深圳大学数学与计算科学学院：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源_课件（2/4）

63.0泰勒公式:引言 逼近思想(微分及其局限) 什么是泰勒多项式? 什么是泰勒公式? 什么是麦克芳林公式?

6.3.0 泰勒公式:引言 • 逼近思想（微分及其局限) • 什么是泰勒多项式？ • 什么是泰勒公式？ • 什么是麦克劳林公式？

63.1泰勒公式:泰勒多项式 定义:设/在x有直到n阶的导数,称 Z(1)=()=∑ x1- h! 为/在石处的n次泰勒多项式 问:1.Z(x)有什么特点? 2.m(x)与f有什么关系?

6.3.1 泰勒公式：泰勒多项式 泰勒公式：泰勒多项式 泰勒公式：泰勒多项式 泰勒公式：泰勒多项式 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ; ) ( ) ( ) ! . ( ) ? 2. ( ) n k k n n k n n f x n f x T f x T x x x k f x n T x T x f = = = − ∑ 设 在 有直到 阶的导 次 数，称 为 在 处的 1. 泰勒 有什么特点 与 有什么关 多 ？ 式 系 项 定义 : 问 :

632泰勒公式:佩亚诺型余项(1) 如何刻画R2(x)=f(x)-Zn(x)呢 定理:设∫在x有直到n阶的导数,则 (x)=m(x)+o(x-10)")(x→>x0) 且任何不与Z(x)相等的n次多项式都不 能取代m(x)使上式成立

6.3.2 泰勒公式：佩亚诺型余项 泰勒公式：佩亚诺型余项 泰勒公式：佩亚诺型余项 泰勒公式：佩亚诺型余项(1） 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n n n n R x f x T x f x n f x T x x x T x T x x x n o = − = + → − 如何刻画 呢？ 设 在 有直到 阶的导数，则 且任何不与 相等的 次多项式都不 能取代 使上式成立 定理 :

63.2泰勒公式:佩亚诺型余项(2) 注: 1.若f(x)在石附近满足 f(x)=p2(x)+o(x-x))(x→>1) 则p(x)未必就是f(x)在x处的泰勒多项式 Z(r) 例:x)=x"D(x),n∈N 2.满足/(x)=n(x)+(x-x)”)(x→石) 的多项式p(x)是唯一的

6.3.2 泰勒公式：佩亚诺型余项（ 泰勒公式：佩亚诺型余项（ 泰勒公式：佩亚诺型余项（ 泰勒公式：佩亚诺型余项（2） 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) . n n n n n n n f x x f x p x o x x x x p x f x x T x f x p x o x x x x p x = + − → = + − → 若 在 附近满足 则 未必就是 在 处的泰勒多项式 满足 的多项式 是唯一的 注： 1. 2. 例 : n+1 + f(x) = x D(x), n ∈ N

633泰勒公式:拉格朗日型余项 定理:设∫在[a,b上存在直到n阶的连续导数 在(a2b)内存在m+1阶导数,则对xx∈[ab 存在一点ξ∈(a,b),使得 n+1) 1(0x)=n(x)+ (2) 刀+1 (n+1) 注:上式中的余项称为拉格朗日型余项

6.3.3 泰勒公式：拉格朗日型余项 泰勒公式：拉格朗日型余项 泰勒公式：拉格朗日型余项 泰勒公式：拉格朗日型余项 0 ( 1) 1 0 [ , ] , 1 , [ , ], , ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 1)! n n n f a b n a b n x x a b a b f f x T x x x n+ ξ ξ + + + ∀ ∈ ∈ = + − 设 在 上存在直到 阶的连续导数, 在( )内存在 阶导数,则对 存在一点 ( ),使得 上式中的余项称为拉格朗日型余项. 定理 : 注：

634泰勒公式:示 例(x) 1+x+-,+…+,+o(x),(x→>0) 2! e=1+x++∵++ 刀+1 2! n!(n+1) ξ介于0与x之间)

6.3.4 泰勒公式：示例 泰勒公式：示例 泰勒公式：示例 泰勒公式：示例 0 2 2 1 ( ) , 0. 1 ( ), ( 0). 2! ! 1 . 2! ! ( 1)! ( 0 ) x n x n n x n f x e x x x e x o x x n x x e e x x n n+ x ξ ξ + = = = + + + + + → = + + + + + ⋯ ⋯ 介于 与 之间 例

63.5泰勒公式:应用于近似计算 例f(x)=c2=0 e≈Tn(x)=1+x+-+…+ 2! 刀+1 (n+1) 现令x=1 l-(1)=-(1+1+ ∴十 2! n+

6.3.5 泰勒公式:应用于近似计算 应用于近似计算 应用于近似计算 应用于近似计算 0 2 1 ( ) , 0. ( ) 1 2! ! ( ) . ( 1)! 1, 1 1 3 (1) (1 1 ) . 2! ! ( 1)! x n x n x n n n f x e x x x e T x x n e e T x x n+ x e T e n n+ ξ + = = ≈ = + + + + − = = − = − + + + + < ⋯ ⋯ 现令 例

640极值与最值:引言 °什么是极大(小)值? 什么是最大(小)值? 可导函数极值的充分条件?

6.4.0 极值与最值:引言 • 什么是极大（小）值？ • 什么是最大（小）值？ • 可导函数极值的充分条件？

641极值与最值:极值第一充分条件 定理设/在点石连续,在U(石;δ) 内可导 f()≤0,5-8<x<x}→()极小 (x)≥0,1<x<x+8 "(x)≥0,x-6<x< →f(x)极大 f(x)≤0,x<x<x+6

6.4.1 极值与最值:极值第一充分条件 极值第一充分条件 极值第一充分条件 极值第一充分条件 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) ( ) 0, f x x f x x x x f x f x x x x f x x x x f x f x x x x δ δ δ δ δ ′ ≤ − < < ⎫ ⎬ ⇒ ′ ≥ < < + ⎭ ′ ≥ − < < ⎫ ⎬ ⇒ ′ ≤ < < + ⎭ 设 在点 连续，在 � U ； 内可导. 极小. 极大. 定理

6.42极值与最值:极值第二充分条件 定理设∫在点x的某邻域U(x;δ)内 可导,且,/(x)=0,/"(x0)≠0,则 "(x)0→f(x)板极小

6.4.2 极值与最值:极值第二充分条件 极值第二充分条件 极值第二充分条件 极值第二充分条件 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x x f x f x f x f x f x f x δ ′ ′′ = ≠ ′′ ⇒ 设 在点 的某邻域 U ； 内 可导，且 ， ，则 极大. 极小. 定理