广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）14.1（幂级数）

生第一节幂级数 王P二幂级数的收敛区间 二幂级数的分析性质 三幂级数的运算 ·四小结 上或

第一节 幂级数 • 一 幂级数的收敛区间 • 二 幂级数的分析性质 • 三 幂级数的运算 • 四 小结

王一、幂级数及其收敛区间 1定义:形如∑nx-x)的级数称为级数 H=0 当xn=0时,∑anx",其中an为幂级数系数 H=0 2.收敛性: 例如级数∑x"=1+x+x2+…, 当x<l时,收敛;当x≥l时,发散; 收敛域-1发散域(1,+ 上圆

一、幂级数及其收敛区间 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0  0  = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x  = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0  = + + +  = x x x n 例如级数 n 当x  1时,收敛; 当x  1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+);

定理1(Abe定理) 如果级数∑anx"在x=x0(x0≠0)处收敛,则 n=0 它在满足不等式xx0的一切处发散 王证明(1):∑ax"收敛,:imax"=0 n=0 上或

定理 1 (Abel 定理) 如果级数  n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0  处收敛,则 它在满足不等式 x  x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数  n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x  x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0,  0 = → n n n (1) , a x 0  0 收敛  n= n  an x

彐M,使得anx≤M(n=0,2,) n n nx n .x= Xo Xo n-0 ≤M 0 n oo 当<时,等比级数∑M收敛, 0 H=0 ∑anx"收敛,即级数∑anx收敛 n=0 H=0 上或

( 0,1,2, ) a x0  M n =  n 使得 n  M, n n n n n n x x a x a x 0 0 =  n n n x x a x 0 0 =  n x x M 0  1 , 0 当  时 x x  , 0 0 等比级数 收敛 n n x x  M  = , 0  收敛  =  n n an x ; 0 即级数 收敛  n= n an x

(2)假设当x=x时发散, 而有一点x适合x1>x0使级数收敛, 牛由结论则级数当x=x时应收敛 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域_R0R发散区域 上或

(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1  x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域

推论 生如果幂级数∑4x“不是仅在x=0—点收敛,也 n 0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 王的正数存缶它具有下列性质 当xR时幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 上或

如果幂级数  n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x  R时,幂级数绝对收敛; 当 x  R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论

定义:正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 T R, R), I-R, R),(R, RI, I-R, RI 王规定().幂级数只在x=0处收敛 R=0,收敛区间x=0 (2)幂级数对一切都收敛, R=+∞,收敛区间(-∞,+∞) 问题如何求幂级数的收敛半径? 上或

定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. R = 0, [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 规定 R = +, 收敛区间x = 0; 收敛区间(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (−R,R), (1) 幂级数只在x = 0处收敛, (2) 幂级数对一切x 都收敛

定理2如果幂级数∑anx”的所有系数an≠0 n=0 设lim n+1 p(或lim n→0 →)0Vn =p) n 王()则当≠0时,R=1:2)当=0时,R=+; (3)当p=+时,R=0 证明对级数∑anx应用达朗贝尔判别法 n=0 n+1 lim n+1 n+1 =m x=px, n→>olx n n-> 上或

定理 2 如果幂级数  n=0 n an x 的所有系数an  0, 设 =  + → n n n a a 1 lim (或 =  → n n n lim a ) (1) 则当  0时,  = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法  n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = =  x

王 生(如果m=p(在 n 由比值审敛法,当|xk时,级数∑a发散 n 0 并且从某个m开始|an1x|anx",anx"|>0 从而级数∑anx发散收敛半径R=; n-=0 上或 圆

(1) lim ( 0) , 如果 +1 =  存在 →   n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时  x  | | , 0 级数 收敛  n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛  n= n an x , 1 当| | 时  x  | | , 0 级数 发散  n= n an x 并且从某个 n开始 | | | |, 1 1 n n n an x  a x + + | |→ 0 n an x . 0   n= n 从而级数 an x 发散 ; 1  收敛半径 R =

王(2)如果=0,x≠0 n+1 有x“→0n→.级数∑)ax"收敛, n 生从而级数∑4x绝对收敛收敛半径R= (3)如果ρ=+∞, 牛x≠0,级数∑ax“必发散 0 oo 生(香则由定理知将有点≠0使4x1收数 收敛半径R=0 定理证毕 上圆

(2) 如果 = 0, x  0, 0 ( ), 1 1 → →  + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛  n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛  n= n an x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x  0, . 0   n= n 级数 an x 必发散 ( 1 0 | | ) 0 否则由定理 知将有点 使 收敛  =  n n x an x 收敛半径 R = 0. 定理证毕