广州大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）数集、确界

§2数集。确界 §2二数集.确界原理: 区间与邻域 xa

1 §2 数集。确界 §2 二 数集 . 确界原理: 一 区间与邻域: 区间 ：

半开区间, x≤x

2

邻域 设a与8是两个实数,且8>0.称点集U()={x|k-l0,存在x∈S,|x1>M,则称S为无界集。 (-∞,+∞),(-0,0),(0,+)等都是无界数集, E={y|y=-,x∈(0,1) 例证明集合 是无界数集 证明:对任意M>0,,1∈(0,1),y=∈B,y=M+1>M 由无界集定义,E为无界集。 确界 先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,其 中最小的一个上界我们称 它为数集S的上确界:同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界。 精确定义 定义2设S是R中的一个数集,若数7满足一下两条: (1)对一切x∈8有x≤”,即7是数集S的上界

3 邻域 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 闭区间、 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集: 对任意 ，存在 ，则称 S 为无界集。 等都是无界数集, 例 证明集合 是无界数集. 证明：对任意 , 存在 由无界集定义，E 为无界集。 确界 先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其 中最小的一个上界我们称 它为数集 S 的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 精确定义 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 有 ，即 是数集 S 的上界；

(2)对任何a(即”是S的最小上界) 则称数为数集S的上确界。记作7=p 定义3设S是R中的一个数集,若数‘满足一下两条: (3)对一切x∈8有x≥5,即占是数集S的下界 (4)对任何月>5存在x0∈使得0

4 （2） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最小上界） 则称数 为数集 S 的上确界。记作 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （3） 对一切 有 ，即 是数集 S 的下界； （4） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最大下界） 则称数 为数集 S 的下确界。记作 例 1 ⑴ 则 ⑵ 则 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明（见教材） 例 2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例 3 设 和 是非空数集，且有 则有 . 例 4 设 和 是非空数集. 若对 和 都有 则有 证 是 的上界, 是 的下 界, 例 5 和 为非空数集, 试证明: 证 有 或 由 和 分别是 和 的下界,有 或 即 是数集 的下界

又心3A,→S的下界就是A的下界,ifS是S的下界,→nfS是A的下 inf S

5 又 的下界就是 的下界, 是 的下界, 是 的下 界, 同理有 于是有 . 综上, 有 . 2. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例 1⑵为例做解释. 3. 确界与最值的关系: 设 为数集. ⑴ 的最值必属于 , 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论