。 匈S-N2(0,1),S(∞2)

1.2 确界原理 ,s.t. ; ,s.t. ; S=N, (0,1), S=(- ,2). S R S M R x S x M S L R x S x L S S S S ⊂ ∃ ∈ ∈ ⇒ ≤ ∃ ∈ ∈ ⇒ ≥ 例 ∞ 设 则 有上界： 有下界： 有界： 既有上界又有下界； 无界： 非有界。 定义

12确界原狸 定义设ScR,若彐a∈R,s.t (1)x∈S→x≤O (2)任何a'a 则称α为的上确界,记为a=supS 例S=[0,1),SupS=1

1.2 确界原理 0 0 , s.t. (1) 2 , , s.t. . sup . [0,1), sup 1 S R R x S x x S x S S S S α α α α α α α ⊂ ∃ ∈ ∈ ⇒ ≤ ′ ′ = = = 设 ，若 ； （ ） 任何 则称 为 的上确界，记为 定 例 义

12确界原理 定义设S∈R,若彐β∈R,St (1)x∈S→x≥B (2)任何β′>β,彐x∈S,s.t.<B 则称β为的下确界,记为β=infS

1.2 确界原理 0 0 , s.t. (1) 2 , , s.t. . inf S R R x S x x S x S S β β β β β β β ⊂ ∃ ∈ ∈ ⇒ ≥ ′ ′ > ∃ ∈ < = 设 ，若 （ ）任何 则称 为 的下确界，记为 定义

12确界原理 上确界 上界 下界」(下确界

1.2 确界原理 M M1 M2 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界